简单的线性规划问题附答案.docx
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简单的线性规划问题附答案
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简单的线性规划问题
[学习目标]1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
线性规划中的基本概念知识点一
义名称意）的一次不等式约束条件（组x关于变量，y）
（线性约束条件组的一次不等式关于x，y目标函数的函数解析式，欲求最大值或最小值的关于变量xy关于变量x线性目标函数，y的一次解析式
满足线性约束条件的解（x可行解，y）
由所有可行解组成的集合可行域
使目标函数取得最大值或最小值的可行解最优解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
线性规划问题知识点二
1．目标函数的最值zza，＋＝线性目标函数zaxby（，在xy0）≠对应的斜截式直线方程是＝－＋y轴上的截距是b
bbb当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
取得最大值，截距最小时，，截距最大时，>0b当z取得最小值；z
，截距最大时，<0b当取得最大值．z取得最小值，截距最小时，z
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2．解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：
“画、移、求、答”四步，即，
（1）画：
根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
（2）移：
运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点（或边界）便是最优解．
（3）求：
解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．
（4）答：
写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用
1．线性规划的实际问题的类型
（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．
常见问题有：
①物资调动问题
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？
2．解答线性规划实际应用题的步骤
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（1）模型建立：
正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
（2）模型求解：
画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
（3）模型应用：
将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
求线性目标函数的最值题型一
，y≤2?
?
?
，≥1x＋y）
x＋y的最大值为（则z＝31例已知变量x，y满足约束条件?
?
，≤1x－y11．B．12A1
．－D．C3
B
答案首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点解析经＋zy＝－3x的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线，＝3xy＝2，?
?
?
?
11.3时，过点Az取得最大值．由?
此时z＝x＋y＝?
?
，x＝1y2－y＝?
?
?
?
，2≤0－x＋y?
?
?
，02y－2≤x－若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，满足约束条件，
（1）1跟踪训练xy．．．?
?
，yx2－＋0≥2）
的值为a则实数（
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11B．2或A.或－1
22D．2或－1
C．2或1
，0＋1≤x－y?
?
?
，08≤2x＋y－则z＝3x＋y的最小值为________．若变量
（2）x，y满足约束条件
?
?
，0x≥
（2）1
答案
（1）D解析
（1）如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，
2；取得最大值的最优解不唯一，则a＝>0a时，要使z＝y－ax故当1.
＝－ax取得最大值的最优解不唯一，则a时，要使a<0z＝y－当过点zx＋，即y＝－33
（2）由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝x＋y1.
取最小值时z（0,1）
非线性目标函数的最值问题题型二
，2≤0－xy－?
?
?
，≥y－402x＋求满足约束条件设实数2例x，y?
?
，32y－≤022的最小值；y
（1）x＋y的最大值．
（2）
x精品文档．
精品文档，如图，画出不等式组表示的平面区域解ABC
22，y）＋y与原点的距离的平方．，其几何意义是可行域ABC内任一点（
（1）令u＝xx，＝40x＋2y－?
84?
?
?
，的解，即，则垂足为0作垂线y＝2x－，过原点向直线x＋2y4＝?
?
?
55x2y＝?
?
，2y－4＝0x＋?
3?
?
?
，1C得，又由?
?
?
2，0－3＝2y?
?
3?
?
2＋|所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为OC|＝1?
?
213＝，21322.
x的最小值为＋y所以，
4yv，即的斜率为与原点相连的直线lvABC内任一点（x，y）
（2）令v＝，其几何意义是可行域
x0－y最大，C时，v.由图形可知，当直线l＝经过可行域内点
0－x3?
?
，1C
（1）知，由
?
?
233y.
，所以的最大值为所以v＝
max2x2，x≥0?
?
22?
，≥0y的最小值为________．＋（则满足约束条件，已知2跟踪训练xyx3）＋y
?
?
