广西南宁市高三第二次适应性测试考试数学理试题.docx
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广西南宁市高三第二次适应性测试考试数学理试题
2015年南宁市高中毕业班第二次适应性测试
理科数学
一．选择题：
本大题共12小题，每小题5分共60分。
结束
1．已知全集为R，集合A＝{x|x2＋5x－6≥0}，B＝{x|x≤或x＞8}，
则A∩（∁RB）等于
（A）[6，8）（B）[3，8]（C）[3，8）（D）[1，8]
2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（1－i）＝2，则z为
（A）1＋i（B）1－i（C）2＋i（C）2－i
3．（x－）5的展开式中，x的系数为
（A）40（B）－40（C）80（D）－80
4．如图所示的程序框图，其输出结果是
（A）341（B）1364（C）1365（D）1366
5．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线4x－3y＋1＝0垂直，则双曲线的两条渐近线方程为
（A）y＝±x（B）y＝±x（C）y＝±x（D）y＝±x
6．已知实数x，y满足，若x－y的最小值为－2，则实数m的值为
（A）0（B）2（C）4（D）8
7．设△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是
（A）3（B）（C）（D）3
8．设抛物线C:
y＝x2与直线l：
y＝1围成的封闭图形记为P，则图形P的面积S等于
（A）1（B）（C）（D）
9．函数f（x）＝（1＋cos2x）sin2x，x∈R是
（A）最小正周期为π的奇函数（B）最小正周期为的奇函数
（C）最小正周期为π的偶函数（D）最小正周期为的偶函数
10．某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为
（A）（B）（C）（D）
11．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为
（A）24π（B）6π（C）4π（D）2π
12．设△ABC的内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且sin2A＋sin2B＋sin2C＝，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是
（A）（a＋b）＞16（B）bc（b＋c）＞8
（C）6≤abc≤12（D）12≤abc≤24
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）
13．已知向量、满足||＝||＝2且（＋2）•（－）＝－2，则向量与的夹角为_____
14．已知函数f（x）＝，若f（0）＝－2，f（－1）＝1，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为_____________
15．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积等且＝，则的值是_______
16．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若＝6，则所k的值为_______
三．解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3，3a2成等比数列。
（1）求等比数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝（n＋2）log2an，求数列的前n项和Tn.
18．（本小题满分12分）
为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知次数在[100，110）间的频数为7，次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在[110，130）视为达标，次数在130以上视为优秀。
（1）求此次抽样的样本总数为多少人？
（2）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？
（3）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为X，求X的分布列和期望。
（19）（本小题满分12分）
如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，PC＝2
（1）试确定点F的位置，使得EF∥平面PDC;
（2）若BF＝BP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C:
y＝2x2，直线l:
y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N，
（1）证明:
抛物线C在点N处的切线与AB平行;
（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值;若不存在，说明理由.
（21）（本小题满分12分）
设函数f（x）＝（1＋x）2－2ln（1＋x）.
（1）若关于x的不等式f（x）－n≥0在[0，e－1]（e是自然对数底数）上有实数解，求实数m的取值范围;
（2）设g（x）＝f（x）－x2－1，若关于x的方程g（x）＝p至少有一个解，求p的最小值;
（3）证明不等式ln（n＋1）＜1＋＋＋…＋（n∈N*）.
22．（本小题满分10分）选修4－1：
几何证明选讲
已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上异于A、B的一点，过点C答半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，且DE＝1，
（1）证明：
AC平分∠BAD；
（2）求BC的长。
23．（本题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
已知直线l:
（t为参数，α≠kπ，k∈Z）经过椭圆C:
（φ为参数）的左焦点F，
（1）求m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|×|FB|的最小值。
24．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数f（x）＝|x－a|.
（1）若f（x）≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a、m的值；
（2）当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f（x）＋t≥f（x＋2）
2015年南宁市高中毕业班第二次适应性测试（理科数学）参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
C
A
D
C
D
D
C
B
B
13.14.315.16.k＝或
10．某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的跑法:
问题分成二类（棒选人，按第一棒是否选乙分两类）:
①乙跑第一棒，乙跑第一棒有AA＝60种方法;
②乙不跑第一棒有AAA＝192种方法.
