证明不等式的基本方法放缩法.docx
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证明不等式的基本方法放缩法
证明不等式的基本方法----放缩法
放缩法证明不等式案例分析
徐州市第一中学王雪
内容摘要,1、放缩法是证明不等式的常用方法。
放缩具有一定的技巧性,对学生知识和能力的要求都较高。
因此,本节选择了三个例题,重点使学生体会放缩法的基本思想,而不在于掌握各类问题的放缩技巧。
2、证明不等式难度大而且有些枯燥,如何提高学生的兴趣,吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手,从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。
3、本章是不等式选讲,书中的内容不宜挖的过于深入,可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型,数列的,分式的等,。
关键词,贝努利不等式,放缩,添项,删项,基本不等式
教学目标:
（1）认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法;
（2）了解贝努利不等式与放缩法;
（3）通过放缩法培养学生的思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
教材分析:
1、放缩法是证明不等式的常用方法。
放缩具有一定的技巧性，对学生知识和能力的要求都较高。
因此，本节选择了三个例题，重点使学生体会放缩法的基本思想，而不在于掌握各类问题的放缩技巧。
2、证明不等式难度大而且有些枯燥，如何提高学生的兴趣，吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手，从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。
3、本身是不等式选讲，书中的内容不宜挖的过于深入，可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型（数列的，分式的等）。
教学建议
放缩时应注意应注意以下几点:
（1）如果要证明左边小于右边，那么只能将左边放大（不能缩小），或者将右边缩小（不能放大）;如果要证明左边大于右边，那么只能将左边缩小（不能放大），或者将右边放大（不能缩小）。
（2）放缩后所得的不等式必须是正确的。
如果放缩后的不等式不能够成立，那么表明放得太大或缩得太小了，需要修正。
（3）放缩后的式子应是易于化简、估计或求和的。
（4）放手让学生去做，去讨论，出现问题，解决问题，加深记忆。
教学过程:
一、引入练习
（教师）前面我们学习了一些证明不等式的方法，下面请大家动手完成这两个练
习。
2x,01、已知，求证;
（1）12，,，xx
3x,02、已知，求证。
（1）13，,，xx
请两位同学到黑板前来板书。
（学生活动）两位同学板书，其他同学做在练习本上。
2222x,0证明:
（1），因为，所以;
（1）12，,，，xxx
（1）1212，,，，,，xxxx
323323x,0
（2），因为，所以。
（1）133，,，，，xxxx
（1）13313，,，，，,，xxxxx（教师讲评）两位同学不约而同的选择了对左边的式子展开与右边式子的比较，x,0由，大胆的拿掉了一些项，从而使得不等式成立。
观察不等式的形式，如
5x,0果是“已知，则”，该用什么不等号填空呢,
（1）____15，，xx
（学生活动）群口答“>”
nx,0（教师活动）如果将上述不等式进行推广“已知，则”，
（1）____1，，xnx又将用什么不等号填空呢,
（学生回答）“>”
（教师活动）为什么,可以给出证明吗,
（学生活动）一位学生口答:
对于由二项式定理得,,,,,xnnN0,1,,
nnn12222nn，如果从第三项起舍
（1）1，,，，，，xCxCxCx？
，，，，1nxCxCx？
nnnnn
n掉，可得。
（1）1，,，xnx
nx,0（教师活动）很好，这个不等式“已知，则”就是著名的
（1）1，,，xnx贝努利不等式。
下面就让我们走进贝努利家族。
（带着学生看投影）贝努利家族小史
在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了数十位科学家，其中有8位数学家
雅各布第一•贝努利;约翰第一•贝努利;丹尼尔第一•贝努利在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。
“贝努利不等式”
“贝努利方程”（微积分）
“贝努利级数判别法”（微积分）
“贝努利双纽线”（解析几何）
“贝努利定理”（概率论）
“贝努利数”（概率论）
“贝努利多项式”（概率论）
