平面向量应用举例练习题含答案.docx

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平面向量应用举例练习题含答案

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平面向量应用举例练习题

、选择题

1.一物体受到相互垂直的两个力f1>f2的作用，两力大小都为53N,则两

5』6

D.2

个力的合力的大小为（）

A.103NB.ONC.5.6N

2.河水的流速为2m/s,—艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，

则小船在静水中的速度大小为（）

A.10m/sB.226m/sC.4,6m/sD.12m/s

3.（2010山东日照一中）已知向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,若|a匸2,|b|=3,

ab=-6,则鑿的值为（

5-6

-

D.

5-6

G

2-3

-

B

2一3

A

4•已知一物体在共点力F仟（Ig2,Ig2）,F2=（Ig5,Ig2）的作用下产生位移S

=（2lg5,1），则共点力对物体做的功W为（）

A.Ig2B.Ig5C.1D.2

5•在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA+PB+PC=Ab，则△PBC与

△ABC的面积之比是（）

厂2,3

C.3D.4

6.点P在平面上作匀速直线运动，速度v=（4,-3）,设开始时点P的坐标

为（-10,10）,则5秒后点P的坐标为（速度单位：

m/s,长度单位：

m）（）

A.（-2,4）B.（-30,25）C.（10,-5）D.（5,-10）

7.已知向量a,e满足：

a^e,|e|=1,对任意t€R，恒有|a-te|>|a-e|,则（）

A.a丄eB.a丄（a-e）C.e±（a-e）D.（a+e）丄（a-e）

8.已知匸1,OB匸3,OA丄OB,点C在/AOB内，/AOC=30°设OC

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=mOA+nOB,则m=（）

A.3B.3C.3,3D.3^3

二、填空题

9.已知a=（1,2）,b=（1,1）,且a与a+2b的夹角为锐角，则实数入的取值范

围是.

10.已知直线ax+by+c=0与圆0:

x2+y2=4相交于A、B两点，且|AB|=

2近，则OAOB=.

三、解答题

11.已知△ABC是直角三角形，CA=CB,D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.

求证：

AD丄CE.

12.AABC是等腰直角三角形，/B=90°D是BC边的中点，BE丄AD，垂足为E,延长BE交AC于F，连结DF,求证：

/ADB=/FDC.

13.（2010江苏,15）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1,—2）,B（2,3）,C（-2,—1）

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

⑵设实数t满足（AB—tOC）Oc=o,求t的值.

14.一条宽为.3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B,已知AB=3km,船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？

用时多少？

1

15.在?

ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=3BD，求证：

M,N,C三点共线.

16.如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形,

用向量方法证明FA=EF.

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17.如图所示，在厶ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE丄AC,E是垂足,

F是DE的中点，求证AF丄BE.

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平面向量应用举例参考答案

1.［答案］C

［解析］根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为.2X5.3=5.6（N）.

2.［答案］B

［解析］设河水的流速为vi,小船在静水中的速度为V2，船的实际速度为v,

则|vi|=2,|v|=10,V丄V1..°.V2=v—vi,vvi=0,

|V2|=:

v2—2vvi+v2=：

100—0+4=104=2：

：

一：

26.

3.［答案］B

［解析］因为|a|=2,|b|=3,又ab=|a||b|cos〈a,b〉=2X3Xcos〈a,b〉=

—6,可得cos〈a,b〉=—1.即a,b为共线向量且反向，又|a|=2,|b|=3,所以

从而选B.

4.［答案］D

［解析］W=（F1+F2）S=（lg2+lg5,2lg2）（2lg5,1）=（1,2lg2）（2lg5,1）=2lg5+

2lg2=2,故选D.

5.［答案］C

［解析］由PA+PB+PC=Ab,得PA+PB+EBA+PC=0,即PC=2AP,所以点

6.［答案］C

［解析］5秒后点P的坐标为：

（一10,10）+5（4,—3）=（10,—5）.