故共有AA＋AAA＝252种
甲跑第二棒的方法:
CA＝48
∴甲跑第二棒的概率为P＝＝
12提示：
sin2A＋sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin2B－sin（2A＋2B）
＝sin2A＋sin2B－sin2Acos2B－cos2Asin2B
＝2sin2A（1－cos2B）＋sin2B（1－cos2A）
＝＝4sinAsinB（cosAsinB+cosBsinA）＝4sinAsinBsinC＝
即sinAsinBsinC＝，又S＝absinC＝×2RsinA×2RsinB×sinC
＝2R2×＝∈[1，2]，则4≤R2≤8
（b＋c）bc＝abc×＝8R3sinAsinBsinC×＝R3×＞R3恒成立
∴（b＋c）bc＞8
16.解：
依题意设椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx（k＞0），
如图，设D（x0，kx0），E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，且x1，x2满足方程（1＋4k2）x2＝4
故x2＝－x1＝，①
由＝6知x0－x1＝6（x2－x0），
得x0＝（6x2＋x1）＝x2＝；
由D在AB上知x0＋2kx0＝2得x0＝，∴＝
化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝
（17）（本小题满分12分）解：
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，
∵2a1，a3，3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3……………………1分
2a1＋3a1q＝2a1q2…………………………..2分
2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－……………………3分
∵q＞0∴q＝2……………………………………………..4分
∵a1＝2
∴数列{an}的通项公式an＝a1qn－1……………………….5分
＝2n，n∈N………………………6分
（Ⅱ）∵bn＝（n＋2）log2an＝n（n＋2）……………………….7分
∴＝＝（－）………………………….9分
Tn＝＋＋…＋＋
＝[（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋（－）＋（－）……………10分
＝（1＋－－）…………………….11分
＝－……………………………..12分
（18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设样本总数为n
∵由频率分布直方图可知：
次数在[100，110）间的频率为0.014×10＝0.14………………1分
∴＝0.14，解得n＝50人……………………………2分
（Ⅱ）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A
P（C）＝0.006×10＋0.014×10＝0.2……………………………………3分
P（B）＝0.028×10＋0.022×10＝0.50…………………………………4分
P（A）＝1－P（B）－P（C）＝0.30………………………………………5分
（Ⅲ）∵在高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X＝10，15，20，25、30…………6分
∴P（X＝10）＝0.2×0.2＝0.04；
P（X＝15）＝2×0.2×0.5＝0.2
P（X＝20）＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37
P（X＝25）＝2×0.3×0.5＝0.3
P（X＝30）＝0.32＝0.09[对一个给1分，但不超过4分]…………………………………10分
x
10
15
20
25
30
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
∴E（X）＝0.04×10＋0.2×15＋0.37×20＋0.3×25＋0.09×30………………………………11分
＝21…………………………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解（Ⅰ）取F为线段BP中点，取PC的中点为O，连FO，DO……………2分
∵F、O分别为BP、PC的中点，∴FOBC∴ABCD为平行四边形，ED∥BC且DE＝BC
∴FO∥ED且DE＝FO∴四边形EFOD是平行四边形…………………3分
∴EF∥DO……………………………4分
∵EF平面PDC∴EF∥平面PDC……………5分
（Ⅱ）以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系………6分
∵D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，3），P（－2，2，0），A（0，0，3）…………7分
∵设F（x，y，z），＝（x－2，y，z－3）＝＝（－，，－1）∴F（，，2）………………8分
＝（，，－1），设平面PBC的法向量＝（a，b，c）
则，……………………………9分
令y＝1，可得＝（，1，0）……………………………………10分
cos<，>＝……………………………………………………11分
＝
∴直线AF与平面PBC所成角的正弦值为………………………12分
（20）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解法一：
设A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝kx＋2代入y＝2x2得
2x2－kx－2＝0
得x1＋x2＝…………………………1分
∵xN＝xM＝＝∴N点的坐标为（，）…………………………2分
∵y'＝4x∴y'|＝k…………………………………………3分
即抛物在点N处的切的斜率为k…………………………………………4分
∵直线l:
y＝kx＋2的斜率为k∴l∥AB…………………………………5分
