高考复习机械能.docx

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高考复习机械能

　　　　　　　　　　　　　　　第四章机械能

一、知识目标

内容

要求

说明

1．力的合成和分解力的平行四边形定则

Ⅱ

2．重力形变和弹力胡克定律

Ⅰ

3．静摩擦滑动摩擦摩擦力动摩擦因数

Ⅰ

4．共点力作用下物体的平衡

Ⅰ

5．牛顿运动定律及其应用

Ⅱ

6．加速度与物体质量、物体受力的关系

Ⅱ

二、能力要求

1．理解并掌握恒力做功的表达式；会利用动能定理、图象等求力做的功．

2．理解并掌握功率的计算；会根据功率分析汽车的启动过程．

3．理解物体的动能；会运用动能定理解决做功和动能变化的相关问题．

4．理解物体的重力势能；掌握重力做功和重力势能变化的关系．

5．理解机械能守恒定律的适用条件；会利用机械能守恒定律解决如物体在竖直面做圆周运动等相关问题．

6．会运用功能关系求解相关的能量转化问题．

三、解题示例

例1跳绳是一种健身运动．设某运动员的质量是50kg，他1min跳绳180次．假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的

，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是__________W．（取g＝10m/s2）．

分析：

运动员跳绳时每跳一次所需时间为

运动员上升的时间为

运动员离开地面的最大高度

每跳一次运动员克服重力做功为W＝mgh＝25J

克服重力做功的平均功率

．

讨论：

将平均功率的定义理解为“力对物体做的功与所需时间的比值”是不妥的，平均功率的定义应该是“某段时间内力对物体做的功与该段时间的比值”．

例2一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，在水平力F作用下，小球从最低点A点缓慢地移到B点时，轻绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示．在小球从A

点移到B点的过程中，力F对小球做的功为

A．mglcosθB．Flsinθ

C．mgl（1－cosθ）D．Flcosθ

分析：

由于小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作处于平衡状态，根据力的平衡可知F是变力；同时，在小球运动过程，只有重力mg和F做功，绳子的拉力方向始终与小球速度方向垂直，不做功；第三，物体的动能不变，可以根据动能定理求解．

在小球从A点移到B点的过程中，根据动能定理：

WF－mgl（1－cosθ）＝0

解得WF＝mgl（1－cosθ）

解：

正确答案为C选项．

讨论：

（1）使用动能定理，一定要明确对应的物理过程，同时要明确这个过程中物体的受力情况和各力做功的情况．

（2）若将本题中水平力F改为水平恒力F，小球由静止开始从A移到B，F做功等于多少?

小球的速度怎么变?

例3一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉，拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球，如图所示．当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位置C距悬点O的距离．

分析：

解决本题的关键是理解小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动所需的条件，即刚好能通过最高点D点，此时的向心力最小，绳子的拉力为零，只有重力提供向心力．同时由于小球在整个过程中，只受到重力和绳对它的拉力，因拉力始终与运动方向垂直，所以对小球不做功，因此在整个过程中，只有重力做功，所以机械能守恒．

解：

小球刚好绕C做圆周运动，即刚好能通过最高点D点，此时只有重力提供向心力，设此时的半径为r，根据牛顿定律和向心力公式有：

①

根据机械能守恒定律，取D点为零势能位置，有：

②

由①、②两式解得

．

因此，所求OC间距离为

讨论：

（1）物体做竖直圆运动通常是机械能守恒定律与牛顿第二定律结合解决问题．运用机械能守恒定律应注意各个状态机械能的确定，恰当选好零势能位置．（注意机械能守恒条件下的竖直圆运动不是匀速圆周）

（2）请思考：

①若C点不钉钉子，为使m恰好绕O做圆周运动，细绳水平时，要给小球多大的向下的初速度?

（

）

②原题中，细绳碰到钉子前、后的瞬间，细绳对小球拉力各多大?

（3mg和6mg）

③若OC距离为

，小球绕C做圆周运动的最低点和最高点，绳子对小球的拉力各多大?

相差多少?

（11mg，5mg，6mg）

④若轻绳所能承受的最大拉力为8mg，为保证小球能做圆周运动且绳又不被拉断，小钉的位置需满足什么条件?

（OC间距离满足

L≤OC＜

L）

⑤若钉子不在O点正下方，而是在与竖直方向偏右60°角的直线上，原题所问如何?

