高中数学归纳法大全数列不等式精华版.docx

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§　数学归纳法

1．数学归纳法的概念及基本步骤

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：

（1）验证：

n＝n0时，命题成立；

（2）在假设当n＝k（k≥n0）时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．

根据

（1）

（2）可以断定命题对一切正整数n都成立．

2．归纳推理与数学归纳法的关系

数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：

（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；

（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.

2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：

一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．

3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．

4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

5．数学归纳法与归纳推理不同．

（1）归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．

（2）数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．

6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：

（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n都成立；

（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．

证明：

＋＋＋…＋＋＝1－（其中n∈N＋）．

[证明]　

（1）当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．

（2）假设当n＝k（k≥1）时，等式成立，即

＋＋＋…＋＋＝1－，

那么当n＝k＋1时，

左边＝＋＋＋…＋＋＋

＝1－＋＝1－＝1－＝右边．

这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．

根据

（1）和

（2），可知等式对任何n∈N＋都成立．

用数学归纳法证明：

1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.

[证明]　①当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，

∴当n＝1时，等式成立．

②假设n＝k时等式成立，即

1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.

则当n＝k＋1时，

左边＝1－＋－＋…＋－＋－

＝（＋＋…＋）＋－

＝（＋…＋＋）＋（－）

＝＋…＋＋＋＝右边．

∴n＝k＋1时等式成立．

由①②知等式对任意n∈N＋都成立．

[点评]　在利用归纳假设论证n＝k＋1等式成立时，注意分析n＝k与n＝k＋1的两个等式的差别．n＝k＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变到.因此在证明中，右式中的应与－合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n＝k＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．

证明不等式

用数学归纳法证明：

对一切大于1的自然数n，不等式…＞成立．

[证明]　①当n＝2时，左＝1＋＝，右＝，左＞右，

∴不等式成立．

②假设n＝k（k≥2且k∈N*）时，不等式成立，

即…＞，

那么当n＝k＋1时，

…[1＋]＞·

＝＝＞

＝＝，

∴n＝k＋1时，不等式也成立．

∴对一切大于1的自然数n，不等式成立．

[点评]　

（1）本题证明n＝k＋1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式＞成立．

（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：

•第①步p（n0）成立是推理的基础;

•第②步由p（k）⇒p（k＋1）是推理的依据（即n0成立，则n0＋1成立，n0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立）．

•另一方面，第①步中，验证n＝n0中的n0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设.

（2013·大庆实验中学高二期中）用数学归纳法证明：

1＋＋＋…＋<2－　（n≥2）．

[分析]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．

[证明]　1°当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．

2°假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－

当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<

2－＋<2－＋＝2－＋－

＝2－命题成立．

由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．

证明整除问题

用数学归纳法证明下列问题：

（1）求证：

3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数；

（2）证明：

（3n＋1）·7n－1能被9整除．

[分析]　

（2）先考察：

f（k＋1）－f（k）＝18k·7k＋27·7k，因此，当n＝k＋1时，（3k＋4）7k＋1＝（21k＋28）·7k－1＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.

[证明]　

（1）当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．

假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m（m是整数），

则3×52（k＋1）＋1＋23（k＋1）＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3

＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8

＝（3×52k＋1＋23k＋1）×8＋17×3×52k＋1

＝8×17m＋3×17×52k＋1

＝17（8m＋3×52k＋1），

∵m、k都是整数，∴17（8m＋3×52k＋1）能被17整除，

即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．

（2）令f（n）＝（3n＋1）·7n－1

①f

（1）＝4×7－1＝27能被9整除．

②假设f（k）能被9整除（k∈N*），

∵f（k＋1）－f（k）＝（3k＋4）·7k＋1－（3k＋1）·7k＝7k·（18k＋27）＝9×7k（2k＋3）能被9整除，

∴f（k＋1）能被9整除．

由①②可知，对任意正整数n，f（n）都能被9整除．

[点评]　用数学归纳法证明整除问题，当n＝k＋1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证．

（2014·南京一模）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N＋时，an＋2＝an＋1＋an.求证：

数列{an}的第4m＋1项（m∈N＋）能被3整除．

[证明]　

（1）当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝（a3＋a2）＋（a2＋a1）＝（a2＋a1）＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.

即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．

（2）假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，

a4（k＋1）＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2

＝2（a4k＋2＋a4k＋1）＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.

