参数方程和普通方程的互化Word格式.doc

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前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：

（放投影片）

由圆外一点Q（a，b）向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P的轨迹的参数方程（如图3-5）．

分析 

割线过点Q（a，b），故割线PQ方程为：

此斜率k可作为参数．（投影）

解 

设过点Q的直线方程是y-b=k（x-a），则圆心O与AB中点P的

即为所求点P的轨迹的参数方程．

你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？

生：

（无言以对）看不出来．

（启发学生猜想，培养参与意识．）

你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．

（学生在纸上画，讨论．）

点P的轨迹

（1）过坐标原点，也就是已知圆的圆心．

（2）轨迹不是直线．

参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．

把（3）代入

（2）得：

x2-ax+y2-by=0．（4）

方程（4）证实了我们的猜想是正确的，具体地说：

点P的轨迹是一个过圆心的圆弧（在圆x2+y2=r2的内部）．

以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则．

例1 

炮弹从点（0，0）以初速度v0向倾斜角为α的方向发射，问：

（1）在时刻t的高度和水平距离如何？

（2）炮弹描绘的（弹道）是一条什么样的曲线？

（学生通过物理知识，很容易解决这个问题．）

（1）设炮弹发射后的位置在点M（x，y）（如图3-6），因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：

炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cosα·

t，按竖直上抛运动的位移公式知：

炮弹在时

即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？

消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了．

故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．（含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．）

例2 

把参数方程

即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线．

这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题吗？

挺好的．我与他解的一样，没问题．

同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗？

t为不等于-1的实数，即t≠-1．

答案是否有何不妥？

没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线．

普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量x与y之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系．如能消去参数（不是所有的参数方程都能化为普通方程），参数方程就转化为普通方程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式．为此，在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价．请修正一下你的答案．

3x+5y-11=0（x≠-3）是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线（去掉点（-3，4））．

观察一下方程

（1）、

（2）的形式与你学过的知识中哪个式子类似？

（提供类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关．）

至此，想必学生悟到t的几何意义：

动点P分P1P2所成的比，即t=

过点（2，1），（-3，4）的直线方程是：

化简，得3x+5y-11=0．

这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．

例2表明，直线的参数方程的形式不只一种．那么对同一个参数方程来说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗？

你试试看．（激发学生探索问题的兴趣）

对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化．

例4 

化下列参数方程为普通方程．

（让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案．）

略解 

（1）（x+1）2+y=sin2θ+cos2θ，

所以 

（x+1）2+y=1，（0≤y≤1）．

所以x2-y2=4．

消去参数的方法常用的有哪些？

转化过程中应注意什么？

（学生讨论后教师板书）

消去参数的方法常用的有以下两种：

（1）代入法：

先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去（如例1）．

（2）利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．（如例4）

转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小．也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价．

方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；

θ是参变量．参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x与y的值，因而也就确定了这时点所在的位置．所以问题可转化为讨论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题．

因为tanθ、cotθ同号，

又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|，

从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质．这个问题的解决再一次说明：

参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性．

这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则．

首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．又在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价．

家庭作业：

一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．

二、关于t的方程t2+（2+i）t+4xy+（2x-y）i=0（x，y∈R，i是虚数单位）有实根，求动点P（x，y）的轨迹的普通方程．

下面是作业题略解．

一、

（1）（x-x0）2+（y-y0）2=t2，

以（x0，y0）为圆心，|t|为半径的圆．

（2）y-y0=tanθ（x-x0），过点（x0，y0），斜率是tanθ的直线．

（3）2x+y-5=0（0≤x＜3），缺一个端点的线段．

（4）y2-x2=4（y≥2），双曲线的上支．

二、已知方程整理为：

（t2+2t+4xy）+i（2x-y+t）=0

因为x，y，t∈R，

得4x2+y2+4x-2y=0为所求．

设计说明

参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：

参数方程化为普通方程．对这一问题课本仅用3／2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究．而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题．

这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．

这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程．本来我们应该先把对应直线的交点求出来：

这就是所求轨迹的参数方程．为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样进行：

数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻烦却多半是有趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，

问题，常规解法是：

这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点（cosθ，sinθ）和定点（1，2）直线的斜率取值范围问题．动点P（cosθ，sinθ）的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆（挖去（1，0）点）．如图3-7知：

（北京市陈经纶中学 

纪小华）