牛吃草问题练习及答案.docx

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牛吃草问题练习及答案

牛吃草问题

 历史起源：

英国数学家牛顿（1642—1727）说过：

“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。

在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。

  主要类型：

  1、求时间  

  2、求头数  

  除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

  基本思路：

  ①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。

  ②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

  ③根据（“原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数。

  基本公式：

  解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶  

（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；  

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`  

  （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；  

  （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度  

  第一种：

一般解法  

  “有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。

如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？

并且牧场上的草是不断生长的。

”  

  一般解法：

把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

（1）27头牛6天所吃的牧草为：

27×6＝162 （这162包括牧场原有的草和6天新长的草。

）  

（2）23头牛9天所吃的牧草为：

23×9＝207 （这207包括牧场原有的草和9天新长的草。

）  

  （3）1天新长的草为：

（207－162）÷（9－6）＝15  

  （4）牧场上原有的草为：

27×6－15×6＝72 

  （5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：

72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）  

  所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

  第二种：

公式解法  

  有一片牧场，草每天都匀速生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。

（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？

  解答：

  1） 草的生长速度：

（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）  

  原有草量：

21×8-12×8=72（份）  

  16头牛可吃：

72÷（16-12）=18（天）  

  2） 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数  

  所以最多只能放12头牛。

例题一一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

解：

把每天每头牛吃的草量看成“1”。

第6周时总草量为：

6×27＝162

第9周时总草量为：

9×23＝207

3周共增加草量：

207－162＝45

每周新生长草：

45÷（9－6）＝15即每周生长出的草可以供15头牛吃。

原有草量为：

162－6×15＝72

所以可供21头牛吃：

72÷（21－15）＝12（周）

随堂练习：

1、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？

解：

20天时草地上共有草：

10×20＝200

10天时草地上共有草：

15×10＝150

草生长的速度为：

（200－150）÷（20－10）＝5

即每天生长的草可供5头牛吃。

原草量为：

200－20×5＝100

可供25头牛吃：

100÷（25－5）＝5（天）

2、一片草地，每天都匀速长出青草。

如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。

那么可供19头牛吃几天？

解：

6天时共有草：

24×6＝144

10天时共有草：

20×10＝200

草每天生长的速度为：

（200－144）÷（10－6）＝14

原有草量：

144－6×14＝60

可供19头牛：

60÷（19－14）＝12（天）

3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，可供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？

解：

8天时草的总量为：

5×8＝40

2天时草的总量为：

14×2＝28

草每天生长的速度为：

（40－28）÷（8－2）＝2

即每天生长的草可供2头牛吃。

草地上原有的草为：

28－2×2＝24

可供10头牛吃：

24÷（10－2）＝3（天）

4、某牧场上的草，若用17人去割，30天可以割尽，若用19人去割，则只要24天便可割尽，问用多少人割，6天可以割尽？

（草匀速生长，每人每天割草量相同）

解：

（17×30－19×24）÷（30－24）＝9

17×30－9×30＝240

240÷6＋9＝49（人）

5、武钢的煤场，可储存全厂45天的用煤量。

当煤场无煤时，如果用2辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5天可将煤场储满；如果用4辆小卡车去运，那么9天可将煤场储满。

如果用2辆大卡车和4辆小卡车同时去运，只需几天就能将煤厂储满？

（假设全厂每天用煤量相等。

）

解：

（45＋5）÷5＝10（45＋9）÷9＝645÷（10＋6－1）＝3（天）

6、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？

（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】4

解：

（21×12－23×9）÷（12－9）＝15

23×9－15×9＝72

72÷（33－15）＝4（周）

7、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。

问多少头牛5天可以把草吃完？

解：

（10×20－15×10）÷（20－10）＝5

10×20－20×5＝100

100÷5＋5＝25（头）

例题二由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，照这样计算，某牧场草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么，可供多少头牛吃10天？