丹尼尔•贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，
被推崇为数学物理方法的奠基人。
前面同学在证明贝努利不等式中采用了消项的方法达到目的，这就是典型的放缩
法。
二（课堂新授
下面我们就来正式学习用放缩法证明不等式，请看例1（投影）例1（已知实数不全为零，xyz,,
3222222求证:
xxyyyyzzzzxxxyz，，，，，，，，,，，（）2大家可以讨论一下，请一位同学来发言。
（学生活动）讨论两分钟，一位同学起来发言。
132222;xxyyxyy，，,，，（）24
z32222;yyzzyz，，,，，（）24
x33332222222yzzxxzx，，,，，（）zx，由于实数不全为零，，所以，，xyz,,44424
不全为零，所以
1zx222222222xxyyyyzzzzxxxyyz，，，，，，，，,，，，，，（）（）（）222
13zx,，，，，，,，，xyyzxyz（）2222
（教师点评）很好，本题通过配方，巧妙地抛开一项，使得根号下的式子可以顺
利开出来，从而构造出不等式的右边。
这是放缩中一种常见的方法，即“添或删
项”。
下面请大家看例2（投影）。
nnnnn
（1）
（2），，nZ,n,1例2（设，且，求证:
，,ii
（1）,22,1i
n
（教师分析），考虑通项iinn
（1）1223
（1），,，，，，，，？
,1i
2annnn,，,，
（1），形式上有什么特点呢,n
（学生活动）讨论2分钟，一位同学板书。
222nnannnnnn,,,，,，,，,，
（1）
（1）1证明:
因为n
nnn
（1），所以，不等？
？
iinnn
（1）1223
（1）123，,，，，，，，,，，，，,,2,1i
式左边得证。
2nnn，3又，所以？
？
iinnn
（1）1223
（1）231，,，，，，，，,，，，，,,2,i1
nnnnn
（1）
（2），，，得证。
，,ii
（1）,22,1i
nnnn（3），nn
（2），（教师活动）设问，就一定有吗,ii
（1），,ii
（1），,,,22,1,1ii
nnnn
（2）（3），，（学生活动）讨论发现，所以问题不一定成立。
22
（教师活动）既然大家发现上式不一定成立，也就是说我们的放缩过程有问题，放得太大了，那么如何才能做到恰到好处呢。
我们可以将思路转化一下。
（学生活动）讨论，一位同学口述:
nn，，11annn,，,,，
（1）n22
2nnnn，2，不等？
？
iinnn
（1）1223
（1）123，,，，，，，，,，，，，，,,22,i1
式得证。
（教师活动）非常好，这种方法恰到好处的将不等式右边的关系构造了出来，这才是好的放缩。
此题两边采用了不同的放缩方法，右边应用了基本不等式，左边使用了消项，最终都化归到了等差数列的求和上，较前面的题目更综合一些。
下面请大家接着看例3（投影）
，例3（已知，求证:
abcdR,,,,
abcd12,，，，,abdbcacdbdac，，，，，，，，
（教师活动）本题的关系式较复杂，但是不等式两边却是实数，如何才能将实数恰到好处的构造出来呢,
abcd，，，（学生活动）讨论2分钟，一位同学分析:
“1”可以看作“”，所以abcd，，，可以将关系式的分母变大，则项就变小了。
aabb,,;;abdabcdbcaabcd，，，，，，，，，，ccdd,,;.cdbabcddacabcd，，，，，，，，，，
abcd，，，,1abdbcacdbdac，，，，，，，，
而不等式的另外一边则可以通过缩小分母来达到放大的目的。
“1”既可以看做
ababab，cd，，,，,1“”也可以看作“”，故，且ab，cd，abdbcaabab，，，，，，
cdcd，所以，,，,1cdbdaccddc，，，，，，
abcd成立。
12,，，，,abdbcacdbdac，，，，，，，，
（教师活动）学生分析时恰当板书，学生回答完后点评:
这位同学回答的很好，将添项和删项用的恰到好处，将放缩法的精髓完美的解释了出来。
具体的书写请大家课后完成。
接下来请大家做两道练习题，请两位同学板演。
（投影）三（课堂演练
练习:
利用放缩法证明下列各题:
ba222
（1）已知是正数，求证:
;
（1）
（1）（），，，,，xyxyab,ab
1111,
（2）设，求证。
，，，,？
nNn,,,1nnn，，1222
（学生活动）做练习。
（教师活动）点评学生的书写情况:
两位同学写得都非常工整，并且放缩得恰到好处，很好的掌握了放缩法的根本，坐在练习本上的同学可以参照这两位同学的书写，整理一下自己做的。
四（知识小结
放缩法证明不等式
常用的放缩技巧有:
（1）舍掉（或添加）一些项，如例1;
（2）利用基本不等式放缩（注意取等条件），如例2;
（3）分式中的变形，适当的放大或缩小分子（分母）来达到构造常数的目的。
如例3
五（作业
1（将书后练习做在作业本上;
n12（思考题:
