用字母表示数.docx
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用字母表示数
《用字母表示数》课堂实录
济南市友谊小学王琨2012年5月
【教学内容】人教版五年级上册47页—48页例4
【教学目标】
1．培养学生在具体情境中能用字母表示数，初步体会利用字母表示数的优越性。
2．通过模型练习，渗透代数思想，理解含有字母的式子既能表示结果又能反映出关系，体会字母表示数的抽象性和概括性。
使学生经历从“算术思维”到“代数思维”的过渡，培养学生的符号意识。
3．培养学生的自我管理、合作交流、解决问题的能力。
【教具学具准备】课件、小黑板
【课堂实录】
一、单刀直入、导入新课
师：
同学们，今天我们一起学习新的内容。
二、创设情境、探究新知
（一）表格信息
师：
先来看一组信息。
请大家仔细观察表格当中学生和老师的年龄数据，你有什么发现？
（图1）
图1-学生和老师年龄表格
生：
我发现了学生的年龄在一岁一岁地增长，而王老师的年龄也在一岁一岁地增长，大家同意吗？
生：
同意。
师：
谁能举个例子来说呀？
生：
老师的年龄是21、22、23、24、25，学生的是6、7、8、9、10，大家同意吗？
生：
同意。
师：
从他的汇报当中我看出咱同学们是竖着观察的，找到了两个变化的量。
有多少同学跟他的想法一样，举举手。
哎哟，你们真的都很善于观察。
那么还有其他的发现吗？
生：
老师的年龄跟学生的年龄都相差15。
是：
在哪儿看出来的？
生：
王老师的年龄是21-6=15，23减8也是15岁‘24-9也是15,25-10也是15，
师：
是啊，我们横着观察发现了一个不变的数呢。
是谁呀？
生：
15。
师：
15是什么呀？
生：
就是他们相差的年龄。
生：
还表示他们之间的关系，大家同意吗？
生：
同意。
师：
看来呀学生和老师的年龄都在不断的变化，那我们之间的年龄关系呢？
生：
不变。
（二）“……”问题，寻求表示方法
师：
咱们再来看看，这儿还有两个省略号呢，猜一猜，我省略了什么？
生：
这个省略号代表的是后面还有很多很多的数。
师：
谁能具体的说一说？
生：
学生的年龄是11，老师的年龄是26。
生：
学生的年龄是12，老师的年龄是27。
生：
学生的年龄是13，老师的年龄是28。
师：
那你39的时候老师多大？
生：
恩……54。
师：
哎，你怎么犹豫了呢？
师：
那你56的时候呢？
我多大？
生：
56+15大家同意吗？
哦减15
生：
加15
师：
等于多少？
生：
71。
师：
看来呀，不太好算了，咱同学都给难住了。
那你76的时候知道我多大吗？
生：
小声的嘀咕91。
师：
是吗？
看来越下说越不好算。
那我们还能往下说多少啊？
生：
很多很多。
师：
是呀，那咱们能不能想一个办法根据学生的年龄用一个式子就能表示出任意一年老师的年龄。
这个意思也就是说这个方法要把老师任意一年的年龄全都包括进来，他就有这么大的本领，知道我们要干什么了吗？
师：
请同学们先独立想一想，再小组里面说一说，最后把你们的集体智慧记录下来，可以吗？
（学生小组讨论，板书做法）（图2）
图2-各组做法汇总
（三）做法分类
师：
很多小组都想好了，这么短的时间，想了这么多种方法。
那我们在研究之前能不能先来分分类呢？
小组里面先来碰碰头讨论一下我们可以按照怎样的标准将他们分类。
师：
好了同学们，你们想好了吗？
生：
我们组是按照图形的，文字的还有数字的分。
师：
他们组是按照不同的表示形式来分，行吗？
有不同的分发吗？
生：
我们组是有字母的，笑脸的表情的然后还有形状的。
师：