，x＋≥y1精品文档．
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10
答案
22之间距离的平y）（x，即点A（－3,0）解析画出可行域（如图所示）．（x＋3）与可行域内点＋yAC长度最小，方．显然2222210.＋y，即（x＋＝（0＋3）3）＋（1－0）的最小值为＝10∴AC线性规划的实际应用题型三
2原料千克、B1某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品桶需耗A原料1例3
元，每3001千克．每桶甲产品的利润是原料2千克、B原料千克；生产乙产品1桶需耗A原料都不BA，桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗公司共可获得的最从每天生产的甲、乙两种产品中，通过合理安排生产计划，超过12千克．大利润是多少？
，12＋2y≤x?
?
，12＋y≤x2?
于是有相应的利润为z元，设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，解，y≥0x≥0，?
?
，∈N，x∈Nyy，＝300x＋400z在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线轴上的y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在300x＋400y＝400y取得最大值，x截距达到最大，此时z＝300＋，＝400×42800＋＝最大值是z300×4元．即该公司可获得的最大利润是2800确定线性①分析并根据已知数据列出表格；②反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：
求出最优解；直线）（⑤④③约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．精品文档．
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跟踪训练3预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？
解设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，
把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为
，≤2000＋20y50x?
?
，xy≥?
，xy≤1.5
?
*，Nx≥0，x∈?
*.N≥0，y∈y200?
，x＝
7，200050x＋20y＝?
?
?
由解得?
200，y＝x?
?
?
，＝y
7200200?
?
，.
点的坐标为所以A
?
?
77，＝25x?
?
，＝50x＋20y2000?
?
?
解得由?
75，y＝1.5x，＝y?
?
?
?
275?
?
，25点的坐标为所以B.
?
?
220020075?
?
?
?
，25，，B所以满足条件的可行域是以A，
?
?
?
?
772O（0,0）为顶点的三角形区域（如图）．
75?
，25By＋在可行域内的最优解为xz，由图形可知，目标函数＝
?
?
2精品文档．
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**，N，y∈但注意到x∈N，＝25x?
?
故取?
37.y＝?
?
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．
，0－3≤x＋y?
?
?
，3≤0x－2y－）
则实数m的最大值为x，y）满足约束条件（（1．若直线y＝2x上存在点?
?
，mx≥32
．DB．1C.A．－1
2，≥－22115x－y?
?
，3y≥92x＋?
z则和2．某公司招收男职员x名，女职员y名，xy需满足约束条件，2x≤11?
?
**，N∈∈xN，y）（＋10y的最大值是＝10xB．85．80AD．95
C．90
，≤y1?
?
22?
，≤1x的最小值为________．xyx．3已知实数，满足z则＝＋y
?
?
，＋x1≥y
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一、选择题）的最小值为（则2x－yy位于曲线＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，1．若点（x,y）2
．DC．0．－A．－6B2
，≥1x?
?
?
，≤0＋y－4x）
－y的最大值为（．设变量2x，y满足约束条件则目标函数z＝3x?
?
，0＋3y4≤x－44
．DB．0C.．－A4
3，x≥1?
?
y－1?
，y≥0则z3．实数x，y满足＝的取值范围是（）
x?
?
，0x－y≥B．（－∞，0][A．－1,0]
D[C．－1，＋∞）．[－1,1）
，y≥0－x?
?
?
，0yx＋－2≤的整点（x，．若满足条件4y）（整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有9个，?
?
ay≥）
a则整数的值为（
0
D．23A．－B．－C．－1
，1≥x?
?
?
，≤4yx＋c，b，则满足，．已知5xy1，最小值为7的最大值为y＋x2＝z目标函数?
?
，byx＋c＋≤0）的值分别为（
31,4．－AB1．－，－2
，－2．－C，－11．－D精品文档．
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，5x＋y≥?
?
?
，y＋5≥0x－取得最小值的最优解有无数个，＞0）＝x＋ay（6．已知x，y满足约束条件a使z?
?
，3x≤）
（的值为则a1．C．－1DBA．－3．3
二、填空题，x≤2?
?
?
