高中数学立体几何之直线平面的位置关系讲义.docx

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高中数学立体几何之直线平面的位置关系讲义

直线、平面的位置关系（讲义）

知识点睛

一、证明平行的思考角度

1.线面平行的证明方法：

①定义：

证线面无公共点；

②线面平行的判定定理（平移，将线段平移到平面内）；

③面面平行的性质（切割，构造平面，过线段的一个端点作平面内一已知直线的平行线）．

2.面面平行的证明方法：

①定义：

证两个平面没有公共点；

②面面平行的判定定理（先找一组直线平行，再找另外一组）；③垂直于同一条直线的两个平面平行；

④两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

二、证明垂直的思考角度

1.线线垂直的证明方法：

①异面直线所成的角为90°；

②线面垂直的性质定理（确定直线和平面的垂直关系）；

③面面垂直的性质定理（先找交线，再找垂直于交线的直线）．

2.线面垂直的证明方法：

①线面垂直的判定定理；

（直线已确定，能明显找到两个线线垂直关系；若不能，先找到平面内一直线垂直于目标直线所在的平面）

②面面垂直的性质定理（先找交线，再找垂直于交线的直线）．

3.面面垂直的证明方法：

①二面角是90°；

②面面垂直的判定定理（先找交线，再找其中一个平面内的直线垂直于交线）．

三、转化关系图

精讲精练

1.下列命题正确的是（）

2.

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

3.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

4.设

为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

6.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足

l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

7.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α

C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

8.m，n是空间中两条不同直线，α，β是两个不同平面，下面有四个命题：

①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；

②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；

③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；

④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β．

其中命题正确的是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

9.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β．给出下列命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．

其中正确命题的序号是________．

10.已知平面α，β和直线m，给出下列条件：

①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．

（1）当满足条件________时，有m∥β；

（2）当满足条件________时，有m⊥β．（填所选条件的序号）

11.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：

①AF⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥PB；④AE⊥平面PBC．

其中正确结论的序号是________．

第10题图第11题图

12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角是________．

13.

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4

．

（1）设M是PC上的一点，求证：

平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

14.

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，

（1）求证：

BC⊥AC1；

（2）若D是AB的中点，求证：

AC1∥平面CDB1．

15.

如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB．过点A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别为棱SA，SC的中点．

求证：

（1）平面EFG∥平面ABC；

（2）BC⊥SA．

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，

平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD．

17.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．

（1）求证：

BD⊥平面AED；

（2）求二面角F-BD-C的正切值．

18.

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1．

（1）证明：

PC⊥AB；

（2）求二面角A-PC-B的正弦值．

19.如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=

CA，平面PAB⊥平面ABC．

（1）求直线PC与平面ABC所成角的正弦值；

（2）求二面角B-AP-C的正切值．

回顾与思考

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

【参考答案】

【精讲精练】

1．C2．D3．B4．D5．D6．C7．B

8．①③9．

（1）③⑤；

（2）②⑤10．①②③11．90°

12．

（1）证明略（提示：

先证BD⊥平面PAD）；

（2）

13．证明略（提示：

（1）先证BC⊥平面ACC1A1；

（2）连接BC1，交B1C于点E，连接DE，证明DE∥AC1）

14．证明略15．证明略

16．

（1）证明略；

（2）2

17．

（1）证明略；

（2）

18．

（1）

；

（2）2

直线、平面的位置关系（随堂检测）

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

（1）求证：

BE∥平面PDF；

（2）求证：

平面PDF⊥平面PAB；

（3）求二面角P-BC-A的大小．

【参考答案】

1．

（1）

（2）证明略；（3）30°（提示：

过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H，可得∠PHA为二面角P-BC-A的平面角）

直线、平面的位置关系（作业）

1.

设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是（）

A．x为直线，y，z为平面B．x，y，z为平面

C．x，y为直线，z为平面D．x，y，z为直线

2.

设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不成立的是（）

A．若c⊥α，α∥β，则c⊥β

B．若b⊂α，c

α，b∥c，则c∥α

C．若b⊂β，β⊥α，则b⊥α

D．若a，b⊂

，a∩b=P，c⊥a，c⊥b，c⊂β，则α⊥β

3.已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥β，n∥β，且m⊂α，n⊂α，则α∥β；

②若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；

④若α∥β，且γ∩α=m，γ∩β=n，则m∥n．

其中正确的命题是（）

A．①③B．①④C．②④D．③④

4.已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：

①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；

②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；

③存在两个平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；

④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．

可以推出α∥β的是（）

A．①③B．②④C．①④D．②③

5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．

B．

C．

D．

6.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=

，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）

A．

B．5C．6D．

第6题图第7题图

7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱B1C1，DD1上的点，如果BE⊥平面A1B1F，则点E，F满足的条件一定是（）

A．C1E=DF=

B．C1E+D1F=1

C．B1E+D1F=1

D．E，F为棱B1C1，DD1上的任意点

8.在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个命题：

①BC∥平面PDF；②DF∥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PDF⊥平面PAE，其中正确命题的序号为____________．

第8题图第9题图

9.三个平面α，β，γ两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个平面α，β，γ的距离分别为

，则PO=_____．

10.如图，在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的正弦值为_____．

第10题图第11题图

11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件____________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件____________时，就有MN∥平面B1D1C．

12.

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．

（1）求证：

AC⊥B1C；

（2）求证：

AC1∥平面B1CD．

13.

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上的点．

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：

QG∥平面PBC．

14.如图，在三棱锥P-ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，PC，BC的中点，且PA=PB，AC=BC，求证：

（1）AB⊥PC；

（2）PE∥平面FGH．

15.

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，G分别是A1A，D1C，AD的中点．求证：

（1）MN∥平面ABCD；

（2）MN⊥平面B1BG．

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB＝

．

（1）求证：

PA∥平面BDE；

（2）求证：

AC⊥平面PBD；

（3）求直线BC与平面PBD所成角的正切值．

17.

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

（1）求证：

平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）求证：

直线A1F∥平面ADE；

（3）若E为CC1的中点，且BA=BC=BB1，求二面角E-AD-C的大小．

18.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=4，AB=2，E是棱CC1上的一个动点．

（1）求证：

BE∥平面AA1D1D；

（2）当CE=1时，求二面角B-ED-C的正切值．

19.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F，M分别为CC1，BC，A1D1的中点．

（1）求证：

AE∥平面BC1M；

（2）求二面角F-ED-A的余弦值．

【参考答案】

1．C2．C3．D4．C5．A6．D7．B

8．①④9．510．

11．

（1）在线段EG上；

（2）在线段EH上

12．证明略13．证明略14．证明略15．证明略

16．

（1）

（2）证明略；（3）

17．

（1）

（2）证明略；（3）45°

18．

（1）证明略；

（2）

19．

（1）证明略；

（2）