（

L）

例4如图所示，质量为M的木板Q静止在光滑水平地面上．另一个质量为m的小木块P以速度v0从木板P的右端滑上木板，P在Q上滑行一段距离后相对于Q静止，而后以共同的速度v一起运动．试分析这个过程中摩擦力做功的情况．

图a

图b

分析：

设相互作用的滑动摩擦力大小为f，在有相对运动的过程中，木块Q和木板P的位移分别为x1和x2．

摩擦力对Q做的功WQ＝fx1

同理，摩擦力对P做的功WP＝－fx2

这两个功的代数和WQ＋WP＝－f（x2－x1）＝－fΔx

表明一对滑动摩擦力做功的代数和为负值，且数值上等于摩擦力大小与二者相对运动的路程的乘积．

另一方面，根据动能定理：

摩擦力对Q做的功等于Q的动能增量，即

摩擦力对P做的功等于P的动能增量，即

这两个功的代数和也可以表示为

这部分恰好是系统损失的机械能．

讨论：

这里WQ的数值等于由P向Q转移的动能，|WQ＋WP｜的值则表示这两个物体组成的系统的机械能向内能的转化量，即所生成的热．

例5如图质量为m1的物体A经轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升．若将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离开地时D的速度的大小是多少?

已知重力加速度为g．

分析：

本题叙述了三个情景，一是A、B都处于静止状态的情景；二是在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，恰好能使B离开地面但不继续上升的情景；三是将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从初始位置由静止状态释放的情景．

解：

以A为研究对象，A物体受重力和弹簧的弹力F1，处于平衡，设弹簧压缩量为x1，根据物体平衡条件得

kx1＝m1g

恰好能使B离开地面（A不继续上升）的状态是B受到地面的支持力等于零．以B为研究对象，B物体受重力、弹簧的弹力F（地面的支持力FN＝0），处于平衡，此时弹簧处于伸长状态，伸长量设为x2，弹力方向向上，有kx2＝m2g

在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，直到恰好能使B离开地面但A不继续上升的过程．

A物体上升x1＋x2，重力势能增加m1g（x1＋x2），动能增量为0；

C下降x1＋x2，重力势能减小m3g（x1＋x2），动能增量为0；

弹簧的长度发生变化，弹性势能的增量设为ΔE；

以物体A、C和弹簧组成的系统为研究对象，由于这个过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，即

ΔE＝m3g（x1＋x2）－m1g（x1＋x2）①

将C换成另一个质量为（m1＋m3）的物体D，仍从初始位置由静止状态释放直到B刚好离开地面的过程中，系统的机械能守恒．

A物体上升x1＋x2，重力势能增加m1g（x1＋x2），动能增量为

；

D物体下降x1＋x2，重力势能减小（m1＋m3）g（x1＋x2），动能增量为

．

弹簧的长度发生变化，弹性势能的增量为ΔE′．由于第二个情景和第三个情景中弹簧的长度变化相同，所以两个情景中弹簧弹性势能的增量相同，即ΔE′＝ΔE．

同样，若以物体A、D和弹簧组成的系统为研究对象，由于这个情景中，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统的机械能守恒，即

②

将①式代入②式，得

讨论：

（1）选择什么规律来解决问题是由问题所给出的具体的物理状态或物理过程所决定的．本题中，先由牛顿第二定律出发，分析物体做什么性质的运动，由于加速度是变化的，受数学工具的限制，不能确定物体的速度是变化的，所以要进一步从机械能的角度分析系统各状态下的机械能变化的情况．由于题目所给的物理过程满足机械能守恒，所以选择机械能守恒定律来求解问题．

（2）要认真分析题目所给的比较隐蔽的条件，如题中的“恰好能使B离开地面但不继续上升”．

（3）本题的难点还在于对于弹性势能的概念的理解．弹簧形变时弹力做功，弹性势能发生变化，弹性势能的大小跟弹簧的劲度系数k和所处状态弹簧的伸长量（或压缩量）有关．

例6风能将成为21世纪大规模开发的一种可再生清洁能源，风力发电机是将风能（气流的动能）转化为电能的装置．其主要部件包括风轮机、齿轮箱、发电机等，如图所示．我国甘肃省的安西地区，风力资源极其丰富，素有世界第二风库之称，而当地的经济又相当落后，因此充分利用风力资源，开展风力发电，是改变当地经济落后面貌的可行之路．当地几乎全年有风，平均风速为v＝10m/s．风力发电机共有三个相同的叶片，每个叶片近似为图所示的梯形，空气体密度ρ＝1.29kg/m3，风能利用系数约0.25，每天发电20h，每户平均每天用电2.0kWh，那么一个拥有90户的自然村，需安装几台这样的风力发电机?