，≤2y．2y的取值范围是________x则z＝＋7．若x，y满足约束条件?
?
，2x＋y≥）．x－3y的取值范围是________（答案用区间表示≤≤8．已知－1≤x＋y4且2≤x－y3，则z＝2，≤0≤x2?
?
，y≤2D上的区域D由不等式组为y）给定．若M（x，9．已知平面直角坐标系xOy?
yx2≤→→（2，1），则z＝OM上的动点，点A的坐标为·OA的最大值为________．
10．满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有________个．
，0＋2≥x－y?
?
?
，05≤2x－y－则z＝|x＋2y－4|x11．设实数，y满足不等式组的最大值为________．
?
?
，4x＋y－≥0三、解答题，4－y≤－3x?
?
?
，≤25y＋3x5的最大值和最小值．z，求y－x2满足约束条件，x．已知12y＝z目标函数?
?
，x1≥精品文档．
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，≥0＋y－11x?
?
x?
，3≥03x－y＋的图象上存在区域a＝y若指数函数.13．设不等式组D表示的平面区域为?
?
0≤＋x5－3y9a上的点，求的取值范围．D
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23，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张mm，五合板600．某家具厂有方木料1490
2233，出售，五合板书桌需要方木料0.1m1m，五合板2m0.2m，生产每个书橱需要方木料元．80元，出售一个书橱可获利润120一张方桌可获利润如果只安排生产书桌，可获利润多少？
（1）如果只安排生产书橱，可获利润多少？
（2）（3）怎样安排生产可使所得利润最大？
当堂检测答案
1．答案B
解析如图，
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在直）m,2mx＝m的交点时，m取到最大值，此时，即（和经过且只经过当y＝2xx＋y－3＝01.上，则m＝yx＋－3＝0线C
．答案2*，计算区域内与N该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈解析911?
?
，90.取得最大值为＝4时，z（5,4）最近的点为，故当x＝5，y?
?
22
1答案3．2解析
AB的距离的平方，z，实数xy满足的可行域如图中阴影部分所示，则的最小值为原点到直线1?
?
2.＝z故＝min?
?
22
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课时精练答案
一、选择题
1．答案A
解析画出可行域，如图所示，解得A（－2,2），设z＝2x－y，
z，2x－x＝2－y变形为y＝把zz取得最小值；则直线经过点A时A.，故选2＝－62×（－2）－所以z＝minD
．答案2作出可行域，如图所示．解析
，＝x2yx＋－4＝0，?
?
?
?
联立解得?
?
2.04＝，y＝yx－3＋?
?
?
?
4.有最大值－z时，＝3xy（2,2）yx＝当目标函数z3－移到D
．答案3解析作出可行域，如图所示，精品文档．
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1y－1.k最小，最小为－B（1,0）时l）与点（0,1）连线l的斜率，当直线过的几何意义是点（x，y
lx1,1）．∈[－∴k＜1.综上，k＝又直线l不能与直线x－y0平行，l
C4．答案解析
，（0,0），（1,0）只有4个整点（1,1），时，不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0故1）5个整点．，（3，－－，（1，1），（2，－1），时，（2,0）．当a＝－1正好增加（－1，－1）（0，－1）C.选D
5．答案的交点，且经过直线4＋y＝x＋y＝7与直线x2x解析由题意知，直线＋by＋c＝0经过直线，－1），＝1的交点，即经过点（3,1）和点（1y2x＋＝1和直线x，，b＝－103＋b＋c＝?
?
?
?
解得∴?
?
2.＝－c＋1－bc＝0，?
?
?
?
D
．答案6取得最小值的a＞0）＋，要使目标函数ay＝0z＝xay（＋：
如图，作出可行域，作直线解析lxD.
1a5yxl最优解有无数个，则将向右上方平移后与直线＋＝重合，故＝，选精品文档．
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二、填空题[2,6]．答案7如图，作出可行域，解析
0，x＋2y＝l作直线：
的取值范z（2,2）时，有最大值6，故2将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值，过点B．围为[2,6]
答案[3,8]．8解析作出不等式组，yx＋≤41－≤?
