高考数学文一轮复习单元能力测试第四章三角函数人教A版.docx

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高考数学文一轮复习单元能力测试第四章三角函数人教A版

第四章三角函数单元能力测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）

1．集合M＝{x|x＝sin_，n∈Z}，N＝{x|x＝cos_，n∈N}，则M∩N等于（　）

A．{－1,0,1}　　　B．{0,1}

C．{0}D．?

答案C

解析∵M＝{x|x＝sin_，n∈Z}＝{－_，0，_}，N＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0}．应选C.

2．已知α∈（_，π），sinα＝_，则tan（α＋_）等于（　）

A.B．7

C．－_D．－7

答案A

解析∵α∈（_，π），∴tanα＝－_，∴tan（α＋_）＝_＝_.

3．若sin2α＋sinα＝1，则cos4α＋cos2α的值为（　）

A．0B．1

C．2D．3

答案B

解析∵sin2α＋sinα＝1，∴sinα＝cos2α.

又∵cos4α＋cos2α＝cos2α（1＋cos2α），将cos2α＝sinα代入上式，得cos4α＋cos2α＝sinα（1＋sinα）＝sin2α＋sinα＝1.

4．下列函数中，其中最小正周期为π，且图象关于直线x＝_对称的是（　）

A．y＝sin（2x－_）B．y＝sin（2x－_）

C．y＝sin（2x＋_）D．y＝sin（_＋_）

答案B

解析∵T＝π，∴ω＝2，排除D，把x＝_代入A、B、C只有B中y取得最值，故选B.

5．已知函数f（x）＝2sinωx（ω>0）在区间[[]－_，_]上的最小值是－2，则ω的最小值等于（　）

A._B._

C．2D．3

答案B

解析∵f（x）＝2sinωx（ω>0）的最小值是－2时，x＝_－_（k∈Z），∴－_≤_－_≤

∴w≥－6k＋_且w≥8k－2，∴wmin＝_，选B.

6．把函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<_）的图象向左平移_个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为（　）

A．1，_　　B．1，－_

C．2，_D．2，－_

答案D

解析由题知，_×_＝_－_，∴ω＝2，∵函数的图象过点（_，0），∴2（_＋_）＋φ＝π，∴φ＝－_.故选D.

7．函数y＝2sin（x－_）＋cos（x＋_）的一条对称轴为（　）

A．x＝_　　　B．x＝_

C．x＝－_D．x＝－_

答案C

解析y＝2sin（x－_）＋cos（x＋_）

＝2sin（x－_）＋sin[[]_－（x＋_）]

＝2sin（x－_）＋sin（_－x）

＝sin（x－_）

方法一：

把选项代入验证．方法二：

由x－_＝kπ＋_得x＝kπ＋_π（k∈Z），当k＝－1时，x＝－_.

8．如下图，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面为2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h（m）与时间t（min）之间的函数关系是（　）

A．h＝8cos_t＋10B．h＝－8cos_t＋10

C．h＝－8sin_t＋10D．h＝－8cos_t＋10

答案D

解析排除法，由T＝12，排除B，当t＝0时，h＝2，排除A、C.故选D.

9．函数y＝4sin（x＋_）＋3sin（_－x）的最大值为（　）

A．7B．2_＋_

C．5D．4

答案C

解析y＝4sin_＋3sin_

＝4sin_＋3sin_

＝4cos_＋3sin_

＝5cos_，（tanφ＝_）∴最大值为5.

10．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为（　）

A._minB._h

C．21.5minD．2.15h

答案A

解析如右图：

设t小时甲行驶到D处AD＝10－4t，乙行驶到C处AC＝6t，∵∠BAC＝120°，DC2＝AD2＋AC2－2AD?

?

AC?

?

cos120°

＝（10－4t）2＋（6t）2－2×（10－4t）×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.

当t＝_h时DC2最小，DC最小，此时t＝_×60＝_min.

11．在△ABC中，已知sinC＝2sin（B＋C）cosB，那么△ABC一定是（　）

A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形答案B

解析C＝π－（A＋B），B＋C＝π－A.

有sin（A＋B）＝2sinAcosB，sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB.

即sinAcosB－cosAsinB＝0，sin（A－B）＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形．故选B.

12．（2010?

?

皖南八校第二次联考）定义行列式运算：

_＝a1a4－a2a3，将函数f（x）＝_（ω>0）的图象向左平移_个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（　）

A._B．1

C._D．2

答案B

解析由题意知，f（x）＝_cosωx－sinωx＝2cos（ωx＋_）．将函数f（x）的图象向左平移_个单位后所得图象对应的函数y＝2cos（ωx＋_ω＋_）为偶函数，所以_ω＋_＝kπ，k∈Z，ω＝_k－_，k∈Z，∵ω>0，∴ωmin＝1，故选B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．若_＝2012，则_＋tan2α＝[_][_][_][_][_][_][_][_].

答案2012

解析_＋tan2α＝_＋_＝_

＝_＝_＝2012

14．已知等腰△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝（a＋c，b），q＝（b＋a，c－a），若p‖q，则角A的大小为[_][_][_][_][_][_][_][_]．答案30°

解析由p‖q得（a＋c）（c－a）＝b（b＋a），即－ab＝a2＋b2－c2，由余弦定理得cosC＝_＝_＝－_，因为0°

15．（2010?

?