解：

5天时草地上共有草：

5×20＝100

6天时草地上共有草：

6×15＝90

每天草地上的草减少：

（100－90）÷（6－5）＝10

原草量为：

100＋5×10＝150

10天后还剩下的草量：

150－10×10＝50

50÷10＝5（头）

随堂练习：

1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。

照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

解：

5天时草地上共有草：

33×5＝165

6天时草地上共有草：

24×6＝144

每天减少：

（165－144）÷（6－5）＝21

原有的草量为：

165＋5×21＝270

10共减少了：

21×10＝210

10天后剩草量为：

270－210＝60

60÷10＝6（头）

2、天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。

经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么可供11头牛吃几天？

解：

5天时共有草：

20×5＝100

6天时共有草：

16×6＝96

草减少的速度为：

（100－96）÷（6－5）＝4

原有的草量为：

100＋4×5＝120

可供11头牛吃：

120÷（11＋4）＝8（天）

3、因为天气日渐寒冷，牧场上的草不但不生长，反而以固定的速度每天在减少。

如果20头牛去吃20天可以吃完；如果30头牛去吃15天可以吃完。

那么，如果10头牛去吃____天可以吃完。

解：

（30×15－20×20）÷（20－15）＝10

20×20＋10×20＝600

600÷（10＋10）＝30（天）

答：

10头牛去吃30天可吃完。

4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供12头牛吃7天。

照此计算，可供6头牛吃几天？

解：

假设1头牛1天吃1份的草

20头牛5天一共吃了：

20×5=100份的草

12头牛7天一共吃了：

12×7=84份的草

时间相差：

7-5=2（天）

草量减少：

100-84=16份的草

说明，一天减少：

16÷2=8份的草

5天减少了：

8×5=40份的草

原来牧场上有：

100+40=140份的草

这140份的草，可供6头牛吃：

140÷（6+8）=10（天）

例题三自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问该扶梯共有多少级台阶？

解：

5分钟时男孩共走了：

20×5＝100（台阶）

6分钟时女孩共走了：

15×6＝90（台阶）

自动扶梯的速度为：

（100－90）÷（6－5）＝10（台阶）

自动扶梯共有：

100＋5×10＝150（台阶）

随堂练习：

1、两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在20秒里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？

解：

男孩共走了：

2×60÷20×27＝162

女孩共走了：

3×60÷20×24＝216

自动扶梯的速度：

（216－162）÷（3－2）＝54（台阶）

162－54×2＝54

2、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。

已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

解：

5分钟小明共走了：

25×5＝125

6分钟小红共走了：

20×6＝120

自动扶梯的速度为：

（125－120）÷（6－5）＝5

该扶梯的台阶：

125＋5×5＝150（台阶）

3、自动扶梯以均匀的速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。

已知小明每分钟走20级台阶，小红每分钟走14级台阶，结果小明用4分钟，小红用了5分钟分别到达楼上。

该扶梯共有多少级台阶？

解：

5分钟小明共走了：

20×4＝80

6分钟小红共走了：

14×5＝70

自动扶梯的速度为：

（80－70）÷（6－5）＝10

该扶梯的台阶：

80＋10×4＝120（台阶）

4、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。

结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。

该扶梯共有多少级？

解：

（50×1－60÷3×2）÷（60－50）＝1

50×1＋50×1＝100（级）

例题四一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入舱内，发现漏洞时已经进了一些水，如果用12人舀水，3小时舀完。

如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。

现在要想2小时舀完水，需要多少人？

解：

把每个人每小时的舀水量看成单位‘1’

3个小时后共有水：

12×3＝36

10个小时后共用水：

5×10＝50

每小时的进水量：

（50－36）÷（10－3）＝2

发现时船舱内有水：

36－3×2＝30

原水量舀完共需：

30÷2＝15（人）

共需：

15＋2＝17（人）

随堂练习：

1、一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。

如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

解：

3小时后共有水：

3×10＝30

8小时后共有水：

8×5＝40

进水速度为：

（40－30）÷（8－3）＝2

原有水量为：

30－3×2＝24

24÷2＝12（人）12＋2＝14（人）

2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方米，注满水箱可少用2.5小时。

那么每小时由底面小孔排水多少立方米？

（每小时排水量相同）

解：

7小时共注水：

7×30＝210（立方米）

4.5小时共注水：

（7－2.5）×45＝202.5（立方米）

排水速度为：

（210－202.5）÷（7－4.5）＝3（立方米）

3、一水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。

那么有25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

解：

20小时共抽水：

10×20＝200

10小时共抽水：

15×10＝150

泉水涌出的速度为：

（200－150）÷（20－10）＝5

原有水量为：

200－20×5＝100

25部可以在：

100÷（25－5）＝5（小时）

4、有一眼泉井，用功率一样的3台抽水机去抽井水，同时开机，40分钟可以抽干；用同样的6台抽水机去抽，则只需要16分钟就可以抽干，那么用同样的抽水机9台，几分钟可以抽干？

