新北师大版八年级数学下册第一章证明.docx
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新北师大版八年级数学下册第一章证明
新北师大版八年级数学下册第一章证明
（二）辅导资料
第一节等腰三角形
知识回顾：
复习证明全等三角形的判定方法
等腰三角形的性质：
（1）、等腰三角形的两个底角，也就是说，在同一个三角形中，；
（2）、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合，简称等腰三角
形。
等腰三角形有下面的判定方法：
（1）、依据三角形定义：
如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。
（2）、依据定理：
如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。
简单地
说：
在同一个三角形中，；
3、有边相等的三角形叫做等腰三角形。
有三边相等的三角形叫做三角形，也叫三角形。
4、等边三角形的内角都，且等于;等边三角形是
图形
5、等边三角形的判定方法：
（1）有边相等的三角形叫做等边三角形；
（2）有角相等的三角形叫做等边三角形；
（3）有个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；
（4）有个内角等于600的三角形叫做等边三角形。
典型例题：
1、已知等腰三角形的一边长为二，另一边长为叮，则它的周长为
。
2、已知等腰三角形的一边长为：
，另一边长为，则它的周长为<
3、等腰三角形底边长为二二，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长
为
3、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于度；如果底角等于36°，那么
顶角的度数为.
4、有一个角等于50。
，另一个角等于的三角形是等腰三角形.
5、等边三角形的三个内角的度数分别为.
6、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为.
7、有一个内角为罔疔的等腰三角形的另外两个内角的度数为.
8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于度；如果一个底角是
顶角的2倍，那么顶角等于度•
9、如图，占月二占D,AD丄月C交BC于点D,百口=5匸伦,那么BC的长为
12.—个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度
数.
13.如图，已知/D=/C,/A=/B,且AE=BF。
求证：
AD=BC。
14.如图，在△ABC中，AB=AC,AD丄AC/BAC=100°。
求/1、/3、/B的度数。
能力提升
填空：
3.如图，AB、F、D在同一直线上，AB=DFAE=BC,且AE//BC.
求证：
⑴厶AEF^ABCD⑵EF/CD.
经典证明题:
1如图，ABC中，BD丄AC于D,CELAB于E,BD=CE。
求证：
ABC是等腰三角形。
2、如图，在△ABC中，AB=AC,DE//BC,求证：
△ADE是等腰三角形。
交BC边于点D。
求证：
ADLBCo
4、已知：
如图，△ABC是等边三角形,求证：
△ADE是等边三角形。
C
DE//BC,交ABAC于DEo
A
5、如图，△ABC是等边三角形，BD=CE,/1=/2。
求证：
△ADE是等边三角形。
6、如图，在RtABC中，/B=30°,BD=AD,BD=12，求DC的长。
练习:
填空:
（1）如图1,BC=AC,若，则△ABC是等边三角形。
（2）如图2，AB=AC，BC丄AD,BD=4，若AB=，则△ABC是等边三角形。
（3）
女口图3,在RtABC中，/B=30°，AC=6cm,贝UAB=;若AB=7，贝UAC=
2、如右图，已知△ABC^D^BDE都是等边三角形，求证:
3、填空:
（1）如图1,AB=AC,人。
是厶ABC的一条中线，AB=5，若BD=
则厶ABC是等边三角形。
（2）
如图2，/BAC=120°,AB=AC,AB=14,贝UAD=。
求DB的长。
5、在四边形ABCD中，/A=60°
C
A
6、如图，AB=AC0是BC的中点，ODLAB于D,OELAC于E,请用两种方法说明0D=0E
7、如图，已知AD//BC,BD平分/ABC.AABD是等腰三角形吗？
请你说明理由
8、如图，已知等边△ABC中，BD=CEAD与BE相交于点P,
（1）求证：
△ABD^ABCE
（2）求/APE的度数。
9•要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。
修在河边什么地方，可使
所用水管最短？
试在图中确定水泵站的位置.
B木宀李庄
A
张村A
l
第二节直角三角形
知识回顾：
1.勾股定理的内容：
2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（
①8，15，17②4，5，6③7，5.4，8.5
3.把命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果，那么
）
④24，25，7⑤5，8，10
的条件和结论交换位置：
。
此命题是命题.
知识点
1、直角三角形的两个锐角互余。
（性质）
2、有两个角互余的三角形是直角三角形。
（判定）
3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（性质）
4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（判定）
5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
练习：
1、说出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假：
（1）四边形是多边形；（
（2）两直线平行，同旁内角互补；（
（3）如果ab=O,那么a=O,b=O.（
2、命题：
等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是
3.若一个直角两直角边之比为3:
4,斜边长20CM则两直角边为
4.已知直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边长为，斜边上的咼为.
5.小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，如
果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B将向外移动多少米•
练习：
选择题
1.下列命题中，是真命题的是（）
A.相等的角是对顶角B.两直线平行，同位角互补
C.等腰三角形的两个底角相等D.直角三角形中两锐角互补
2.若三角形三边长之比为1：
.一：
2,则这个三角形中的最大角的度数是（）
A.60°B.90°C120°D.150°
3.在△ABC中，若/A：
/B：
ZC=3:
1:
2,则其各角所对边长之比等于（）
A..-：
1:
2B.1:
2:
.C.1：
一：
2D.2:
1:
；
4.具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）
A.—边和这边上的高对应相等B.两边和第三边上的高对应相等
C.两边和其中一边的对角对应相等D.两个直角三角形中的斜边对应相等
5.在等腰三角形中，腰长是a,—腰上的高与另一腰的夹角是30°,则此等腰三角形的底
边上的高是.
6、如图，BA^LDA于A,AD=12,DC=9,CA=15，求证:
7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a,则a=
8、已知：
如图，△ABC中,CDLAB于D,AC=4,BC=3,DE=?
。
5
（1）求DC的长；
（2）求AD的长；（3）求AB的长；
（4）求证：
△ABC是直角三角形.
9、填空：
（1）直角三角形的两直角边为9、12,则斜边为;直角三角形的斜边为13,
其中一条直角边为5,则另一条直角边为。
（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8,则这个三角形是三角形。
10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1）等边对等角；
2）对顶角相等；
3）平行四边形的两组对边相等；
4）正方形的四条边都相等；
11、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，/ACB=90°,
AG=80米，BG=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？
最低造价是多少？
BC=36m求这块地的面积。
15、填空：
.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF/C=ZF=90°。
（1）若/A=ZD,BC=EF,贝URt△ABC^Rt△DEF的依据是
（2）若/A=ZD,AC=DF贝URt△ABC^Rt△DEF的依据是
（3）若/A=ZD,AB=DE贝URt△ABC^Rt△DEF的依据是
（4）若AC=DFAB=DE贝URt△ABdRt△DEF的依据是.
（5）若AC=DFCB=FE,则Rt△ABdRt△DEF的依据是.
16、如下图,
CDLADCB丄AB,AB=AD求证：
CD=CB
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