实验2.docx
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实验2
2、实验内容
（1）能控性、能观测性及系统实现
（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal；
（b）已知连续系统的传递函数模型，
，当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c）已知系统矩阵为
，
，
，判别系统的能控性与能观测性；
（d）求系统
的最小实现。
（2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为：
，试对系统闭环判别其稳定性
（b）根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。
（c）Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
1）能控性、能观测性及系统实现
（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal；
例题3.27gram（格拉姆矩阵判别能控性）
试验程序：
a=[010;001;-6-11-6];
b=[01;10;01];
c=[101;010];
d=0;
G=ss（a,b,c,d）;
C=gram（G,'c'）
NC=det（C）
ifNC~=0;disp（'systemiscontrol'）
elsedisp（'systemisuncontrol'）
end
O=gram（G,'o'）
NO=det（O）
ifNO~=0;disp（'systemisobserve'）
elsedisp（'systemisunobserve'）
end
试验结果：
>>matlab_gram
C=
1.7000-0.5000-0.7000
-0.50000.7000-0.5000
-0.7000-0.50001.7000
NC=
0.4800
systemiscontrol
O=
1.21670.05000.0833
0.05001.22500.0500
0.08330.05000.0917
NO=
0.1253
systemisobserve
例题3.27ctrb（能控性）和obsv（能观测性）
试验程序：
a=[010;001;-6-11-6];
b=[01;10;01];
c=[101;010];
d=0;
n=length（a）
qc=ctrb（a,b）
nc=rank（qc）
ifn==nc,disp（'systemiscontrollable'）
elsedisp（'sysisuncontrollable'）
end
qo=obsv（a,c）
no=rank（qo）
ifn==no,disp（'systemisobservable'）
elsedisp（'systemisunobservable'）
end
试验结果：
matlab_ctrb_obsv
n=
3
qc=
011001
1001-11-12
01-11-126061
nc=
3
systemiscontrollable
qo=
101
010
-6-10-6
001
366026
-6-11-6
no=
3
systemisobservable
lyap试验结果（其中的矩阵A=[01;11],C必须为对称矩阵取C=eye（2,2））:
试验程序：
A=[01;11];
C=eye（2,2）;
D=lyap（A,C）
试验结果：
matlab_lyap
D=
0.5000-0.5000
-0.5000-0.0000
例题3.24的ctrbf（能控性分解）和obsvf（能观测性分解）
试验程序：
a=[00-1;10-3;01-3];
b=[1;1;0];
c=[01-2];
d=0;
[Ac,Bc,Cc,Dc,Ec]=ctrbf（a,b,c）
[Ao,Bo,Co,Do,Eo]=obsvf（a,b,c）
试验结果：
matlab_ctrbf_obsvf
Ac=
-1.0000-0.00000.0000
2.1213-2.50000.8660
1.2247-2.59810.5000
Bc=
0
0
1.4142
Cc=
1.7321-1.22470.7071
Dc=
-0.57740.5774-0.5774
-0.40820.40820.8165
0.70710.70710
Ec=
110
Ao=
-1.00001.34163.8341
-0.0000-0.4000-0.7348
00.4899-1.6000
Bo=
1.2247
0.5477
0.4472
Co=
0-0.00002.2361
Do=
0.40820.81650.4082
0.9129-0.3651-0.1826
00.4472-0.8944
Eo=
110
例题3.26minreal（最小实现）
试验程序：
num={[46],[23];-2,-1};
den={[132],[132];[132],[132]};
G=tf（num,den）;
GS=ss（G）;
GM=minreal（GS）;
AM=GM.a
BM=GM.b
CM=GM.c
DM=GM.d
试验结果：
matlab_minreal
2statesremoved.