分析：

风力发电机是利用风力推动其叶片旋转，从而带动发电机发电．发电的过程是连续撞击叶片的空气（即风）的一部分动能转变为叶片旋转的动能，再通过发电机转变成电能．

解：

设叶片总面积为S，

设风速垂直于叶片，单位时间与面积为S的叶片撞击的空气质量为：

m＝ρSv

质量为m的空气所具有的动能为：

所以发电机的电功率为：

每天发电：

E＝Pt＝2.03×20kWh＝40.6kWh

需安装这样的发电机

（台）．

因此需安装这样的风力发电机5台．

讨论：

这个题重点考察了联系实际、分析物理过程和建立物理模型的能力．风力发电需要对空气的流体建模，找出单位时间，流向风能机的最大风能，这个就是考查学生建模能力和利用数学解决问题的能力．

四、综合训练

1．一物体放在水平面上，它的俯视图如图所示．两个相互垂直的力F1和F2同时作用在物体上，使物体沿图中v0的方向运动．经过一段位移的过程中，力F1和F2对物体所做的功分别为3J和4J，则两个力的合力对物体所做的功为

A．3JB．4JC．5JD．7J

2．如图，质量为m的物体置于光滑水平面上．用与水平方向成θ＝60°的恒定拉力F拉着物体沿水平方向运动，使物体由静止开始运动了时间t．如果要使拉力做的功变为原来的2倍，则在其他条件不变的情况下，可以将

A．拉力大小改为2FB．拉力改为水平方向

C．运动时间改为2tD．物体的质量改为

3．水平恒力F作用于质量为M的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离s，恒力做功为W1，再用该恒力作用于质量为m（m＜M）的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样距离s，恒力做功为W2，则两次恒力做功的关系是

A．W1＞W2B．W1＜W2C．W1＝W2D．无法判断

4．如图，木板可绕固定的水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2J．用N表示物块受到的支持力，用f表示物块受到的静摩擦力．在这一过程中，以下判断正确的是（）

A．N和f对物块都不做功

B．N对物块做功2J，f对物块不做功

C．N对物块不做功，f对物块做功2J

D．N和f对物块所做功的代数和为0

5．质量为m的小球从高h处由静止开始自由下落，以地面作为零势能面．当小球的动能和重力势能相等时，重力的瞬时功率为

A．

B．

C．

D．

6．假设轮船行驶时，所受阻力与船速成正比．当船以速度v匀速行驶时，发动机输出功率为P1；当船以速度2v匀速行驶时，发动机输出功率为P2，P1、P2均不超过额定功率．则

A．P2＝2P1B．P2＝4P1C．P1＝2P2D．P1＝P2

7．将一个物体以初动能E0竖直向上抛出，落回地面时物体的动能为

．设空气阻力恒定，如果将它以初动能4E0竖直上抛，则它在上升到最高点的过程中，重力势能变化了（）

A．3E0B．2E0C．1.5E0D．E0

8．如图所示，某人将质量为m的石块从距地面h高处斜向上方抛出，石块抛出时的速度大小为v0，不计空气阻力，石块落地时的动能为

A．mgh

B．

C．

D．

9．如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80J的功，则（）

A．物体的重力势能一定增加80JB．物体的机械能一定增加80J

C．物体的动能一定减少80JD．物体的机械能一定减少80J

10．如图所示，质量为m的物体由h高处无初速滑下，至平面上A点静止，不考虑B处能量的转化，若使物体在平行于运动方向的力F作用下由A点沿原路径返回C点，则力F做功至少为

A．mghB．2mgh

C．3mghD．无法计算

11．如图所示，电梯质量为M，地板上放置一质量为m的物体，钢索拉着电梯由静止开始向上做加速运动，当上升高度为H时，速度达到v，则（）

A．地板对物体的支持力做的功等于

B．地板对物体的支持力做的功等于mgH

C．钢索的拉力做的功等于

D．合力对电梯M做的功等于

12．如图所示，一个质量为m的物体以某一速度从A点冲上一个倾角为30°的斜面，其运动的加速度为

．这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这过程中

A．物体的重力势能增加了

B．物体的机械能损失了

C．物体的动能损失了mgh

D．物体的重力势能增加了mgh

13．水平桌面上有一质量为2kg的物体，在10N的水平恒力作用下由静止开始运动，在4s内通过的位移为8m，则4s内水平恒力做的功__________J；物体克服摩擦力做功__________J．

