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论文中继站的协调初稿

2011空军工程大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

所属学院（请填写完整的全名）：

工程学院

参赛队员（打印并签名）：

1.王加林

2.张力

3.吴锐佳

日期：

2011年8月17日

评阅编号（由训练部教务处评阅前进行编号）：

2011空军工程大学数学建模竞赛

编号专用页

评阅编号（由训练部教务处评阅前进行编号）：

评阅记录（评阅时使用）：

评阅

人

评

分

备

注

中继站的协调

摘要

针对同时有1000和10000个用户在线的两种情况,我们提出两种中继器分布模型。

在我们的假设下，两种情况中所需中继器的最少数量分别是9和83。

中继器分布问题可以转化为最小化覆盖问题，此类问题可以用蒙特卡洛法解决。

在我们针对有1000个在线用户的情况而建立的第一个模型中，我们应用了“圆覆盖圆”原理。

然而，直接利用该原理，我们能推断出存在超过其自身负载能力的中继器。

因此，我们并没有去寻找更多的圆来覆盖区域，而是对理论进行了适当的修改以适应要求。

在我们针对有10000个在线用户的情况而建立的第二个模型中，我们观察到六边形是最佳的覆盖图形。

用最少的节点来覆盖最大的范围。

既然这样，我们用若干有规律排布的六边形来模拟中继器覆盖地区。

这种情况下，问题的关键点是计算出交叉点区域。

考虑到直接计算的复杂性，我们利用了蒙特卡洛法的思想。

简便性和坚实的理论基础是我们所建模型的最大特点。

然而，我们所作假设的一些限定在实践中也需要进行考虑。

关键词中继站分布最优化圆覆盖圆蒙特卡洛法蜂窝网络

一、问题重述

1.1背景介绍

1.1.1为什么需要用中继器？

中继器是一个收发两用无线电设备系统，它获得微弱信号，对信号进行放大以后再用不同的频率传输出去。

在甚高频无线电信号传输中使用中继器，使得远距离通信成为可能。

由于机动的或手持的收发器的传送范围受到自身天线高度和传出能力的限制。

因此，中继器系统是通过大型有效的天线被用来进行远距离传送被传送和接收到的信号。

在很大的范围和覆盖区域内，中继器找到信号，接受正在进行谈话的站点。

利用中继器较高的海拔来增加移动电话或者手持收发器的有效传输与接收范围。

为了使收听与传递能够同时进行，中继器需使用两种不同的频率。

一种是传输频率，一种是接收频率。

这被称作抵消。

如果在传输信号频率和接收信号频率之间没有一个偏移量，那么当中继器在传输与接收频率相同的信号时，它将只能听到它本身。

因此,中继器使用者必须使用不同的传输频率和接收频率。

实际传输频率与中继器接收到的频率是完全相同的。

1.1.2为什么CTCSS是需要的？

CTCSS代表连续性的音调编码控制系统,用来最小化同道的干扰。

它常被称为“私线”，通过这项技术可以减轻干扰问题。

该系统连接每个中继站，靠的是所有通过同一个中继站连接的用户发送的独立的亚音频音调来连接。

中继站只回应接收到的具有特殊PL的语调的信号。

通过这个系统,两个附近的中继站可以共享相同的频率对（包括接收和发送）;对于更多的中继站（并且更多的用户）可以提供在一个特定的区域。

二、模型的假设

（1）人口均匀分布；

（2）中继器传输信号时，不同方向的传输没有区别；

（3）根据行业标准,两个邻近频率点之间的步长是12.5、25、30KHz等。

考虑到通用性方面，我们选用步长为25千赫兹。

然后，可用频谱145-148兆赫兹总共可以分为121个可用频率点；

（4）中继器能接收到频率在145-148MHz之间的所有信号，但是用其特殊的“私线”频率回应接收到的信号；

（5）我们可以调整中继站信号覆盖半径以满足我们的需求；

（6）用户可以使用在145–148MHz之间的任何频率点,并且概率都是一样的。

三、符号说明

：

n个单位圆覆盖的圆盘区域的半径

正八边形的半径

半径为R的正八边形面积

用户数量

：

外围小圆的圆心

大圆的圆心

四、问题分析

中继系统可以将被发送和接收的信号传送到更远的地方。

然而，中继器之间会相互影响，除非它们足够远离彼此或者在充分分离的频率传送信号。

CTCSS技术可以用来缓解干扰问题。

我们专注于中继器分布问题的最优解。

我们需要确定在一个特定的区域内必须满足给定的同步用户的中继站的最小数目。

五、模型的建立与求解

5.1情况一：

1000个用户

在这种情况下,我们用若干圆圈来模拟中继器覆盖区域。

我们打算用尽量少圆圈覆盖半径为40英里的圆形平台区。

首先,我们注意到可用频谱范围是145到148MHz,另根据步进假设是25kHz，得出在一个中继器处，有121可用频点。

因此，它可以容纳多达121个同时在线用户。

所以中继器的数量至少为1000÷121≈9个。

我们使用“圆覆盖圆”理论。

这一理论的目的是发现一个能够被n个单位圆覆盖的圆盘形区域的最大半径

。

在n<=4时的

很容易测定。

问题是找到

和

很困难,但是测定n=7时的半径是微不足道的。

DenesNagy在他的论文中提出，当n=8,9,10时，

，但没有给出证明。

而后来GaborFejesToth给出了证明，如参考文献【2】。

图1n=8,

图2n=9,

图3n=10,

5.1.1模型一的建立

根据以上的计算可知，n=9的情形似乎满足我们的要求。

中继站的分布如图4所示。

每个小圆的中心处都有一个中继站。

每个中继站的覆盖范围半径为

。

图4

然而，我们可以证明在这种情况下，中间的那个中继站的服务数量多于121个，这就超出了一个中继站的最大容纳数量。

接下来证明我们的观点。

显然，在图5中，中间那个中继站所覆盖的阴影部分区域在这9个中继站中是最大的。

我们来算一下阴影部分区域的用户数量。