AM=
-3.0800-1.5600
1.44000.0800
BM=
2.80001.4000
-0.4000-0.2000
CM=
1.70001.9000
-0.1000-0.7000
DM=
00
10
（b）已知连续系统的传递函数模型，
，当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性
a=-1试验程序：
num=[1-1];
den=[1102718];
[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）
n=length（A）
qc=ctrb（A,B）
nc=rank（qc）
ifn==nc,disp（'systemiscontrollable'）
elsedisp（'systemisuncotraollable'）
end
qo=obsv（A,C）
no=rank（qo）
ifn==no,disp（'systemisobservable'）
elsedisp（'systemisunobservable'）
end
试验结果：
a=-1的结果：
matlab_a1
A=
-10-27-18
100
010
B=
1
0
0
C=
01-1
D=
0
n=
3
qc=
1-1073
01-10
001
nc=
3
systemiscontrollable
qo=
01-1
1-10
-11-27-18
no=
3
systemisobservable
a=0的试验程序：
num=[10];
den=[1102718];
[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）
n=length（A）
qc=ctrb（A,B）
nc=rank（qc）
ifn==nc,disp（'systemiscontrollable'）
elsedisp（'systemisuncotraollable'）
end
qo=obsv（A,C）
no=rank（qo）
ifn==no,disp（'systemisobservable'）
elsedisp（'systemisunobservable'）
end
a=0的试验结果：
matlab_a2
A=
-10-27-18
100
010
B=
1
0
0
C=
010
D=
0
n=
3
qc=
1-1073
01-10
001
nc=
3
systemiscontrollable
qo=
010
100
-10-27-18
no=
3
systemisobservable
a=1试验程序：
num=[11];
den=[1102718];
[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）
n=length（A）
qc=ctrb（A,B）
nc=rank（qc）
ifn==nc,disp（'systemiscontrollable'）
elsedisp（'systemisuncotraollable'）
end
qo=obsv（A,C）
no=rank（qo）
ifn==no,disp（'systemisobservable'）
elsedisp（'systemisunobservable'）
end
a=1的试验结果：
matlab_a3
A=
-10-27-18
100
010
B=
1
0
0
C=
011
D=
0
n=
3
qc=
1-1073
01-10
001
nc=
3
systemiscontrollable
qo=
011
110
-9-27-18
no=
2
systemisunobservable
（c）已知系统矩阵为
，
，
，判别系统的能控性与能观测性
试验程序：
A=[6.666-10.6667-0.3333;101;012];
B=[0;1;1];
C=[102];
n=length（A）
qc=ctrb（A,B）
nc=rank（qc）
ifn==nc,disp（'systemiscontrollable'）
elsedisp（'systemisuncontrollable'）
end
qo=obsv（A,C）
no=rank（qo）
ifn==no,disp（'systemisobservable'）
elsedisp（'systemisunobservable'）
end
试验结果：
matlab_c
n=
3
qc=
0-11.0000-84.9926
1.00001.0000-8.0000
1.00003.00007.0000
nc=
3
systemiscontrollable
qo=
1.000002.0000
6.6660-8.66673.6667
35.7689-67.4375-3.5551
no=
3
systemisobservable
（d）求系统
的最小实现
试验程序：
num=[11];
den=[1102718];
G=tf（num,den）;
GS=ss（G）;
GM=minreal（GS）;
AM=GM.a
BM=GM.b
CM=GM.c
DM=GM.d
试验结果：
matlab_d
1stateremoved.
AM=
-3.66360.1575
9.8425-5.3364
BM=
0.3522
-0.3522
CM=
0.25000.2500
DM=
0
2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为：
，试对系统闭环判别其稳定性
试验程序：
k=100;
z=[-2];
p=[0-1-20];
[A,B,C,D]=zp2ss（z,p,k）;
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D）;
Q=num+den;
roots（Q）
试验结果：
>matlab_2_a
ans=
-12.8990
-5.0000
-3.1010
显然系统的所有特征根均为负值即全部在左半平面内，故系统是稳定的。
（b）根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性
试验程序：
num=[13];
den=conv（[10],conv（[15],conv（[16],[122]）））;
SYS=tf（num,den）;
rlocus（SYS）;
[k,p]=rlocfind（SYS）
title（'ÌâËù¸øϵͳµÄ±Õ»·¸ù¹ì¼£Í¼'）;
试验结果：
matlab_2_b
Selectapointinthegraphicswindow
selected_point=
-2.9562-0.3106i
k=
292.7543
p=
-6.1124+2.1983i
-6.1124-2.1983i
0.9746+2.5865i
0.9746-2.5865i
-2.7244+0.0000i
（c）Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性
试验程序：
num=[2.7];
den=[1540];
[A,B,C,D]=margin（num,den）
G=tf（num,den）;
Q=feedback（G,1,-1）;
figure
（1）;
bode（G）;
grid;
figure
（2）;
step（Q）;
试验结果：
1）matlab_c1
A=
7.4074
B=
51.7321
C=
2.0000
D=
0.5783
可以看出，该系统的增益裕度A大于6DB,相角裕度在30~60之间，并且阶跃响应图稳定，故系统稳定。
2）试验程序：
num=[2.7];
den=[15-40];
[A,B,C,D]=margin（num,den）
G=tf（num,den）;
Q=feedback（G,1,-1）;
figure
（1）;
bode（G）;
grid;
figure
（2）;
step（Q）;
试验结果：
A=
Inf
B=
-58.0504
C=
NaN
D=
0.5346
Warning:
Theclosed-loopsystemisunstable.
Inwarningat25
InDynamicSystem.marginat65
Inmarginat100
Inmatlab_c2at3
分析易知道该系统不稳定。
d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
试验程序：
A=[010;001;2500-5];
B=[0;0;10];
C=[-2550];
D=0;
[z,p,k]=ss2zp（A,B,C,D）
[p,D]=eig（A）
试验结果：
matlab_2_d
z=
5
p=
-5.0000+5.0000i
-5.0000-5.0000i
5.0000+0.0000i
k=
50
p=
-0.0000+0.0198i-0.0000-0.0198i-0.0392+0.0000i
-0.0990-0.0990i-0.0990+0.0990i-0.1960+0.0000i
0.9900+0.0000i0.9900+0.0000i-0.9798+0.0000i
D=
-5.0000+5.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i-5.0000-5.0000i0.0000+0.0000i
0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i5.0000+0.0000i
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