（1）若是自然数，求证:
。
n,2,2i,1i
n1,nN,
（2）设，证明:
nn，,,,2（11）2,i,1i
参考文献:
《不等式选讲教参》江苏教育出版社2010,11，第7页;
关于“贝努利家族史”来源自XX。
教后反思:
本节课教授的是利用放缩法证明不等式，由引入练习开始将学生一步步引向贝努利不等式，贝努利家族的历史彻底的抓住了学生的注意力，为接下来的新授做了一个好的开端。
在这堂课上，同时使用了多种教学方法，讨论，引导，动手，点评相结合。
所谓“教无定法，贵在得法”。
只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，有利于重点突出、难点化解都是好的教学方法。
每一堂课都要有一个重点，而本堂课的教学都是围绕着“放缩”这个重点来逐步展开的。
为了让学生明确本堂课的重点、难点，在上课开始时，设置一些小练习或思考是必不可少的，另外一定要有将枯燥的东西有趣化的“亮点”，本节课的第一亮点就是:
贝努利不等式及相关知识。
讲授重点内容，是整堂课的教学高潮，中间不乏让学生犯错，通过纠错达到教学效果。
教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中留下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。
在教学过程中，教师要随时了解学生对所讲内容的掌握情况。
如在讲完一种方法一个例题后，教师要进行点评，将方法提炼升华。
有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会。
同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。
学生是学习的主体，教师要围绕学生展开教学，在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。
根据课堂教学内容的要求，教师要精选例题，关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进来，特别是一些易错的地方，一定要让学生将错误展显出来，然后纠错，再讨论，再写，再提炼，以此加深印象。
教师应腾出十来分钟时间或更多的时间，让学生做做练习或思考教师提出的问题，或解答学生的提问，以进一步强化本堂课的教学内容。
若课堂内容相对轻松，也可以指导学生进行预习，提出适当的要求，为下一次课做准备。
众所周知，近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。
教学中直接把公式、思路拿出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。
其实，数学思想形成的过程蕴含着重要的解题方法和规律，教师没有充分展示思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理。
结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解肤浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套，照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。
如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中不注重独立思维的培养，都会导致在考试中判断错误。
不少学生说:
现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解
题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。
由此可见，在平时的教学中，要逐步渗透对学生思维的培养，要让课堂成为学生的天下，而不是老师的，要让学生从一个旁观者真正成为一个参与者，所谓“授之以鱼不如授之以渔”。
以后的教学中会更加重视这一点。
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财务部日常工作
[财务部日常工作]财务部日常工作财务部录入员日常工作:
1、负责录入各种费单;
2、负责各类租户数据的录入工作;
3、负责各类相关数据信息的修改工作;
4、负责报表的打印与分发工作;
5、处理日常事务，财务部日常工作。
财务部录入员:
[岗位名称]录入员
[层级关系]
直接上级:
财务部经理
[本职工作]协助财务部经理日常工作，做好与财务相关的事务性工
作。
[工作责任]
1.电脑录入前日物流、商场提供的销售票据并及时出库单、销售退
回单;
2.监督检查票据是否正确，如有差错及时纠正并做记载;
3.根据当天发票的全部金额进入总帐，作好凭证，保证现销金额与