解：

（3×40－6×16）÷（40－16）＝1

16×6－16×1＝80

80÷（9－1）＝10（分钟）

例题4有一口水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。

如果使用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机来抽水，20分钟可抽完。

现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？

解：

36分钟时的总水量为：

3×36＝108

20分钟时的总水量为：

5×20＝100

涌水的速度为：

（108－100）÷（36－20）＝0.5

原水量为：

100－20×0.5＝90

90÷12＝7.5（台）7.5＋0.5＝8（台）

随堂练习：

1、一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排两部抽水机同时向外抽水，当时已经漏了500桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部每分钟抽水12桶，经过25分钟把水抽完，问每分钟漏进水多少桶？

解：

25分钟共抽水：

（18＋12）×25＝750（桶）

25分钟共漏水：

750－500＝250（桶）

每分钟漏水：

250÷25＝10（桶）

2、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的泉水量相等。

如果用4台抽水机来抽水，40分钟可以抽完；如果用5台抽水机来抽水，30分钟可以抽完。

现在要求24分钟内抽完井水，需要抽水机多少台？

解：

40分钟抽水量为：

40×4＝160

30分钟抽水量为：

30×5＝150

泉水的速度为：

（160－150）÷（40－30）＝1

原有的水量为：

160－40×1＝120

24分钟抽完原水量需：

120÷24＝5（台）

共需：

5＋1＝6（台）

3、有一口井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，若用4台抽水机15分钟可抽完。

若用8台抽水机7分钟可抽完，现用11台抽水机多少分钟可抽完？

解：

15分钟时抽出的水为：

4×15＝60

7分钟时抽出的水位：

7×8＝56

泉水的速度为：

（60－56）÷（15－7）＝0.5

原有的水为：

60－15×0.5＝52.5

52.5÷（11－0.5）＝5（分钟）

4、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断地往池里放水，平均每分钟入水量相等。

现在如果开放3根排水管45分钟可把池中水排完，如果开放5根排水管25分钟可把池中水排完。

如果开放8根排水管，几分钟排完池中的水？

解：

45分钟时共排水：

45×3＝135

25分钟时共排水：

5×25＝125

每分钟进水速度为：

（135－125）÷（45－25）＝0.5

原有水为：

125－25×0.5＝112.5

112.5÷（8－0.5）＝15（分钟）

5、一个水库水量一定，河水匀速流入水库。

5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机15天可抽干。

若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

解：

20天共抽水：

20×5＝100

15天共抽水：

15×6＝90

进水的速度为：

（100－90）÷（20－15）＝2

原有水为：

100－2×20＝60

60÷6＝10（台）10＋2＝12（台）

6、一个水池，池底有水流均匀涌出．若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？

解：

设每台水泵每小时抽水量为一份．

（1）水流每小时的流入量：

　　（5×7-10×2）÷（7-2）=3（份）

（2）水池原有水量：

　　5×7-3×7=14（份）

　　或10×2-3×2=14（份）

　　（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：

（14+3×0.5）÷0.5=31（台）

例题五有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长的一样快。

第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

问第三块草地可供19头牛吃多少天？

解：

每公顷在第10天时共有草：

11×10÷5＝22

每公顷在第14天时共有草：

12×14÷6＝28

每公顷草每天生长的速度为：

（28－22）÷（14－10）＝1.5

8公顷每天生长的草为：

1.5×8＝12

每公顷的原草量为：

22－10×1.5＝7

8公顷原草量为：

8×7＝56

原草量可供吃：

56÷（19－12）＝8（天）

1、有3个长满草的牧场，每块地每公亩草量相同而且都是匀速生长。

第一牧场33公亩，可供22头牛吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天；第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？

解：

54天时每亩有草量为：

22×54÷33＝36

84天时每亩有草量为：

17×84÷28＝51

每亩地草生长的速度为：

（51－36）÷（84－54）＝0.5

40亩地每天生长的草为：

40×0.5＝20

每亩地的原草量为：

36－54×0.5＝9

40亩地的原草量为：

40×9＝360

360÷24＝15（头）

15＋20＝35（头）

2、一个农夫有2公顷、4公顷和6公顷三块牧场，三场牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，5天吃完了，农夫又将这8头牛赶到4公顷的牧场，15天又吃完了；最后，这8头牛又被赶到6公顷的牧场，这块牧场够吃多少天？

