全等三角形专题一.docx
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全等三角形专题一
全等三角形专题一
全等三角形的定义及性质
1.
如图，已知点A、B、C、D在同一条直线上，△AEC≌△DFB,如果AD=37，BC=15，那么AB的长为（）
A.10B.11C.12D.13
2.已知△ABC的三边长分别为6，7，10，△DEF的三边长分别为6,3x-2,2x-1，
若两个三角形全等，则x=。
3.一个三角形的三条边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3x-2y，x+2y，若这两个三角形全等，则x+y=。
4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A以
cm/s的速度运动，设运动时间为ts。
（1）求CP的长（用含t的式子表示）；
（2）
若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求
的值。
5.
如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）
A.15︒B.20︒C.25︒D.30︒
6.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25︒，
∠ACB=∠AED=105︒，∠DAC=10︒，则∠DFB为（）
A.40︒B.50︒C.55︒D.60︒
7.如图，已知BE是△ABC的高，P为BE延长线上一点，Q为BE上一点，△PAB≌△AQC，请猜想AP与AQ的位置关系，并证明你的结论。
8.
如图，将△ABC绕点B旋转一定角度，得到△DBE，若∠AGF=20︒，∠ABE=3∠EBC，求
∠DBE的度数
9.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E并交AD于点F，∠ACD=∠AED=105︒，∠CAD=
10︒，∠B=50︒，求∠DEF的度数。
SSS判定
1.如图，已知AB=AD，CB=CD，求证：
∠ADC=∠ABC。
2.如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，OA=OC,EA=EC,求证：
∠A=∠C。
SAS判定
1.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCD，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F。
（1）如图①，若∠ACD=
，则∠AFB的度数是多少？
（用含
的式子表示）
（2）如图①中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图②，试探究∠AFB与
的数量关系，并予以证明。
2.
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=
∠BAD，求证：
EF=BE+FD.
（2）如图②，当
（1）中的条件“∠B=∠D=90︒”改成“∠B+∠D=180︒”，其他条件都不变，
（1）中的结论是否依然成立？
（3）
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180︒，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=
∠BAD，请探究EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由。
3.在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180︒，求证：
DA平分∠CDE。
4.如图，已知AC//BD，AE、BF分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？
请说明理由。
5.
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B，试判断AB、AC、CD三者之间的数量关系，并说明理由。
6.如图，CE、CB分别是△ABC和△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：
CD=2CE。
7.如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：
DE=2AM。
8.证明：
如果两个三角形有两边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等。
已知：
如图，在△ABC与△
中，AB=
，AC=
，AD和
分别为中线，AD=.
求证：
△ABC≌△
ASA及AAS判定
1.如图，已知AB=AD，∠C=∠E，∠1=∠2，求证：
△ABC≌△ADE。
2.如图，BE、CD相交于点F，且∠B=∠C，∠1=∠2，求证：
DF=EF。
3.如图，AC=BC，∠ACB=90︒，点D为BC的中点，BE⊥BC，CE⊥AD，垂足分别为点B、G，那么AD=CE，BD=BE，这两个结论对不对？
为什么？
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90︒，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设P、Q运动时间是t秒（t>0）。
（1）若点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿AC、BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位长度，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中，△APD和△QBE是否保持全等？
判断并说明理由；
（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？
5.数学课上，张老师提出了问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角平分线CF于点F，求证：
AE=EF。
经过思考，小明给出了一种正确的解题思路：
取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△EFC，所以AE=EF。
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：
如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除点B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）
小华提出：
如图3，点E是BC延长线（除点C外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立，你认为小华的观点正确吗？
如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。
HL判定
1.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F，那么CE与DF相等吗？
为什么？
2.如图，已知AD、AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD=AF，AC=AE，求证：
BC=BE。
3.如图，在△ABC中，∠C=90︒，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF：
（1）
求证：
CF=EB
（2）请你判断AE、AF与EB之间的数量关系，并说明理由。
4.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M。
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）
当点E、F两点移动至图②所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？
请说明理由。
角平分线的性质及判定
1.
如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点是OB上任意一点，则线段PN的长度取值范围为（）
A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤3
2.
如图，在△ABC中，∠C=90︒，AD平分∠BAC，过点D做DE⊥AB于点E，
测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是。
3.
如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（）
A.4B.3C.6D.5
4.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC，则
=。
5.如图，在△ABD中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面积等于6，求△ADC的面积。
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AB=5，BC=3，AC=4，P是∠BAC、∠ABC的平分线的交点，试求P到AB边的距离。
7.
如图，已知∠1=∠2，BA∠PCB+∠BAP=180︒.
8.如图，已知在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，求∠A和∠C的和。
9.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=
（AB+AD），求∠ABC+∠ADC的度数。
10.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为49和40.求△EDF的面积。
11.如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD，BE=CF，求证：
AD平分∠BAC。
12.如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C，求证：
点C在∠AOB的平分线上。
13.如图，已知∠C=60︒，AE、BD是△ABC的角平分线，且AE、BD交于点P。
（1）
求∠APB的度数；
（2）求证：
点P在∠C的平分线上；
（3）求证：
①PD=PE②AB=AD+BE
14.如图，在△ABC中，∠ABC=110︒，∠ACB=40︒，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD=40︒，则∠CED=。
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