新课标全国）在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝_，∠ADB＝135°.若AC＝_AB，则BD＝[_][_][_][_][_][_][_][_].

答案2＋_

解析如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题可知BD＝_a，CD＝_a，所以根据余弦定理可得b2＝（_）2＋（_a）2－2××_acos45°，c2＝（_）2＋（_a）2－2××_acos135°，由题意知b＝_c，可解得a＝6＋3_，所以BD＝_a＝2＋_.

16．下面有五个命题：

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.

②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝_，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点．④把函数y＝3sin（2x＋_）的图象向右平移_得到y＝3sin2x的图象．⑤函数y＝sin（x－_）在[[]0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是[_][_][_][_][_][_][_][_]．（写出所有真命题的编号）

答案①④解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.

②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．③由y＝sinx在（0,0）处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图象只有一个交点．④y＝3sin（2x＋_）图象向右平移_个单位得y＝3sin[[]2（x－_）＋_]＝3sin2x.

⑤y＝sin（x－_）＝－cosx在[[]0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知函数＝2sinxcosx＋sin（_－2x）．求：

（1）f（_）的值；

（2）f（x）的最小正周期和最小值；（3）f（x）的单调递增区间．解析

（1）f（_）＝2sin_cos_＋sin（_－2×_）

＝2××_＋0＝1.

（2）f（x）＝sin2x＋cos2x

＝_（_sin2x＋_cos2x）

＝_（sin2xcos_＋cos2xsin_）

＝_sin（2x＋_）

所以最小正周期为π，最小值为－_.

（3）由－_＋2kπ≤2x＋_≤_＋2kπ（k∈Z），可得－_＋kπ≤x≤_＋kπ（k∈Z）．所以函数的单调递增区间为_（k∈Z）．18．（本小题满分12分）（09?

?

北京卷）已知函数f（x）＝2sin（π－x）cosx.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[[]－_，_]上的最大值和最小值．解析

（1）因为f（x）＝2sin（π－x）cosx＝2sinxcosx＝sin2x，所以函数f（x）的最小正周期为π.

（2）由－_≤x≤_得－_≤2x≤π，所以－_≤sin2x≤1.

即f（x）的最大值为1，最小值为－_.

19．（本小题满分12分）已知向量m＝（2sinx，cosx），n＝（_cosx,2cosx），定义函数f（x）＝loga（m?

?

n－1）（a>0，a≠1）．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）确定函数f（x）的单调递增区间．解析

（1）因为m?

?

n＝2_sinxcosx＋2cos2x

＝_sin2x＋cos2x＋1，所以f（x）＝loga[[]2sin（2x＋_）]，故T＝_＝π.

（2）令g（x）＝2sin（2x＋_），则g（x）的单调递增的正值区间是（kπ－_，kπ＋_），k∈Z＋，g（x）的单调递减的正值区间是（kπ＋_，kπ＋_），k∈N.

当01时，函数f（x）的单调递增区间为（kπ－_，kπ＋_），k∈Z＋.

20．（本小题满分12分）（2010?

?

安徽卷）设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin（_＋B）sin（_－B）＋sin2B.

（1）求角A的值；

（2）若_?

?

_＝12，a＝2_，求b，c（其中b＜c）．解析

（1）因为sin2A＝（_cosB＋_sinB）（_cosB－_sinB）＋sin2B＝_cos2B－_sin2B＋sin2B＝_，所以sinA＝±_.又A为锐角，所以A＝_.

（2）由_?

?

_＝12可得cbcosA＝12.　①由

（1）知A＝_，所以cb＝24.　②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝2_及①代入，得c2＋b2＝52，③由③＋②×2，得（c＋b）2＝100，所以c＋b＝10.

因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c＞b知c＝6，b＝4.

21．（本小题满分12分）（2010?

?

广东卷）设函数f（x）＝3sin（ωx＋_），ω>0，x∈（－∞，＋∞），且以_为最小正周期．

（1）求f（0）；

（2）求f（x）的解析式；（3）已知f（_＋_）＝_，求sinα的值．解析

（1）由题设可知f（0）＝3sin_＝_.

（2）∵f（x）的最小正周期为_，∴ω＝_＝4.

∴f（x）＝3sin（4x＋_）．（3）由f（_＋_）＝3sin（α＋_＋_）＝3cosα＝_，∴cosα＝_.

∴sinα＝±_＝±

22．（本小题满分12分）（2010?

?

江西卷）已知函数f（x）＝（1＋cotx）sin2x＋msin（x＋_）sin（x－_）．

（1）当m＝0时，求f（x）在区间[[]_，_]上的取值范围；

（2）当tanα＝2时，f（α）＝_，求m的值．解析

（1）当m＝0时，f（x）＝sin2x＋sinxcosx

＝_（sin2x－cos2x）＋_＝_sin（2x－_）＋_，又由x∈[[]_，_]得2x－_∈[[]0，_]，所以sin（2x－_）∈[[]－_，1]，从而f（x）＝_sin（2x－_）＋_∈[[]0，_]．

（2）f（x）＝sin2x＋sinxcosx－_cos2x＝_＋_sin2x－_cos2x＝_[[]sin2x－（1＋m）cos2x]＋_，由tanα＝2得，sin2α＝_＝_＝_，cos2α＝_＝_＝－_，所以_＝_[[]_＋（1＋m）_]＋_，得m＝－2.