他这种形式和刚才那一组一样，有没有不一样的，谁来说。
生：
我们组是有等号的和没等号的。
生：
我们是按运算符号来分的，有加，还有减。
师：
大家想的都很有道理。
咱不妨先按照那一组的方法我们将带等号的分一类，不带等号的分一类先来研究研究可以吗？
（教师移动小黑板）（图3）
图3-做法分类
（四）质疑对比、讲解做法
师：
现在咱们已经分好类了。
同学们，请你们用最快的时间看一下每个组的做法。
你对哪个组的做法有疑问？
有问题提出来。
生：
我不明白2组的，2组你们是怎么想的第二个式子？
（图4）
图4-2组做法
生：
我们组想的是我们多表示一个，我们把这个a比作老师的年龄，15是他们的关系，这个b就是学生的，你明白吗？
生：
但是我不同意你们组的做法，他是求老师的年龄，不是让求学生的年龄，
生：
可以改一改，用b-15=a了，大家同意吗？
生：
我不同意，他说让你求的明明是根据学生的年龄用一个式子就能表示出任意一年老师的年龄，而不是学生的年龄。
师：
看来不是很合适，是吗？
咱们待会再来看。
好同学们，请回。
师：
他们组还有一个做法呢？
你们组能来自己讲一讲这是怎么想的吗？
来，换一个同学行吗？
来，后面那个同学你来讲。
生：
我们组想的是a师表示学生的，15是差距，b是表示老师。
生：
我们为了更清楚一点可以标标，这个代表学生的，这个代表老师的，这个是他们的关系，大家同意吗？
生：
同意。
师：
多清楚呀，你看看同学们厉害吧，鼓鼓掌表扬表扬他们。
师：
看来这个形式是可以的，对吗？
哦，哪些组的想法呀跟他们差不多？
还有想来补充的吗？
来，6组。
（图5）
图5-6组做法
生：
大家请看这里，这是学生，代表学生的年龄，这是他们的差距就是15，老师也就是老师的年龄，所以我们就像用学生的加上差距就是老师的年龄大家同意吗？
生：
同意。
生：
提个小意见，我们看不清楚，能把下面那贴的往上贴贴吗？
师：
哦，好了。
师：
他们组还有两个做法呢，你们组能换个同学再来讲讲吗？
这个是怎么回事呀？
生：
我们组的甲是代表学生，这个乙是代表老师，（+15）是他们的差距，学生的年龄+15就是老师的年龄，大家同意吗？
生：
同意。
师：
也很好，还有想来补充的吗？
来，四组。
（图6）
图6-4组做法
生：
大家请看我们这，我们是用图形表示的，三角表示的是学生的年龄，圆圈是等于老师的年龄，+15是他们之间的关系，他们之间的关系，那就是用学生的年龄加上他们之间的关系就是老师的年龄。
大家同意吗？
生：
同意。
生：
我给大家提个建议，以后写这个字的时候我们可以简便的写，不用写那么全，我们只要看懂意思就行。
你要写那么全的话有点乱。
师：
同学们要注意一下整齐了，是吗？
接受吗？
噢，他们组还有其他做法能看明白吗？
生：
能。
师：
来看看这个是怎么回事啊？
你们组能换个人吗？
总是你啊？
换个同学行吗？
生：
大家请看我这里，这个笑脸是代表学生，然后这个15是代表那个老师和学生的关系，这个哭脸是老师，用笑脸加他们之间的关系就等于老师的年龄。
大家同意吗？
生：
我给你提个建议，你刚才说这个笑脸代表我们老师，有点口误，应该是老师的年龄。
你接受吗？
生：
我接受。
师：
笑脸用来表示谁的年龄？
生：
学生的年龄。
师：
听得真仔细。
当然，我有点小意见。
同学们，你怎么把笑脸表示成你们，哭脸表示成我呢？
生：
哈哈。
师：
下回稍微改改吧。
好，还有补充的吗？
噢，就剩一组了，一组的这个大家一起来看看吧，能看懂吗？
生：
能。
生：
跟我说的一样的。
师：
噢，那我们不说了行吗？
生：
行。
生：
我不知道五组什么意思。
师：