图5

阴影部分区域是一个半径为16.57英里的正八边形。

根据正多边形的面积计算公式：

令n=8,R=16.57,可得S=776.5868平方英里。

根据假设，人口的分布是均匀的，我们可得在这个区域的用户数量为：

解得N=154.5>121。

因此，我们不能直接应用这个模型。

然而，我们可以对它做进一步的改进，以便满足我们的要求。

5.1.2模型一的改进

我们的改进原则是减小位于中间的中继站的覆盖面积，以使用户数量不超出121个。

我们增加8个外围圆的半径来容纳更多的用户，所以我们希望能够减小中间中继站的负荷。

在允许范围内，令中间中继站的负荷为121。

然后，我们可以算出它的区域和扩大它的范围。

最后，我们可以根据几何知识计算出8个外围圆的半径和位置。

图6

正八边形的半径：

令中心中继站的负荷为121，则正八边形的面积为

又，根据正多边形的面积计算公式：

令n=8,S=608.2123，则可得正八边形的半径为R=14.6641（英里）

外围圆的半径：

由于大圆的半径为40英里，由此可得

。

到L的垂线长度为：

继而，外围圆的半径为：

5.1.3模型一的结论

用9个中继站就可以服务1000个同时在线用户。

其中1个是以半径

英里为中心的八边形，其余8个圆位于距离正八边形的中心

处。

“连续编码音调控制系统”（CTCSS）技术是用于解决干扰问题的。

我们给每一个中继站分配一个PL，这样相邻的两个中继站都有不同的PL。

中继站分布的优化方案如图7所示：

图7

5.2情况二:

10000用户

首先，我们知道频谱范围是145到148MHz，并且我们假设无线电话的频宽为25kHz，则有121个可用的的频率点合为一个中继器，即它可以容纳多达121个用户，所以中继器最少要10000÷121≈83个，我们不能像第一问那样安排（直接用小圆来覆盖大圆）。

对于覆盖问题，已有文献证明，用小圆去覆盖大圆，在所有无漏洞覆盖中，内接正六边形的覆盖（即蜂窝网络）能够使所有小圆的交叠面积之和最小，即圆数量最少。

则我们打算用尽可能少的正六边形覆盖半径为40英里的圆形区域。

5.2.1覆盖法则

1.我们通过一簇足够数量的正六边形去覆盖那个半径为40英里的圆形区域，如图8所示：

图8

2．将与圆形不相交的正六边形删去，如图9所示：

图9

3.将所有剩余正六边形沿着某一相同方向（共六个）移动，使正六边形尽可能与那个圆形区域不相交，但很靠近，如图10所示：

图10

4.同第二步，将不相交的正六边形删去，如图11所示：

图11

5.换成另外的5个方向，重复第3、4步骤。

6.若有几个不是完全包含在圆形区域的图形，并且他们的总面积小于一个正六边形，则将他们合并起来，如图12所示：

图e

5.2.2模型二的建立

我们现在使用上述覆盖算法确定中继器的最小数量来容纳在半径为40英里的圆形区域中的10000个用户，中继站的负荷时121个，所以可以算出中继站的最大覆盖范围：

根据正多边形的公式：

将

代入上式得到：

正六边形的r=4.8384（英里），如图13所示：

图13

根据上述覆盖算法，同一种正六边形的半径为4.8384miles，我们得到下面结论，如图14所示：

图14

接下来就是计算与圆形交叉的没有完全被圆形包含的正六边形的面积，由于直接计算有些复杂，我们使用蒙特卡罗方法：

在正六边形中我们随机地分发一些点，然后计算一个正六边形中的点在圆形内、外的数量，我们可以大概的得到交叉的面积，如图15所示：

图15

最后通过蒙特卡罗方法我们可以得到每一个正六边形的面积如下：

表一

单位：

0.3620

0.3640

0.6420

0.6510

0.4350

0.0670

0.5590

0.8850

0.0290

0.0240

0.3850

0.1860

0.6340

0.9800

1.0000

0.9440

0.7910

0.9120

0.3060

0.7090

0.9800

1.0000

0.2490

0.5100

1.0000

0.0200

0.1160

1.0000

0.9940

1.0000

0.6500

0.6130

1.0000

0.0370

0.0010

0.9420

1.0000

0.9990

0.0670

0.9780

1.0000

0.2420

0.0540

0.8830

1.0000

0.9580

0.2190

0.3850

结论：

上表有表示有103个正六边形，我们可以将其中38个合并成18个。

这样，我们最后使用83个中继器来满足10000用户和规定的范围。

5.3情形三：

在山区

5.3.1由山区引起的视线传播问题

在山区，山体对传输信号有阻碍作用。

所以视线传播距离会减小，因此，会有很多信号不能到达的盲区。

5.3.2解决方法

1）在盲区加建中继站；

2）增加天线长度，增大传输功率；

3）用卫星代替中继站。

六、模型的评价

优点：

1）模型具有坚实可靠的数学基础。

很多数学理论已经证明这是设计中继站分布的最好的方法；

2）模型易于实现；

3）模型使中继站发挥最大的效能。

不足：

1）我们的模型只适用于人口均匀分布的情形；

2）我们仅考虑中继站信号的服务范围能够根据我们的需要进行调整的情形。

七、参考文献

[1]http:

//www.ham-Accessed11February2011.

[2]GaborFejesToth.2005.ThinnestCoveringofaCirclebyEight,Nine,orTen

CongruentCircles.CombinatorialandComputationalGeometry.Volume52,

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