显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除．

∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．

即当m＝k＋1时，a4（k＋1）＋1也能被3整除．命题也成立．

由

（1）和

（2）知，对于n∈N＋，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除．

几何问题

平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：

这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．

[分析]　用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块．本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决．

[解析]　①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．

②假设当n＝k时命题成立（k∈N*），k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成（k2－k＋2）＋2k＝（k＋1）2－（k＋1）＋2个部分，即命题也成立．由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立．

[点评]　利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．

[分析]　找到从n＝k到n＝k＋1增加的交点的个数是解决本题的关键．

[证明]　

（1）当n＝2时，两条直线的交点只有一个．

又f

（2）＝×2×（2－1）＝1，

∴当n＝2时，命题成立．

（2）假设n＝k（k≥2）时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f（k）＝k（k－1），

那么，当n＝k＋1时，

任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f（k）＝k（k－1），

l与其他k条直线交点个数为k.

从而k＋1条直线共有f（k）＋k个交点，

即f（k＋1）＝f（k）＋k＝k（k－1）＋k＝k（k－1＋2）＝k（k＋1）＝（k＋1）[（k＋1）－1]，

∴当n＝k＋1时，命题成立．

由

（1）

（2）可知，对n∈N＋（n≥2）命题都成立．

[点评]　关于几何题的证明，应分清k到k＋1的变化情况，建立k的递推关系．

探索延拓创新

归纳—猜想—证明

（2014·湖南常德4月，19）设a>0，f（x）＝

，令a1＝1，an＋1＝f（an），n∈N＋.

（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的结论．

[解析]　

（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f

（1）＝；a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝.

猜想an＝（n∈N＋）．

（2）证明：

（ⅰ）易知，n＝1时，猜想正确．

（ⅱ）假设n＝k时猜想正确，

即ak＝，

则ak＋1＝f（ak）＝＝＝＝.

这说明，n＝k＋1时猜想正确．

由（ⅰ）（ⅱ）知，对于任何n∈N＋，都有an＝

已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N＋.

（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；

（2）证明：

|xn＋1－xn|≤n－1.

[解析]　

（1）解:

由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝.

由x2>x4>x6，猜想数列{x2n}是单调递减数列．

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，已证明x2>x4，命题成立．

②假设当n＝k时，命题成立，即x2k>x2k＋2.

易知xn>0，那么，当n＝k＋1时，

x2k＋2－x2k＋4＝－＝

＝>0，

即x2（k＋1）>x2（k＋1）＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．

综合①和②知，命题成立．

（2）证明：

当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝，结论成立．

当n≥2时，易知0

∴1＋xn－1<2，xn＝>.

∴（1＋xn）（1＋xn－1）＝（1＋xn－1）＝2＋xn－1≥.

∴|xn＋1－xn|＝＝

≤|xn－xn－1|≤2|xn－1－xn－2|≤…≤

n－1|x2－x1|＝n－1.

易错辨误警示

判断2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1对大于0的自然数n是否都成立？

若成立请给出证明．

[误解]　假设n＝k时，结论成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那2＋4＋…＋2k＋2（k＋1）＝k2＋k＋1＋2（k＋1）＝（k＋1）2＋（k＋1）＋1.

即当n＝k＋1时，等式也成立．

因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1都成立．

[误解]　假设n＝k时，结论成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那2＋4＋…＋2k＋2（k＋1）＝k2＋k＋1＋2（k＋1）＝（k＋1）2＋（k＋1）＋1.

即当n＝k＋1时，等式也成立．

因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1都成立．

•[正解]　不成立．当n＝1时，左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边，所以不成立．

[点评]　用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的．特别是步骤

（1），往往十分简单，但却是不可忽视的步骤．本题中，虽然已经证明了：

如果n＝k时等式成立，那么n＝k＋1时等式也成立．但是如果仅根据这一步就得出等式对任何n∈N＋都成立的结论，那就错了．事实上，当n＝1时，上式左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边．而且等式对任何n都不成立．这说明如果缺少步骤

（1）这个基础，步骤

（2）就没有意义了．

用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝（n∈N＋）．

[误解]　

（1）略．

（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N＋）时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得

＋＋＋…＋＋

＝

＝＝，即n＝k＋1时命题成立．

[正解]　

（1）当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．

（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N＋）时，

＋＋＋…＋＝成立．

那么当n＝k＋1时，

＋＋＋…＋＋

＝＋

＝

＝

＝＝.

所以当n＝k＋1时，等式成立．

由

（1）

（2）可得对一切n∈N＋等式都成立．

[点评]　这里没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证．

用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>（n∈N＋）．

[误解]　

（1）当n＝1时，左边＝1＋＝，右边＝＝1.显然左边>右边，即n＝1时命题成立．

（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N＋）时命题成立，即1＋＋＋…＋>.

[正解]　

（1）略．

（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N＋）时不等式成立，即1＋＋＋…＋>，

则当n＝k＋1时，

1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…

＋>＋＋＋…＋

＝＋＝＋＝，

即n＝k＋1时不等式也成立．由

（1）

（2）可得对一切n∈N＋不等式都成立．

[点评]　从n＝k到n＝k＋1时，增加的不止一项，应为＋＋…＋，共有2k项，并且＋>＋也是错误的．