变化率与导数练习题.doc

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导数的概念及运算

1．函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率

函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f（x2）－f（x1），则平均变化率可表示为.

2．函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

（1）定义

称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝＝.

（2）几何意义

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．

3．函数f（x）的导函数

称函数f′（x）＝为f（x）的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝__0__

f（x）＝xα（α∈Q*）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

f（x）＝ax（a>0）

f′（x）＝axln_a

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝logax（a>0，且a≠1）

f′（x）＝

f（x）＝lnx

f′（x）＝　　

5.导数的运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）′＝（g（x）≠0）．

1．设函数y＝f（x）＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（　　）

A．2.1　　　　 B．1.1C．2 D．0

2．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，为（　　）

A．从时间t到t＋Δt时物体的平均速度

B．在t时刻物体的瞬时速度

C．当时间为Δt时物体的速度

D．在时间t＋Δt时物体的瞬时速度

3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是（　　）

A．4 B．13C．15 D．28

4．如果某物体做运动方程为s＝2（1－t2）的直线运动（s的单位为m，t的单位为s），那么其在1.2s末的瞬时速度为（　　）

A．－4.8m/s B．－0.88m/sC．0.88m/s D．4.8m/s

5．函数y＝在区间[1,3]上的平均变化率为________．

6．已知函数f（x）＝x2－2x＋3，且y＝f（x）在[2，a]上的平均变化率为，则a＝________.

7．已知函数f（x）＝sinx，x∈.分别求y＝f（x）在及上的平均变化率．

8．若一物体运动方程如下（位移s的单位：

m，时间t的单位：

s）：

s＝求：

（1）物体在t∈[3,5]内的平均速度；

（2）物体的初速度v0；（3）物体在t＝1时的瞬时速度．

1.在内的平均变化率为（）

A．3B．2C．1D．0

2.设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）

A．B．C．D．[

3.质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）

A．B．C．D．

4.已知，从到的平均速度是________________________.

5.在附近的平均变化率是______________________.

6.已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求.

1．设函数f（x）＝ax3＋bx（a≠0），若f（3）＝3f′（x0），则x0等于（　　）

A．±1B.C．±D．2

例1　用定义法求函数f（x）＝x2－2x－1在x＝1处的导数．

（1）函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝________；该函数在x＝1处的导数是____________________________________．

（2）已知f（x）＝，则f′

（1）＝________.

（2）若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）等于（　　）

A．－1B．－2C．2D．0

例3　已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4.

（1）求曲线f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）求经过点A（2，－2）的曲线f（x）的切线方程．

（1）（2014·江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋（a，b为常数）过点P（2，－5），且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．

A组　专项基础训练

1．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0的值为（　　）

A．e2B．eC.D．ln2

2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2x·f′

（1）＋lnx，则f′

（1）等于（　　）

A．－eB．－1C．1D．e

3．设函数f（x）＝g（x）＋x2，曲线y＝g（x）在点（1，g

（1））处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率为（　　）

A．4B．－C．2D．－

4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是（　　）

A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0

5．曲线y＝x3在点（1,1）处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为（　　）

A.B.C.D.

6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3x2＋2x·f′

（2），则f′（5）＝________.

7.已知函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则曲线y＝f（x）在点P处的切线方程是__________．

9．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

（1）求P0的坐标；

（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

10．已知函数f（x）＝x3＋x－16.

（1）求曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线的方程；

（2）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

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