完整版任意角的三角函数及诱导公式学生版.docx
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完整版任意角的三角函数及诱导公式学生版
任意角的三角函数及诱导公式
【知识梳理】
1•任意角
（1）角的分类：
1按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.
（2）终边相同的角：
终边与角相同的角可写成k3600（kZ）.
（3）弧度制：
①1弧度的角：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||丄，1是
—r
以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.
3用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制.比值-与所取的r的大小无关，仅与角的大
r
小有关.
4弧度与角度的换算：
36002弧度；1800弧度.
112
5弧长公式：
丨||r，扇形面积公式：
S扇形lr||r2.
22
2.任意角的三角函数
3
（1）任意角的三角函数定义：
sin
（2）三角函数在各象限内的符号口诀是：
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
4.三角函数线
设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P
作PM垂直于x轴于M•由三角函数的定义知，点P的坐标为cos,sin,即
Pcos,sin,其中cosOM,sinMP,单位圆与x轴的正半轴交于点A（1,0）,
单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tanAT.我们把有向线
2
（1）平方关系：
sin
（2）商数关系：
tan
2^-2
cos1sin
sin丄
sintancos
222
1cos,cos1sin
sin
cos,cos.
tan
4•同角三角函数的基本关系式
5•九组诱导公式
角
函数
sin
cos
tan
2k
2
2
3
2
3
2
2
k
对于角“（kZ）”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变
偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”•“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”.
【课前小练】
1.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4,y）是角终边上一点，且
sin
2、5
，贝Uy
5
2.若sin
4
tan0，则cos（）
5
A3
B.
3
4
D.
4
A.-
C.一
5
1
）
5
5
5
5
3.已知sin（——
那么cos
（）
2
5
2
1
1
2
A.
B.
—
c.—
D.—
5
5
5
5
【例题解析】
考点一任意角的三角函数值
例i已知角的终边过点p1,3，求这个角的三个三角函数值。
变式i已知角
的终边在直线3x4y0上，求sin,cos,tan的值.
考点二三角函数线、三角函数值的符号
例2已知costan0,那么角是（）
例3函数y
|sinx|
sinx
cosx|tanx|
|离話的值域是（
A.{-1,1}
B.{-1,1,3}
C.{-1,3}
D.{1,3}
例4已知sin
sin，则下列命题成立的是
（）
A.
大于0
B.
小于0
c.等于o
例5
已知cos
1
求角的集合.
2
A.若
、是第一象限角，则
cos
cos
B.若、
是第二象限角，则
tan
tan
C.若
、是第三象限角，则
cos
cos
D.若、
是第四象限角，
则
tan
tan
变式2
sin2cos3tan4的值
（
）
D.不确定
訂3
变式3y\；sinx云的定义域为——_
考点三扇形弧长、面积公式的应用
例6半径为cm，圆心角为120所对的弧长为（）
例7
（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长,
少弧度？
扇形的面积是多少?
（2）一扇形的周长为20cm;当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
变式4已知一扇形的圆心角为（0），所在圆的半径为R.
（1）若600,R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C（C0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积?
考点四同角三角函数的关系
题型一：
sin,cos,tan的相互转化知一求二是基础
例8
右sin
5
tan0,
则cos（
）
5
3
3
4
A.
—
B.
—
c.
5
5
5
例9
（1）已知
tan
3，且
为第三象限角，
求sin
cos的值；
（2）
已知cos
1
，求sin
tan的值；
3
（3）
已知tan
2,
求值：
①
2sincos
:
②sin
2
sincos
sin
cos
常用思路1:
构建齐次式
变式9
（1）若sincos
1，且-
—，贝Ucossin
2
8
4
（2）若
是三角形的内角，
且
sin
2cos
3
，试判断三角形的形状;
考点五诱导公式
题型
利用诱导公式化简求值
例11
已知sin（52
A.
1
-,那么cos
5
1
B.-
5
1
c.—
5
2
D.-
5
变式10已知
sin（
2sin（2
），则tan
例12COS（
，sin（2
）的值为（
1
B.-
2
C.
D.-三
2
变式11
cos
是第四象限的角，那么
cos（
变式12
已知
tanx
5
2cos（x）3sin（x
则2—
2）
4sin（x2）9cos（x）
变式13
已知：
sin（
1
^10，求值
cos（
cos（3）
）[cos（）1]
cos
（2）cossin（—
2
）cos
变式14化简：
£1季运
cos40°V1sin250°
变式15若f（cosx）cos2x,贝Vf（sin15）
题型二利用诱导公式求任意角的三角函数负角变正，大角变小，小变锐角
例13sin600°的值为（）
A.辽
2
B.Al
2
V3c.
2
、•3D.
2
变式16化简sin2013的结果是（）
A.sin33
B.cos33
C.sin33
D.cos33
.2013
变式17
sin
的值为
（）
6
1
1
A.—
B.
—
C.1
D.1
2
2
25n
26n
25n
变式18
计算题：
sincos
tan（）
6
3
4
【课后练习】
1.已知costan
0，那么角B是（
）
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
6cm，面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是
A.
1
C.
1或4
3.（吴
家山中学
难度C）已知
sin
A.
若、
疋第象限角，
则
B.
若、
是第二象限角，
则
C.
若、
是第三象限角，
则
D.
若、
是第四象限角，
则
2.已知扇形的周长是
B.4
D.2或4
sin，则下列命题成立的是（）
coscos
tantan
coscos
tantan
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