14．质量为m的跳水运动员，在高为h的跳台上以速度v1跳起，落入水时的速度为v2，则跳水运动员跳起时做的功为__________，入水前克服空气阻力做的功为__________．

15．如图所示，摆球摆线长0.8m，摆球质量0.2kg，从图示摆线水平方向释放，当摆球到达最低点时，摆球速度为__________m/s，摆球对线的拉力大小为__________N．（取g＝10m/s2）

16．如图所示，半径为R的光滑半圆形细管固定在竖直平面内，在管的下端处与粗细相同的水平直管相切，并连接光滑，一小球以v0的速度从连接处进入半圆形管，欲使小球经过最高点时对管壁有向下的压力，v0应满足__________．

17．某地强风的风速为v＝20m/s，设空气密度为ρ＝1.3kg/m3，如果把通过横截面积为S＝20m2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式为__________，大小约为__________W．（取一位有效数字）

18．物体沿斜面向上运动经过A点时具有动能100J，当它向上滑到B点时，动能减少了80J，其中机械能损失了20J，则物体回到A点时的动能为__________J．

19．如图所示，将小球以6J的初动能自倾角为30°的斜面顶端水平抛出，不计空气阻力，当它落到斜面上时动能为__________．

20．质量为500g的小球，从高25.0m处自由落下后，以10.0m/s的速度与地面相撞．如果小球在运动过程中，所受各力大小均恒定，且碰撞过程不计能量损失，那么，小球从开始下落到停在地面上，所通过的路程为__________m．（g＝10m/s2）

21．如图所示，一个质量为m＝10kg的物体，由

圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端时的速度v＝2.0m/s，然后沿水平面向右滑动1.0m的距离而停止．已知轨道半径0.4m，g＝10m/s2求：

（1）物体滑至轨道底端时对轨道的压力是多大；

（2）物体沿轨道下滑过程中克服摩擦力做了多少功；

（3）物体与水平面间的动摩擦因数μ为多大?

22．质量m为5.0×106kg的列车以恒定不变的功率由静止沿平直轨道加速行驶，当速度增大到v1＝2m/s时，加速度a1＝0.9m/s2，当速度增大到v2＝10m/s时，加速度a2＝0.1m/s2．如果列车所受阻力大小不变，求：

（1）列车所受阻力是多少；

（2）在该功率下列车的最大速度是多少?

23．在光滑斜面的底端静止着一个物体．从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力作用在物体上，使物体沿斜面向上滑去．经一段时间突然撤去这个恒力，又经过相同的时间，物体返回斜面的底端且具有120J的动能．求：

（1）这个恒力对物体做的功为多少?

（2）突然撤去这个恒力的时刻，物体具有的动能是多少?

１6．（15分）在光滑斜面的底端静止着一个物体．从某时刻开始有一个沿斜面向上的恒力作用在物体上，使物体沿斜面向上滑去．经一段时间突然撤去这个恒力，又经过相同的时间，物体返回斜面的底端且具有120J的动能，求：

（1）这个恒力对物体做的功为多少？

（2）突然撤去这个恒力的时刻，物体具有的动能是多少？

解：

设撤去恒力时物体的速度大小为

，返回斜面底端时速度大小为

（1）对全过程用动能定理　　

（2）取沿斜面向上为正方向　　从底端上滑到撤恒力F　　

　　从撤去F至回到底端　　

　　解得　

　　所以　　

24．水平桌面高h＝0.8m，桌面上A点有一木块，有一向右的速度v0＝1m/s，当木块滑到桌边B以后作平抛运动，落到距桌边的水平距离L＝0.32m处，如图所示，若A、B之间的距离为0.9m，g取10m/s2，求：

木块和桌面间的动摩擦因数．

25．一列总质量为M的列车，在水平导轨上以速度v匀速行驶，所受阻力与车重成正比．突然，一节质量为m的车厢脱钩．当机车仍保持原有牵引力行驶了距离L时，司机发现车厢脱钩，并立即关闭发动机，让机车自由滑行．求两部分都静止后，二者相距的距离．