解：
设A（x1，y1），B（x2，y2）把y＝kx＋2代入y＝2x2得
2x2－kx－2＝0
得x1＋x2＝…………………………1分
∵xN＝xM＝＝∴N点的坐标为（，）…………………………2分
设抛物线在点N处的切线l的方程为y－＝m（x－）
将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0……………3分
∵直线l与抛物线C相切，∴∆＝m2－8（－）＝m2－2mk＋k2＝（m－k）2＝0…4分
∴m＝k即l∥AB………………………………………………………………5分
（Ⅱ）假设存在实数k，存在实数k使AB为直径的圆M经过点N．
∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB． ………………………1分（6分）
由（Ⅰ）知 yM＝（y1+y2）＝（kx1+2+kx2+2）＝[k（x1+x2）+4]＝
＝（+4）＝+2…………………………………………………7分
∵MN⊥x轴∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝…………………………8分
∵|AB|＝×……………………………………9分
＝＝×………………………10分
∵＝×∴k＝±2
使存在实数k＝±2使AB为直径的圆M经过点N． ………………………2分（12分）
21.解：
（Ⅰ）∵f'（x）＝2（1＋x）－………………………1分（1分）
∵当x≥0时，1＋x≥，∴f'（x）＝2（1＋x）－在[0，e－1]上有f'（x）≥0，
f（x）＝（1＋x）2－2ln（1＋x）在[0，e－1]上单调递增，………………………………………（2分）
f（x）|max＝f（e－1）＝e2－2………………………………………1分（3分）
∵关于x的不等式f（x）－m≥0在[0，e－1]（e是自然对数底数）上有实数解，
∴f（x）|max≥m，即m≤e2－2……………………………………1分（4分）
（Ⅱ）∵g（x）＝f（x）－x2－1＝2x－2ln（1＋x）∴g'（x）＝2（1－）……………………1分（5分）
∵g'（x）＝2（1－）在（－1，0）上g'（x）＜0，在（0，＋∞）上g'（x）＞0………………………1分（6分）
g（x）|min＝g（0）＝0…………………………………………………………………..1分（7分）
∵x的方程g（x）＝p至少有一个解，∴p≥0，p最小值为0． …………………………1分（8分）
（Ⅲ）证明：
∵由（Ⅱ）可知g（x）≥0在（－1，＋∞）上恒成立，
∴ln（1＋x）≤x，当且仅当x＝0时等号成立． …………………………………1分（9分）
∵令x＝，n∈N*，x∈（0，1），有ln（1＋）＜，即ln（n＋1）－lnn＜，………………2分（10分）
∴取n＝1，2，3，，所得不等式相加得ln（n＋1）＜1＋＋＋…＋（n∈N*）………………….1分（12分）
22．解：
（Ⅰ）∵CD为半圆O的切线，AD⊥CD，
∴OC∥AE，∠EAC＝∠ACO． ……………………2分（2分）
∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC． ………………………2分（4分）
即AC平分∠BAD． ………………………1分（5分）
（Ⅱ）∵A，B，C，E共圆，∴∠ABC＝∠CED．………………………1分（6分）
∵CD为半圆O的切线，∴∠BAC∠ECD．………………………1分（7分）
∵△ABC∽△CDE， ………………………1分（8分）
∴ ＝． ……………………………………………………………………………1分（9分）
∵BC＝EC，AB＝4，DE＝1，∴BC＝2．……………………………………1分（10分）
23．解：
（Ⅰ）∵椭圆C:
的普通方程为＋＝1，………………1分（1分）
∴F（－1，0）．………………………1分（2分）
∵直线l:
的普通方程为y＝tanα（x－m），………………………1分（3分）.
∵α≠kπ，k∈Z∴tanα≠0………………………1分（4分）
∵0＝tanα（－1－m）∴m＝－1………………………1分（5分）
（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆C的普通方程＋＝1，并整理，
得（3cos2α＋4sin2α）t2－6tsosα－9＝0………………………1分（6分）
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2 ………………………1分（7分）
则|FA|×|FB|＝|t1t2|……………………………………………………1分（8分）
＝...........................................................1分（9分）
当sinα＝±1时|FA|×|FB|最小值为．………………………………………………..1分（10分）
24．解：
（Ⅰ）∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a．………………………1分（1分）
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，………………………1分（2分）
∴a＝2，m＝3………………………………………………………………………2分（4分）
（Ⅱ）f（x）＋t≥f（x＋2）化为|x－2|＋t≥|x）．……………………………..1分（5分）
当x∈（－∞，0）时，2－x＋t≥－x，2＋t≥0∵0≤≤1∴x∈（－∞，0）…………1分（6分）
当x∈[0，2）时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，
∵1≤1＋≤2∴0≤x≤1＋…………………………………………………1分（7分）
当x∈[2，＋∞）时，x－2＋t≥x，t≥2，∵当0≤t＜2时，∴x∈∅；当t＝2时x∈[2，＋∞）……1分（8分）
∴若0≤t＜2时原不等式的解集为（－∞，＋1]；当t＝2时x∈[2，＋∞）……………………2分（10分）
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