发挥典型例题模型的解题功能双直角三角形在解直角三角形中的应用.docx
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发挥典型例题模型的解题功能双直角三角形在解直角三角形中的应用
发挥典型例题“模型”的解题功能——双“直角三角形”在解直角三角形中的应用
例3如图,折叠长方形的一边AD,使点D落
在BC的边上的点F处,已知AB=8cm,BC=
10cm.求折痕AE的长.
分析:
这是一道折纸问题,解决这类问题一定
要把握折痕是对称轴,深入探究隐含条件,准确找
到已知条件,未知条件以及它们之间的关系,构建
立方程求解.
解:
连接AE,A
'
.
'
AADE与△AFE重
合,
.
AFE坌ADEB
.
.
.AF:
AD=BC=10.
F
是通过作辅助线,把四边形分成两个直角三角形,
进行求解.但其中一个直角要运用勾股定理的逆
定理进行证明,在推理时,应注意将较小的两边的
平方和与较大的边的平方相比较.
例4如图,在四边形ABCD中,C=90.,AB
=13,BC=4,CD=3,AD:
12,求四边形ABCD的
面积.
D分析:
连接BD,由勾股D
E
喜理得茎BABADAc合,边的长运用逆定一c理
~AABD是直角三角
F=DE.
设EC=,贝4DE=8一.
在RtAABF中,AB+B=A.
.
?
.BF:
:
:
6.
.
'
.'C=BC—BF=10—6=4
在RtACEF中,FC+CE=EF2,即4+:
（8一）.解得:
3..'.EF=DE=5.
在RtAAFE中,AE=AF+EF=10+5.=
125.AE=5
答:
折痕AE的长为5cm.
四,运用逆定理求解
已知四边形的四边长以及一个直角时,通常
形,于是,四边形ABCD的面积不难求出.
解:
连接BD,
在RtACBD中,由勾股定理可得
BD=,/B+cD=~/4+3=5.
又?
.?
BD+AD:
5+12=169.AB:
13=
169,
.
?
.BD+AD=AB.
.
'
.
△ABD是直角三角形.
..S四边形^BcD=S△^BD+S△i}f_
:
AD-BD+1-
BC.CD
:
÷×12×5+÷×4×':
3624330.=_I×l×）+_××=
发挥典型例题"摸型''-j8Ig禳题功能
双"直角三角形''在解直角三角形中的应用
◆江苏王锋
教材上有这样一道习题:
为了测量停留在空中的气球的高度,小明先
站在地面上某点处观测气球,测得仰角为27.,然
后他向气球方向前进了50米,此时观测气球,测
得仰角为40..若小明的眼睛离地面1.6米,小明
如何计算气球的高度?
（精确到0.1米）
分析:
这是一个具有实际
情景的数学问题,首先应把它
抽象为数学问题,找到其数学A
模型.用点c表示气球的位置,
为什么胖的人比瘦的人怕热?
.$肄潍堡明盈礁酗
日D
≯
l
:
^
栌
觏
《,
点A,B表示小明2次观测气球的位置,点A,曰,D
在同一直线上,CD上AD,CD的长与小明的眼睛离
地面的高度的和就是所求的气球的高度.（解答
略）
课本中有些例题就其使用价值而言,往往不
亚于一些重要的定理,法则,可谓璞玉浑金,平面
直角坐标系的创始人,着名的法国数学家笛卡儿
曾经说过:
"我所解决的每一个问题都将成为一个
范例,以用于解决其他相关的问题."观察,再现上
面习题图形的结构特征,探究,挖掘其中隐含的数
学信息可以发现:
①2个RtAADC,RtABDC有一
个公共的直角边CD:
②2个直角边AD,BD存在关
系AD—BD=AB.这2个关系式恰是我们将未知量
与已知量联系在一起列方程的重要的相等关系.
事实上许多与此相联系解直角三角形的实际应用
问题,抓住上述的"双直角三角形"模型所具有的
2个特征都可迎刃而解.
一
计算遮阳棚的宽度
例1在一次课题学习课上,
同学们为教室窗户设计一个遮阳
棚,小明同学绘制的设计图如图所
示,其中,AB表示窗户,且AB=2
米,BCD表示直角遮阳棚,已知当
地一年中在午时的太阳光与水平
线CD的最小夹角Og为18.6.,最大
夹角JB为64.5..请你根据以上数据,帮助小明同
学计算出遮阳棚中CD的长是多少米?
（结果保留
两个有效数字）
（参考数据:
sinl8.6.=0.32,tanl8.6.:
0.34,
sin64.5.=0.90,tan64.5.:
2.1）
分析:
观察图形,可以发现有2个公共直角边
的RtABCD,RtAACD,而且边之间存在AC—BC=
AB的关系,若设CD=,借助锐角三角函数在
RtABCD,RtAACD中可以表示出AC,BC,通过解
方程可以获解.
解:
设CD为,
在RfABCD中,/BDC=Ol=18.6.,
皇'..tanZBDC=,}u￡,
眚...曰c:
CD.tanBDC:
0.34.
数
.
在R△∞中,ADc卢=64?
5~1
_
.
_fan/_ADC=,
..AC:
CD?
tan/ADC=2.1
.AB=AC—BC.