【解析】设列车牵引力为F，脱钩前，列车做匀速运动，依题意有：

F=kMg………①

脱钩后，车的前部在关闭发动机之前，位移为L，水平方向受到牵引力和阻力作用，关闭发动机后的位移设为L1，水平方向只受到摩擦力的作用；末节车厢一直只受阻力作用，设其位移为L2，由动能定理有：

对车前部：

…………②

对末节车厢：

……………③

将①代入②后÷③可得：

………………④

整理上式得：

……………⑤

则最后车的两部分都停下来时相隔的距离为：

………⑥

26．如图所示，传送带与水平面之间的夹角为30°，其上A、B两点间的距离为5m，传送带在电动机的带动下以v＝1m/s的速度匀速运转，现将一质量为m＝10kg的小物体（可视为质点）轻放在传送带上A点，已知小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝

，则在传送带将小物块从A传送到B的过程中，g＝10m/s2．求：

（1）传送带对小物块做了多少功；

（2）因传送小物块，电动机额外做了多少功?

27．如图，两个对称的与水平面成60°角的粗糙斜轨与一个半径R＝2m，张角为120°的光滑轨道平滑相连．一个小物块从h＝3m高处开始，以初速率v＝4m/s沿斜面向下运动．物体与斜轨接触面间的动摩擦因数为μ＝0.2，g取10m/s2．请你分析一下物块将怎样运动，并计算物块在斜轨上通过的总路程．

解:

重力沿斜轨方向分力为

大于滑动摩擦力

  故m不可能停在斜轨上。

  最终m在光滑圆轨道上往复振动

  初态:

m具有动能

  末态:

m在连接处动能

  由动能定理

28．如图所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的小物块悬挂在绳上的O点，O与A、B两滑轮的距离相等，在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F＝mg，先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端力F不变．问：

（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零?

（2）在物块下落上述距离的过程中克服C端恒力F做功W为多少?

（3）物块下落过程中最大速度vmax和最大距离H各为多少?

【例8】如图所示，轻质长绳水平地跨在相距2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等．在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg，先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变．

（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？

（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？

（3）求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H．

【分析】下落至加速度为零时，AO、BO两绳的合力应等于重力mg，此时∠AOB=120°，于是即可算出下落距离和C、D两端上升距离，克服C端恒力的功即可求出．

在物块的下落过程中，AO、BO两绳中拉力不断变化．开始时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值vm；以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至v=0时，达下落的最大距离H．由于物块作的是变加速运动，所以必须根据动能定理才可求出最大距离．

【解】

（1）物块下落时受到三个力的作用：

重力mg、绳AO、BO的拉力F．当绳拉力的向上合力R等于重力mg时，物块下落的加速度为零．由于F恒为mg、所以a=0时，三力互成120°夹角．如图所示，于是，由图可知，下落距离

（2）物块下落h时，C、D两端上升距离

所以物块克服C端恒力F做功

（3）由上面的分析可知，物块下落h时的速度就是最大速度．根据动能定理

得最大速度

当物块下落最大距离H时，C、D两端上升的距离为

同理，由

mgH-2Fh″=0,

29．如图所示为推行节水工程的转动喷水“龙头”，“龙头”距地面为h，其喷灌半径可达10h，每分钟喷出水的质量为m，所用的水从地下H深的井里抽取．设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，不计空气阻力．试求：

（1）喷水龙头喷出水的初速度；

（2）水泵每分钟对水所做的功；

（3）带动水泵的电动机的最小输出功率．

例25如图所示为推行节水灌溉工程中使用的转动式喷水龙头的示意图。

“龙头”离地面高hm，将水水平喷出，其喷灌半径为10hm，每分钟可喷水mkg，所用的水从地面以下Hm深的井里抽取。

设所用水泵（含电动机）的效率为η，不计空气阻力。

求：

⑴水从龙头中喷出时的速度v0⑵水泵每分钟对水做的功W⑶带动该水泵的电动机消耗的电功率P。

解析：

（1）将水的运动抽象成平抛运动模型，平抛所用时间为t=

…………①

水平初速度为v=

…………②

（2）1min内喷出水的动能为Ek=

mv2=25mgh………③

水泵提水，1min内水所获得的重力势能为Ep=mg（H+h）………④

1min内水泵对水所做功为W=Ek+Ep=mg（H+26h）…………⑤

（3）带动水泵的电动机的最小输出功率等于水泵输入功率P=