所收现金相等，赊销的应收帐款、各科目的金额准确无误;
4.负责查阅、打印经总经理批示的有关销售方面的资料，为企业经
营提供有效数据;
8
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5.掌握、监督销售政策的执行情况，发现问题及时上报立即纠正，
并做记载;
6.定期向财务部经理述职。
[主要权力]
1.对销售票据有审核权;
2.对不符合公司财务制度的行为有投诉、拒绝权;
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[管辖范围]
1.财务部所属办公场所及办公设施、设备;
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[岗位素质条件]
1.自然条件:
男女不限，30岁以下。
2.文化程度:
中专、高中以上学历，财会等相关专业毕业。
3.工作经验:
专业知识丰富。
【扩展阅读篇】
工作总结格式一般分为:
标题、主送机关、正文、署名四部分。
（1）标题。
一般是根据工作总结的中心内容、目的要求、总结方向来定。
同一事物因工作总结的方向——侧重点不同其标题也就不同。
工作总结标题有单标题，也有双标题。
字迹要醒目。
单标题就是只有一个题目，如《我省干部选任制度改革的一次成功尝试》。
一般说，工作总结的标题由工作总结的单位名称、工作总结的时间、工作总结的内容或种类三部分组成。
如“××市化工厂1995年度生产工作总
9
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结”“××市××研究所1995年度工作总结”也可以省略其中一部分，如:
“三季度工作总结”，省略了单位名称。
毛泽东的《关于打退第二次反共高潮的总结》，其标题不仅省略了总结的单位名称，也省略了时限。
双标题就是分正副标题。
正标题往往是揭示主题——即所需工作总结提炼的东西，副标题往往指明工作总结的内容、单位、时间等。
例如:
辛勤拼搏结硕果——××县氮肥厂一九九五年工作总
结——
（2）前言。
即写在前面的话，工作总结起始的段落。
其作用在于用简炼的文字概括交代工作总结的问题;或者说明所要总结的问题、时间、地点、背景、事情的大致经过;或者将工作总结的中心内容:
主要经验、成绩与效果等作概括的提示;或者将工作的过程、基本情况、突出的成绩作简洁的介绍，工作总结《财务部日常工作》。
其目的在于让读者对工作总结的全貌有一个概括的了解、为阅读、理解全篇打下
基础。
（3）正文。
正文是工作总结的主体，一篇工作总结是否抓住了事情的本质，实事求是地反映出了成绩与问题，科学地总结出了经验与教训，文章是否中心突出，重点明确、阐述透彻、逻辑性强、使人信，全赖于主体部分的写作水平与质量。
因此，一定要花大力气把立体部分的材料安排好、写好。
正文的基本内容是做法和体会、成绩和缺点、经
验和教训。
1）成绩和经验这是工作总结的目的，是正文的关键部分，这部分材料如何安排很重要，一般写法有二。
一是写出做法，成绩之后再写经
10
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验。
即表述成绩、做法之后从分析成功的原因、主客观条件中得出经验教益。
二是写做法、成绩的同时写出经验，“寓经验于做法之中”。
也有在做法，成绩之后用“心得体会”的方式来介绍经验，这实际是前一种写法。
成绩和经验是工作总结的中心和重点，是构成工作总结正文的支柱。
所谓成绩是工作实践过程中所得到的物质成果和精神成果。
所谓经验是指在工作中取得的优良成绩和成功的原因。
在工作总结中，成绩表现为物质成果，一般运用一些准确的数字表现出来。
精神成果则要用前后对比的典型事例来说明思想觉悟的提高和精神境界的高尚，使精神成果在工作总结中看得见、摸得着，才有感染力和
说明力。
2）存在的问题和教训一般放在成绩与经验之后写。
存在的问题虽不在每一篇工作总结中都写，但思想上一定要有个正确的认识。
每篇工作总结都要坚持辩论法，坚持一分为二的两点论，既看到成绩又看到存在的问题，分清主流和枝节。
这样才能发扬成绩、纠正错误，虚心
谨慎，继续前进。
写存在的问题与教训要中肯、恰当、实事求是。
（4）结尾一般写今后努力的方向，或者写今后的打算。
这部分要精炼、
简洁。
（5）署名和日期。
署名写在结尾的右下方，在署名下边写上工作总结的年、月、日，如为突出单位，把单位名称写在标题下边，则结尾只
落上日期即可。
简而言之:
11
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总结，就是把某一时期已经做过的工作，进行一次全面系统的总检查、总评价，进行一次具体的总分析、总研究;也就是看看取得了哪些成绩，存在哪些缺点和不足，有什么经验、提高。
那么，工作总
结怎么写?