呦，这边的。
来，五组。
（图7）
图7-5组做法
生：
大家请看我们这里，我们这个X是等于我们学生，然后加上15就是学生与老师的关系，然后就能求出老师的年龄。
大家同意吗？
生：
同意
师：
还有补充的吗？
生：
我们这里这个甲也是代表学生的年龄，然后这个15代表的是他和老师的关系，然后学生的甲加上老师和学生的15就可以求出老师的年龄。
大家同意吗？
生：
同意
师：
我有个要纠正的地方，这是学生吗？
怎么说啊？
生：
学生的年龄。
师：
要说完整行吗？
生：
我们组这个三角表示的学生的年龄，这个15表示他们的关系，他们两个加起来就等于老师的年龄。
还有问题吗？
生：
呃。
其实是怎么变，都是学生的年龄+关系就是老师的年龄。
师：
是不是啊？
多了不起的发现啊！
它们的表示形式虽然各不相同，说的一回事儿吧！
很好！
还有问题吗？
生：
没有了。
师：
但是我还有问题。
同学们，你们看，这边四个组同学的做法是一个类型的，这边啊也是一个类型的。
那我们分别从中挑一个代表出来好好研究研究，可以吧？
生：
可以。
（教师挑出a+15=b和a+15）
师：
怎么同样是表示老师的年龄，有的是带等号的，有的不带等号呢？
那你们觉得这两种表示形式，哪种更合适一些呢？
生：
带等号的，不带等号的。
师：
看来同学们的意见不太一样，小组里商量商量。
（小组讨论）
师：
好了同学们，你们现在有想法了吗？
生：
有。
师：
谁来说说，你觉得哪一种更合适些呢？
生：
我觉得应该是带等号，因为它更清楚的表示出了老师的年龄。
生：
我反对，我同意不带等号的，因为不带等号的那样简便，而且这样也能看清楚学生的年龄加他们的关系是老师的年龄。
也能看清。
生：
可是，可是，不明显的看出老师的年龄。
生：
怎么不明显呢？
我们也是学生加上老师的关系。
师：
还可以上来指一指。
生：
我们是用学生加上老师的关系才等于老师的。
我们这样做简便，我们可以用学生加上关系，我们已经知道那就等于老师的了。
就不用写了。
生：
每个有每个的优点，这个优点是看得清楚一些，这个优点是简便。
生：
我不同意我觉得还是这种的好，（a+15=b）这种是一个完整的算式，如果你要不带等号的话，刚才你说等于，但等于后面它的数呢？
不可能有数。
生：
等号左边是代表什么？
生：
老师的年龄。
生：
那等号右边呢？
生：
也是老师啊。
生：
那我们为什么不能把这个b去掉呢？
生：
那我还是觉得a+15比较好。
生：
我不同意，在哪个算式中没有等号啊？
而且再说了，这个a+15，a表示学生的年龄，加上15是老师的年龄，那你怎么知道，等于，等于后面是什么？
师：
听听这位同学说的，来，你说说。
生：
我不同意，因为a+15，这个a你知道是多少吗？
你知道确切的学生年龄是多少吗？
你不知道，你怎么求出老师的确切年龄呢？
生：
a+15就是……
师：
什么意思啊？
生：
a+15没有确定这个a一定是多少，所以就不能确定这个b，所以只能写a+15。
生：
那……
师：
来来，那边有同学说了，你说说。
咱多给其他同学点发言的机会。
听听大家的意见。
生：
请大家来看，这是一个等式，是一个完整的式子，要看这样的话，（a+15）这是个完整的式子吗？
生：
不是。
生：
不知道求的是什么
生：
对。
生：
a是代表学生的年龄，那学生的年龄我们刚才都已经看了，我们再返回那儿来，学生的年龄6.7.8.9.10是一直在变的，你知道那是哪一年的吗？
生：
（a+15=b）这是一个完整的式子，你没有等号，它怎么算是一个完整的式子？
生：
如果举个例子的话，这个a可以代表任何数，假如这个a就代表1的话，1+15.