解：

5×8÷2＝20

15×8÷4＝30

（30－20）÷（15－5）＝1

1×6＝6

20－5×1＝15

15×6＝90

90÷（8－6）＝45（天）

3、有3片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为

公亩、10公亩和24公亩。

12头牛4星期吃完第一片牧场原有的和4星期内新长出来的草；21头牛9星期吃完第二片牧场原有的和9星期内新长出来的草。

多少头牛18星期才能吃完第三片牧场原有的和新长出来的草？

解：

4星期时每公亩共有草：

12×4÷

＝14.4

9星期时每公亩共有草：

21×9÷10＝18.9

每星期新长出的草为：

（18.9－14.4）÷（9－4）＝0.9

每公亩原有的草量为：

14.4－4×0.9＝10.8

24公亩每星期长出的草为：

24×0.9＝21.6

24公亩原有的草量为：

24×10.8＝259.2

259.2÷18＝14.4（头）14.4＋21.6＝36（头）

4、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草。

多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草？

（每公亩牧场上原有草量相等，且生长量也相等）

解：

28天时每公亩草地上有草：

28×12÷10＝33.6

63天时每公亩草地上有草：

63×21÷30＝44.1

每天每公亩草生长的速度为：

（44.1－33.6）÷（63－28）＝0.3

72公亩草地每天生长的草为：

72×0.3＝21.6

每公亩原有草为：

33.6－28×0.3＝25.2

72公亩原有草为：

72×25.2＝1814.4

1814.4÷126＝14.4（头）14.4＋21.6＝36（头）

5、有三块草地，面积分别是5、15、25亩。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，则第三块草地可供多少头牛吃60天？

解：

30×10÷5＝60

28×45÷15＝84

（84－60）÷（45－30）＝1.6

1.6×25＝40

60－1.6×30＝12

12×25＝300

300÷60＝5（头）

40＋5＝45（头）

6、12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变．问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？

解：

设1头牛吃一周的草量为一份．

（1）每公顷每周新长的草量：

　　（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份）

（2）每公顷原有草量：

　　12×4÷6-1×4=4（份）

　　（3）16公顷原有草量：

　　4×16=64（份）

　　（4）16公顷8周新长的草量：

　　1×16×8=128（份）

　　（5）8周吃完16公顷的牧草需要牛数：

（128+64）÷8=24（只）

1、在一片牧场里，放养4头牛，吃6亩草，18天可以吃完：

放养6头牛，吃10亩草，30天可以吃完，请问放入多少头牛，吃8亩草，24天可以吃完？

（假定这片牧场每亩中的原草量相同，且每天草的生长两相等）

解：

4×18÷6＝126×30÷10＝18

（18－12）÷（30－18）＝0.58×0.5＝4

12－18×0.5＝33×8＝24

24÷24＋4＝5（头）

例题六某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，，一个检票口每分钟能让25人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票后多少分钟就没有人排队？

解：

8分钟共检票：

25×8＝200（人）

原有人数位：

200－8×10＝120（人）

开两个窗口需时：

120÷（25×2－10）＝3（分钟）

随堂练习：

1、车站开始检票时，有a名旅客排队等候进站，检票开始后，仍有旅客陆续前来，设旅客按固定的速度增加，检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可以将排队的旅客全部检票完毕，若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队的旅客全部检票完毕，如果要在5分钟内将排队的旅客全部检票完毕，使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？

解：

（1×30－2×10）÷（30－10）＝0.5

1×30－0.5×30＝15

15÷5＋0.5＝3.5（个）

要开4个检票口。

2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

解：

30分钟共检票：

30×4＝120

20分钟共检票：

20×5＝100

人来的速度为：

（120－100）÷（30－20）＝2

原有人数：

120－30×2＝60

60÷（7－2）＝12（分钟）

3、某火车站检票前开始排队，假若前来排队检票的人数均匀增加，若开一个检票口，需要20分钟可以检完；若开两个检票口，需要8分钟可以检完；若开三个检票口，需要多少多少分钟可以检完？

解：

（1×20－2×8）÷（20－8）＝

1×20－20×

＝

÷（3－

）＝5（分钟）

4、某天上海世博会中国馆的入口处已有945名游客开始等候检票进馆。

此时每分钟还有若干人前来入口处准备进馆。

如果打开4个检票口，15分钟游客可以全部进馆；如果打开8个检票口，7分钟游客可以全部进馆。

现在要求在5分钟内所有游客