个人工作总结的格式是怎样的?
详情请看下文解析。
（一）基本情况
1.总结必须有情况的概述和叙述，有的比较简单，有的比较详细。
这部分内容主要是对工作的主客观条件、有利和不利条件以及工作的
环境和基础等进行分析。
2.成绩和缺点。
这是总结的中心。
总结的目的就是要肯定成绩，找出缺点。
成绩有哪些，有多大，表现在哪些方面，是怎样取得的;缺点有多少，表现在哪些方面，是什么性质的，怎样产生的，都应讲
清楚。
3.经验和教训。
做过一件事，总会有经验和教训。
为便于今后的工作，须对以往工作的经验和教训进行分析、研究、概括、集中，并
上升到理论的高度来认识。
今后的打算。
根据今后的工作任务和要求，吸取前一时期工作的经验和教训，明确努力方向，提出改进措施等。
具体可以参考部分工作
总结范文。
（二）写好总结需要注意的问题
1.一定要实事求是，成绩不夸大，缺点不缩小，更不能弄虚作假。
这是分析、得出教训的基础。
2.条理要清楚。
总结是写给人看的，条理不清，人们就看不下去，
12
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即使看了也不知其所以然，这样就达不到总结的目的。
3.要剪裁得体，详略适宜。
材料有本质的，有现象的;有重要的，有次要的，写作时要去芜存精。
总结中的问题要有主次、详略之分，该详的要详，该略的要略。
另外，在结尾处也可以附上下一步个人工
作计划。
财务部门工作内容
[财务部门工作内容]财务部门工作内容按照财务部职责，财务的具体工作包括:
会计核算,财务报告与分析,财务预算的编制、执行控制、调整、总结,资金计划的编制与执行，包括筹措、支付及创利,税务筹划，包括税费缴纳、政策研究、优惠政策争娶与税务及海关的沟通等,项目保险安排，包括建工险、财产险、保障员工利益的寿险,对
项目决策及其他部门业务提供财务支持，财务部门工作内容。
对上述内容各有不同要求，本团认为:
会计核算重在“规范”。
会计核算的总要要求是:
严格遵守会计法规及准则，并与股东核算体系保持一致，在可调节的范围内灵活确定折旧年限、存货计价方法、资产减值等会计估计与变更，以促进项目
收益最大化。
资金管理重在“规划”。
资金筹措和使用的总体要求是:
根据业务计划确定尽量详细、准确的资金安排计划并及时调整，处理好自有资金和债务资金的关系，以最小的融资成本和风险筹措资金，以最高效
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率使用资金，并在确保安全性和流动性的基础上尽量提高闲余资金的
收益。
税务工作重在“筹划”。
税务工作的总体要求是:
在依法纳税的基础上，认真研究税法制度，合理安排项目业务活动，以达到最低税负的目标，同时应向各级税务部门争取最优惠的纳税政策，特别是一些
地方特有的政策要主动争取，如归地方财政的税收返还等。
保险管理重在“全面”。
保险工作的总体要求是:
确保保险保障范围覆盖项目拟转嫁的所有风险，并通过保险方案的优化尽量降低保费支出，同时努力争取最优质的保险服务，特别是事故理赔的效率和公
正。
【扩展阅读篇】
工作总结格式一般分为:
标题、主送机关、正文、署名四部分。
（1）标题。
一般是根据工作总结的中心内容、目的要求、总结方向来定。
同一事物因工作总结的方向——侧重点不同其标题也就不同。
工作总结标题有单标题，也有双标题。
字迹要醒目。
单标题就是只有一个题目，如《我省干部选任制度改革的一次成功尝试》。
一般说，工作总结的标题由工作总结的单位名称、工作总结的时间、工作总结的内容或种类三部分组成。
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“三季度工作总结”，省略了单位名称。
毛泽东的《关于打退第二次反共高潮的总结》，其标题不仅省略了总结的单位名称，也省略了时限
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