生：
我不同意，a不可以代表任何数
生：
但是我们这个a，学生的年龄一直在增长，我们不知道到底是几。
生：
你看，我们左边有数，右边有数，多正常啊。
生：
那有0.5的数吗？
0.5+15还有数吗？
生：
我就同意带等号观点，你看，它这个数是一个完整地式子，没有了等于号，它怎么是个完整地式子？
生：
那我们来看，仔细分析一下，等号左边这个式子（a+15）表示的是什么，
a这是学生年龄，+15是学生和老师的关系，（板书）它俩加起来是什么？
师：
问大家了。
生：
它表示的是老师的年龄。
生：
它是表示的是老师的年龄，那等号右边的答案呢？
生：
也是老师的年龄呀。
生：
也是老师的年龄（板书）两个老师的年龄重复了，是不是？
（五）回头看——突破a+15=b和a+15之争
师：
好了，同学们，来，你们讨论太激烈了，先回到座位当中，看到你们的讨论，老师也想参与进来，是啊，就像刚才这位同学也说的，各有各的好，各有各的道理，是不是啊？
师：
我们一起来看一下，到底哪一个更合适一些呢？
来，你们8岁的时候，我多大？
用式子怎么表示？
生：
8+15
师：
9岁的时候？
生：
9+15
师：
10岁的时候？
生：
10+15=25
师：
噢，17的时候呢？
生：
17+15
师：
39？
生：
39+15
师：
56呢？
生：
56+15
师：
78？
生：
78+15
师：
100岁的时候呢？
生：
100+15
师：
那你们a岁的时候，我多大？
生：
a+15
师：
看来只要知道了学生的年龄，马上就能知道老师的年龄，那你们说这个a+15能不能把老师任意一年的年龄全包括进来？
生：
能。
师：
那也就是说，老师的年龄就是多少岁？
生：
a+15（图8）
图8-利用表格“回头看”
师：
是啊，其实这个式子多了不起啊！
除此之外。
还有更值得我们骄傲的地方呢。
你们看，它除了可以表示老师的年龄，还能看出什么来？
生：
还可以表示老师和学生之间的关系，大家同意吗？
生：
同意
师：
谁听清楚了，什么样的关系？
这位男生。
生：
是老师和学生相差一共多少岁。
师：
真好！
多么完美的一种表示形式啊！
好了。
那么你们要是200岁的时候呢，那我是多大？
生：
200+15
生：
啊……（学生笑）
生：
人不可能活200岁，太不现实了吧。
师：
看来啊刚才这个200岁老师没有根据实际情况举例子，刚才有一个同学还提到了a如果等于0.5的时候，可以吧？
生：
可以。
师：
这个时候我们才刚出生呢！
师：
多么好啊！
好了同学们，现在你们再来回过头来看刚才得到的算式，其实都非常的好。
这样的关系，我们以后会再来学习的，咱们现在来看，想要表示老师的年龄有没有更简单的表示形式呢？
生：
a+15
师：
（a-15=b）他这是想表示成谁的年龄？
生：
学生。
师：
可以怎么表示啊？
你们自己说说吧。
怎么表示就行了。
生：
应该是a-15。
师：
（b-15=a）这表示的是谁的年龄啊？
生：
学生。
师：
这两种都表示学生的年龄，你觉得哪一个更合适？
生：
第二种。
师：
为什么是这个呀？
生：
因为这个学生已经表示a了，老师再表示a就混了。
大家同意吗？
师：
同一个情境当中一个字母最好不要表示两种含义，是这样吧？
生：
是。
师：
好了，咱们接着看，这个怎么表示就行？
生：
三角+15，甲+15，笑脸+15，学生+15，学生+15，a+15，甲+15
师：
太好了。
我们同时也发现呀，这边的两个小组一上来就用这种形式表示了，多厉害啊，为他们鼓鼓掌。
好，同学们，那么在这么多的表示方法当中啊，我们国际中最通用的还是用含有字母的式子表示，因为这样应用起来也更加简洁，这就是我们这节课要学习的用字母表示数。
（教师板书课题：
用字母表示数）
三、巩固练习、强化应用
师：
好了，同学们，刚才你们表现的这么好，敢不敢再来挑战一个？
生：
敢。
师：
一起来看第二组信息，请大家仔细的读一下这个题，解决下面的问题。
谁想好了举手。
（图9）
图9-举重问题