.
'
.
2=2.1x一0.34x.
故一1.14米.
答:
CD长约为1.14米.
二,轮船是否有触礁危险问题
例2如图,海上有一灯
塔P,在它周围6海里内有暗
礁.一艘海轮以18海里/时的
速度由西向东方向航行,行至
A点处测得灯塔P在它的北
偏东60.的方向上,继续向东
行驶2O分钟后,到达曰处又测得灯塔P在它的北
偏东45.方向上,如果海轮不改变方向继续前进有
没有触礁的危险?
解析:
欲判断海轮不改变方向继续前进有无
触礁的危险,只要求出点P到线段AB所在直线的
距离与6海里比较大小,即可判断有无触礁危险
为此过P作PC上AB于C点,构造出"双直角三角
形"模型——RlAACP,RtABCP;由题意,得AB=
l8X=6,/PAB=90.-60.:
30.,/PBC:
90.
一
45.:
45.,PCB=90.,所以PC=Bc在
RtAPAC,tan30.一=孚=
6+P—C?
解得Pc:
3+3?
因为3√3+3>6,
所以海轮不改变方向继续前进无触礁危险.
三,计算河宽
例3如图,小强在江南岸选定建筑物A,并
在江北岸的处观察,此时,视线与江岸BE所成
的夹角/_ABE=30.,小强沿江岸BE向东走了
500m,到C处,再观察A,此时视线AC与江岸所成
的夹角/ACE=60..根据小强提供的信息,你能测
出河宽吗?
若能,写出求解过程（结果可保留根
号）;若不能,请说明理由.
分析:
首先我们应在图形中BCDE
找到河宽的线段,为此过点A作\\\:
AD上船,垂足为D,则线段A口的————
蓝色的刀和蓝色的枪（猜4字成语）?
.（."Ia）Y尘
长度就是河的宽度,容易发现图中的2个"双直角
三角形"模型,从而得到下面的解法.
在AABC中,..LABD=30.,LACE=60.,
.
'
.BAC=30O.._.AC=BC=500.
在Rt△ACD中,LACD=60.,AD=AC×
sin60.=500×=250~/3-m.
答:
这条河的宽度为250米.
四,拯救生命问题
某建霎羹援C亲某建筑物废墟下方点处有生命\\:
迹象,已知废墟一侧地面上两探C'
测点』4,相距3米,探测线与地
面的夹角分别是3O.和6O.（如图）,试确定生命所
在点C的深度.（结果精确到0.1米.参考数据:
1.41,1.73）
分析:
如图,过点C作cD上B交A曰于D点,
则CD的长就是生命所在点c的深度.
?
.
'
探测线与地面的夹角为30.或6O.,
.
'
.
/CAD=30.CBD=60..
在RtABDCqb,tan60o_历CD,
.
?
.
肋=CD
:
.
在RtAADCt:
p,tan30o=CD
.
?
.
=
CD
=.
.
.
.
AB:
AD—BD:
3.一:
3.即
∞:
半:
2.6（米）.
所以生命所在点c的深度约为2.6米.
牛刀小试
1.如图,-1~11以每小时30海里的速度向东
北方向航行,在A处观测灯塔C在船的北偏东75.
的方向.航行l2分钟后到达B处,这时灯塔C恰
好在船的正东方向.已知距离此灯塔8海里以外
的海区为航行安全区域.这艘船可以继续沿东北
方向航行Ⅱ马7为什么?
（参考数据:
一1.4l,
一1.73）
解析:
欲判断船不改变方向
继续前进有无触礁的危险,只要
求出点C到线段AB所在直线的
距离与8海里比较大小,即可判
断有无触礁危险.为此过c作
CDJ-AB于D点,构造出"双直
角三角形"模型——Rt△ACD,RtABCD.解这两个
直角三角形方可获解.
如图,过点C作CD上直线日于D.
设DC=.
在Rt△CDB中,'.'CBD:
45.,
.
?
.
BD=CD
=.
在Rt△CAD中,...CAD
=75.一45.=30..
.
?
.
AD=—CD
tan30:
.u
_
.
'
AB=3012
=6,
而AD—BD=AB,.?
.AD—BD=6.即√一
=
6.解得=
/31=3（川
——
即DC=3（+1）一8.2>8.
.
'
.
这艘船可以继续沿东北方向航行.
2.武当山风景管理区,为提高游客到某点的
誊44把倾角由.改为32.,已知原台阶A的长为5米
（BC所在的地面为水平面）.试求改善后的台阶多
占多长一段地面?
（精确到0.ol米,sin44.=0.
695,cos44.=0.719,tan32.=0.661）弛
解析:
欲把台阶的倾角由44.改为32.,显然台
阶应加长,所占的地面也变长,如图,AD表示加长
后的台阶,则BD表示台阶加长后地面上多占的一
端,观察图形,显然它具备"双直角三角形"模型的
特征.在Rt△ABC中,BC=AB?
cos44.=5cos44.
一3.597.
在RtAACDD=AC
ta
:
ta
~5.558,
njnj
..
BD=CD—BC=5.558—3.597—1.96.即
改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.
身穿着金色衣服的人（猜4字成语）?
.（-y一）Y翊,镪一
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