7［答案］C［解析］由条件可知|a—te|2>|a—e|2对t€R恒成立，又v|e|=1,

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•••t2—2aet+2ae—1>0对t€R恒成立，即△=4（ae）2—8ae+4<0恒成立.•-（ae—I）?

w0恒成立，而（ae—1『》0,•-ae—1=0.

即ae=1=e2,•e（a—e）=0,即卩e±（a—e）.

8.［答案］B

［解析］•••OCOA=m|OA|2+nOAOB=m,

m|OC||OA|cos30°.m

T~==1..=3

3n|OC||OB|cos60。

‘n

二、填空题

9.［答案］

［解析］Va与a+?

b均不是零向量，夹角为锐角,

5

•a（a+2b）>0,•5+32>0,•>—3.当a与a+/b同向时，a+2b=ma（m>0）,

即（1+入2+/=（m,2m）.

1+/=m/=05

•-，得，•>—5且入工0.

2+/=2mm=13

［解析］V|AB|=23,|OA|=|OB|=2,AOB=120°.

•OAOB=|OA||OB|cos120=—2.

三、解答题

11.

［证明］以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

12.［证明］如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设

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A（0,2）,C（2,0）,则D（1,0）,AC=（2,-2）

菲=3,3,

设AF=2AC,

则BF=BA+AF=（0,2）+（2入-21）=（2入2-21）,又DA=（-1,2）

由题设BF丄DA,二BFDA=0,•••—2+2（2-21=0,二1=|.

•••DF=BF-BD=3,2，又DC=（1,0）,

又/ADB、/FDC€（0,n）/•/ADB=/FDC.

13.［解析］⑴由题设知AB=（3,5）,AC=（-1,1）,则AB+AC=（2,6）,AB-AC=（4,4）.所以AB+AC|=2.10,|AB-AC|=42.

故所求的两条对角线长分别为4,2和210.

（2）由题设知OC=（-2,-1）,AB-tOC=（3+2t,5+1）.

由（AB—tOC）OC=0,得（3+2t,5+1）（-2,-1）=0,从而5t=-11,所以t

11

=-5.

14.［解析］如图所示，设AC为水流速度，Ad为航行速度，以AC和AD为邻边作?

ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸.根据题意AC丄AE,在

RtAADE和?

ACED中,

|DE匸|AC|=2,|AD|=4,/AED=90°二殖―|AD|2-|DEf=23,

1

sin/EAD=2，EAD=30°用时0.5h.

答：

船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头,用时半小时.

15.

£>C

［证明］

MN=BN—BM.

因为BM=2bA,bN=^bd=*（BA+Bc），所以MN=1Ba+^Bc-2ba,

=^bc-!

§a.由于mc=BC—bm=bC-^ba,

3625

可知MC=3MN，即MC//MN.又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C

三点共线.

16

［分析］本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出pA和EF的坐标，证明其模相等即可.

［证明］建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为

a,则A（0,a）.设DP匸X>0）,则F富入°）,P警入E》，

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所以EF=孑入―a,—#入，PA=—乎人a—自，

因为|EF|2=；:

—2aMa2,I阮|2=卡一2aHa2,所以|PA|,即FA=EF.

17.

DC

［证明］tAB=AC,且D是BC的中点，

二AD丄BC,二ADBD=0.又DE丄AC,/.DEAE=0.

•••BD=DC,F是DE的中点，二EF=—2De.

•••AFBl=（AE+EF）（Bd+DE）

=AEBd+AEDE+eFBd+eFDE

=AEBd+EFBd+EFDE

=（Ad+de）Bd+EfBd+EfDe

=AdBd+deBD+EfBd+EfDe

=ideDC—1|deDC—2deDE

=2deDc—2deDe

1———1——

=2DE（DC—DE）=2DEEC=0.

•••AF丄BE,•••AF丄BE.