（学生独立做题）
师：
谁来说说，来，这个女孩。
生：
我们可以把这些数都用字母表示，表示成a，a再乘以6，就等于能在月球上举起物体的质量。
生：
我补充，这个a就等于是在地球上能举起的物体的质量。
生：
我有一个问题，那我们不用这个a，用h或者任意一个字母可以吗？
生：
可以。
生：
但是最好用a，因为a是26个字母的第一个。
师：
其实我们用任何一个字母来表示是不是都可以啊？
生：
是。
师：
那这里a×6除了表示人在月球上能起物体的质量，还能看出什么来？
生：
还能看出在月球上能举起的质量是在地球上的6倍。
生：
我补充，就是月球上和地球上的关系。
师：
恭喜你们，又找了一个这么完美的式子来解决问题，那有多少同学是用这种方式来表示的，举举手。
真是太了不起了，好，放下手。
四、变式应用、用字母讲故事
（一）用含有字母的式子表示生活信息
师：
同学们，刚才啊，我们利用含有字母的式子帮我们解决了很多的问题。
其实生活中还有很多关于字母的故事呢。
咱一起来看一下。
师：
请大家用含有字母的式子，来讲一讲这是一个怎样的故事呢？
（图10）
图10-用字母讲故事
（1）
生：
原来车上有x个人，然后下去了五个，问现在有多少人？
师：
有多少人啊？
生：
x-5
师：
谁能完整的把这个故事讲一讲啊？
生：
车上原来有x人去上学，到站了有5人下来，列式子就是x-5，大家同意吗？
生：
同意
师：
那么如果10人，怎么表示，一块说。
生：
10-5
师：
32人呢？
生：
32-5
师：
y人呢？
生：
y-5
师：
真好，再来一个？
生：
行。
师：
这又是一个怎样的故事呢？
这节课谁还没发言，从后面找一个。
（图11）
图11-用字母讲故事
（2）
生：
m-10
生：
除以10
生：
因为每盘装10个就是平均分的意思。
师：
都明白了吗？
好，那么这个故事完整的应该怎么讲？
生：
有m个饺子，每盘装10个，能装多少盘？
列式是m÷10。
（二）用字母创编故事
师：
好了，同学们，现在我不给你们图了，就给你们一个字母n和一个数字16。
能讲故事吗？
生：
妈妈买了n捆菜，吃了16捆，用n-16，剩下的就是n-16。
大家同意吗？
生：
同意。
师：
你是不是想讲这样的故事呀。
妈妈买了n捆菜，吃了16捆，还剩n-16捆。
但是不太符合实际情况。
有不一样的故事吗？
生：
我们从超市里买东西，买了n块糖，到了第二天又买了16块糖，现在有n+16块糖。
师：
多好。
n+16，还有不一样的吗？
生：
一座楼有16层，每一层要安n块地板，所以一共要安n×16块地板。
师：
可以吧？
生：
可以。
生：
有n个士兵，教官平均分成了16组，结果是n÷16。
生：
你那个16是什么意思啊？
生：
一组有多少人。
师：
好了同学们，现在啊，我什么都不给你们，能自己来创造一个吗？
生：
有一个专门销售车的店有n辆汽车，有17个客人，买掉了17辆车，又进来了20辆车，用在字母表示就是用n-17+20
师：
大家同意吗？
生：
同意。
师：
讲了一个两步的了。
生：
商店里进来了n捆糖，每个盒子里分成16分，算式是n÷16。
师：
表示的是什么呀？
生：
表示的每盒装多少块糖。
师：
还有吗？
生：
在一个蔬菜市场里，有n个商家，城管把他们分成了16个组，每个组里有n÷16个人
师：
真好！
五、 全课小结、拓展延伸
师：
你们讲得太好了，咱先讲到这儿。
师：
你们知道吗？
在历史上第一个系统地提出用字母表示数的人是法国的大数学家韦达，距离现在已经有400多年的历史了，在西方又被称为“代数学之父”。
（图12）
图12-韦达介绍
我们这节课所学习的用字母表示数是大家对字母认识的又一次重大的飞跃，老师恭喜大家的精彩表现，为自己鼓鼓掌吧！
感兴趣的同学们下课可以继续来研究，让我们一起走进更为神奇的代数世界，今天的课上到这儿。
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