三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型绝对经典.docx

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三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型绝对经典

三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对经典）

三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对经典）

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

注意：

三角形中位线与梯形中位线

3、如图，已知在

内，

，

，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是

，

的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分

，

求证：

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

三、平移变换

例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为

，△EBC周长记为

.求证

＞

.

例2如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=

，AC=

，求AE、BE的长.

五、旋转

例

1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

例2D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）

当

绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

例3如图，

是边长为3的等边三角形，

是等腰三角形，且

，以D为顶点做一个

角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则

的周长为；

六、利用对称性

例题：

如图，点A是∠MON内的一点，试分别在边OM、ON上确定点B、点C，使△ABC的周长最小．要求画出草图并写出作图的主要步骤．

解：

七、利用三角形三边关系

例1：

已知如图1-1：

D、E为△ABC内两点,求证:

AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证明：

（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;

（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；

（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

由

（1）＋

（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：

）如图1-2，延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）

（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………

（2）

DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）

由

（1）＋

（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

八、利用三角形内外角关系

例题：

如图2-1：

已知D为△ABC内的任一点，求证：

∠BDC＞∠BAC。

九、四边形转化为三角形

例题：

如图8-1：

AB∥CD，AD∥BC求证：

AB=CD。

十、利用面积法

例1：

已知△ABC中，AB=AC，D为边BC上任一点，过点D作DE垂直于AB，交AB于点E,过点D作DF垂直于AC，交AC于点F,过点B作G垂直于AC，交AC于点G.求证：

DE+DF=BG

例2、已知△ABC为等边三角形，变成为6，D为边BC上任一点，过点D作DE垂直于AB，交AB于点E,过点D作DF垂直于AC，交AC于点F,求DE+DF的值。

例3、已知四边形ABCD为正方形，边长为6，以点B为圆心，以BC长为半径画弧，交BD于点E,连接EC,在EC上任找点F,过点F分别作FG、FH垂直于BD、BC，分别交BD于G,交BC于G。

求FG+FH的值

十一、求最小值

例题1、（将军饮马问题）、已知点A、B在直线L的同侧，在直线L上找点C,使AC+BC取得最小值

例题2、（三点共线）、已知△ABC为等边三角形，边长为a,点A、B分别在y轴正半轴上、x轴正半轴上，点C在第一象限内，在AB上找点D,使OD+CD取得最小值。

例题3、如图，在锐角

中，

，

的平分线交

于点

分别是

和

上的动点，则

的最小值是___________．

例4、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值．