小学数学奥数基础教程六年级.docx

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小学数学奥数基础教程六年级

2019年小学数学奥数基础教程（六年级）

第29讲

本教程共30讲

运筹学初步（三）

　　本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。

　　1.统筹安排问题

　　例1星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？

　　分析与解：

如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。

要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。

最合理的安排是：

先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。

　　例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。

　　2.排队问题

　　例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。

怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？

最少要用多少时间？

　　分析与解：

一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。

甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。

甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需24分钟的人理发，无人等待。

　　甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。

总的占用时间为

　　（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。

　　按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了10＋15＋24＝49（分）。

如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为

　　10＋12＋20＝42（分）。

　　例3车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？

　　分析与解：

因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟。

　　上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。

第一人按需17，18，20分钟的顺序修理，第2人按需25，30分钟的顺序修理，经济损失为

　　5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］=935（元）。

　　3.最短路线问题

　　例4右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：

分）。

小明从A到B最快要几分钟？

　　分析与解：

我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。

　　从A到O有两条路，A→C→O用6分钟，A→F→O用7分钟，排除后者，可将FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF，简化为左下图。

　　从A到E还剩两条路，A→C→G→E用12分钟，A→C→O→E用10分钟，排除前者，可将CG，GE抹去，简化为右上图。

　　从A到D还剩两条路，A→C→O→D用12分钟，A→H→D用13分钟，排除后者，可将AH，HD抹去，简化为左下图。

　　从A到B还剩两条路，A→C→O→E→B用17分钟，A→C→O→D→B用16分钟，排除前者，可将OE，EB抹去，简化为右上图。

　　小明按A→C→O→D→B走最快，用16分钟。

　　4.场地设置问题

　　例5下图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：

千米）。

现在要在五村之中选一个村建立一所小学。

为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。

　　分析与解：

我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。

例如比较A和C，若设在A村，则在C村一侧将集结20＋20＋35＋50=125（人），这些人都要走AC这段路；若设在C村，则只有40人走AC这段路。

对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。

　　从上面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。

　　同理，经比较得到C比B好，D比E好。

最后比较C和D。

若设在C村，则在D村一侧将集结35＋50=85（人）；若设在D村，则在C村一侧将集结40＋20＋20=80（人）。

因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。

　　经过上面的比较，最合理的方案是设在D村。

　　不难发现，本题的解法与第27讲例2的解法十分类似。

　　例6某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的A～G七个居民区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：

千米）。

管道有粗细两种规格，粗管可供所有7个居民区用气，每千米8000元，细管只能供1个居民区用气，每千米3000元。

粗、细管的转接处必须在居民区中。

问：

应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省？

　　分析与解：

在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于2根细管的费用，小于3根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2个，这一段就应选用粗管。

从天然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，共有7个居民区，所以至少有3个居民区由粗管通达。

因为长度相同时，2根或1根细管的费用都低于1根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。

经过计算比较，得到最佳方案：

（1）天然气站经G，F，E到D安装粗管，D到C安装2根细管，C到B安装1根细管；

（2）天然气站到A安装1根细管。

　　此时总费用最少，为

　　8000×（3+12+8+6）+3000×2×5+3000×（9+10）=319000（元）。

练习29

　　1.早饭前妈妈要干好多的事：

烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。

如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？

怎样安排？

　　2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作。

问：

加工完七个零件最少需多长时间？

　　3.车间里有5台车床同时出现故障。

已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

问：

（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？

（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？

　　4.下页左上图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：

分）。

小王从A到B，最快需要几分钟？

　　5.东升乡有8个行政村。

分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：

千米）。

现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线。

问：

电线至少要架多长？

　　6.有七个村庄A1，A2，…，A7分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？

　　7.有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见下图，单位：

千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？

费用应是多少？

附送：

2019年小学数学奥数基础教程（四年级）（I）

本教程共30讲

速算与巧算

（一）

　　计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

　　我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：

　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

　　求这10名同学的总分。

分析与解：

通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：

　　6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到

　　总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-

　　＝800＋9＝809。

　　实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

为了清楚起见，将这一过程表示如下：

　　通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。

　　例1所用的方法叫做加法的基准数法。

这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。

作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。

由例1得到：

总和数=基准数×加数的个数+累计差，

平均数=基准数+累计差÷加数的个数。

　　在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。

同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：

千克）：

　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

解：

选基准数为450，则

　　累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11

　　＝50，

　　平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）。

　　答：

平均每块麦田的产量为455千克。

　　求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292和822的值。

解：

292=29×29

　　＝（29＋1）×（29-1）＋12

　　＝30×28＋1

　　＝840+1

　　＝841。

　　822＝82×82

　　＝（82－2）×（82＋2）＋22

　　＝80×84＋4

　　＝6720+4

　　＝6724。

　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

　　由凑整补零法计算352，得

　　35×35＝40×30＋52=1225。

这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例4求9932和2的值。

解：

9932=993×993

　　＝（993＋7）×（993-7）+72

　　＝1000×986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049。

　　2=×

　　＝（-4）×（+4）＋42

　　＝×＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016。

　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

　　请看下面的算式：

　　66×46，73×88，19×44。

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例588×64＝？

分析与解：

由乘法分配律和结合律，得到

　　88×64

　　＝（80＋8）×（60＋4）

　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4

　　＝80×（60＋10）＋8×4

　　＝8×（6＋1）×100+8×4。

　　于是，我们得到下面的速算式：

　　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）。

例677×91＝？

解：

由例3的解法得到

　　由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。

　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。

 练习1

　　1.求下面10个数的总和：

　　165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

　　2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：

厘米）：

　　26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

　　3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

　　68，91，84，75，78，81，83，72，79。

　　他们共加工了多少个零件？

　　4.计算：

　　13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

　　5.计算下列各题：

（1）372；

（2）532；（3）912；

　　（4）682：

（5）1082；（6）3972。

　　6.计算下列各题：

（1）77×28；

（2）66×55；

　　（3）33×19；（4）82×44；

　　（5）37×33；（6）46×99。

答案与提示练习

　　1.1596。

2.26厘米。

　　3.711个。

4.147。

　　5.

（1）1369；

（2）2809；（3）8281；

　　　（4）4624；（5）11664；（6）157609。

　　6.

（1）2156；

（2）3630；（3）627；

　　　（4）3608；（5）1221；（6）4554。