?
表示的可行域，如图中阴影部分所示．?
3≤y2≤x－?
?
＝3x在可行域内平移直线2－y0，精品文档．
精品文档－3；3×1＝x2与＋y＝4的交点A（3,1）时，目标函数有最小值z＝2×3当直线经过x－y＝min2×3×1＋yx－＝3的交点B（1，－2）时，目标函数有最大值z＝2x当直线经过＋y＝－1与max8.
＝．z∈[3,8]所以4
9．答案解析由线性约束条件，≤20≤x?
→→?
，2y≤，将其化为2x＋yOA画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝OM·＝?
y≤x2z2）代入（2，，结合图形可知，目标函数的图象过点（2，2）时，z最大，将点y＝－2x＋z＝2x＋y，得z的最大值为4.
13
答案10．可化为|≤2|x|＋|y解析，0?
≥0，y≥x＋y≤2?
x?
?
，?
y＜00y≤2?
x≥，－x?
，?
0，y≥0x≤－x＋y2?
＜?
?
，＜0，y0?
＜?
2yx－－≤x），包括边界作出可行域为如图正方形内部（
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精品文档13个．容易得到整点个数为21
11．答案（3,1）
（7,9），C所围区域，即△ABC（包括边界），其顶点为A（1,3），B解析作出可行域（如图）
上方，∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0方法一y∴x＋2－4＞0，＝x＋2y－4，z则目标函数等价于21.z＝在点B（7,9）处，目标函数取得最大值y易得当直线z＝x＋2－4max4|y－＋2|x，＝·x|＋2y－4|5方法二z＝5，＝0，y）为可行域内一动点，定直线x＋2y－4x令P（y－4＝0的距离．＋yPd则z＝5，其中d为（x，）到直线x2
与直线的距离最大，由图可知，区域内的点B4|9－2|7＋×21.
的最大值为＝故d55
2·5＝21.＝故目标函数zmax5三、解答题精品文档．
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12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l：
02x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：
当l移动到l，即经过点A（5,2）时，z＝2×5max1－2＝8.
当l移动到l，即过点C（1,4.4）时，2
2.4.＝－1－4.4z＝2×min
xa必须过图中阴影部分或其边界．先画出可行域，如图所示，．解y＝13
2＝3.a，（2,9）∴9＝a，∴A∵
≤＜∴1a∵＞，1a3.精品文档．
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14．解由题意可画表格如下：
2）利润（元）
五合板（m
3）
方木料（m）（张书桌800.12
个）书橱（120
0.21
x张，可获得利润z元，
（1）设只生产书桌，≤900.1x?
，≤900x?
?
?
，≤6002x?
?
，≤300x?
?
0≤则x≤300.
，x＝80z?
?
?
0≥x?
0≥x所以当x＝300时，z＝80×300＝24000（元），max即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．
（2）设只生产书橱y个，可获得利润z元，
，90y≤0.2?
，≤450y?
?
?
，1·y≤600?
?
，≤600y?
0?
则≤y≤450.
，z＝120y?
?
?
0y≥?
0y≥所以当y＝450时，z＝120×450＝54000（元），max即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元．
（3）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，
，900≤＋2y0.20.1x＋y≤90，x?
?
?
?
，≤600x2＋y≤，600y2x＋?
?
?
则，≥0x≥，0x?
?
?
?
0.≥y0y≥.x80＝z120＋y精品文档．
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在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图）．
0.
＝＋3y0＝，即直线l：
2xl作直线：
80x＋120y取得最y＋120，此时z＝80x的位置时，直线经过可行域上的点把直线l向右上方平移至lM1大值．，900＋x2y＝?
?
由?
，600＋y＝2x?
?
．M的坐标为（100,400）解得，点400＝时，x＝100，y所以当）元．400100×＋120×＝56000（80＝zmax个，可使所得利润最大．100因此，生产书桌张、书橱400
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