函数的单调性同步练习 菁优网.docx
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函数的单调性同步练习菁优网
函数的单调性同步练习
一、选择题
1．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．
f（x）=﹣x+3
B．
f（x）=（x+1）2
C．
f（x）=﹣|x﹣1|
D．
f（x）=
2．已知函数y=ax和y=﹣
在（0，+∞）上都是减函数，则函数f（x）=bx+a在R上是（ ）
A．
减函数且f（0）＞0
B．
增函数且f（0）＞0
C．
减函数且f（0）＜0
D．
增函数且f（0）＜0
3．对于函数y=f（x），在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则y=f（x）（ ）
A．
一定是增函数
B．
一定是减函数
C．
可能是常数函数
D．
单调性不能确定
4．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（ ）
A．
f（a）＞f（2a）
B．
f（a2）＜f（a）
C．
f（a2+2）＜f（2a）
D．
f（a2+1）＞f（a）
5．下列结论正确的是（ ）
A．
函数y=kx（k为常数，k＜0）在R上是增函数
B．
函数y=x2在R上是增函数
C．
在定义域内为减函数
D．
在（﹣∞，0）为减函数
6．已知定义在R上的增函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，x1，x2，x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（ ）
A．
一定大于0
B．
一定小0
C．
等于0
D．
正负都有可能
7．设函数f（x）=
，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是（ ）
A．
（﹣∞，0]
B．
[0，1）
C．
[1，+∞）
D．
[﹣1，0]
二、填空题
8．如图为y=f（x）的图象，则它的单调递减区间是 _________ ．
9．若f（x）是R上的增函数，且f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（3，3），则不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是 _________ ．
10．若函数y=
在区间（0，+∞）上是减少的，则实数k的取值范围是 _________ ．
11．函数f（x）=4﹣
在（0，+∞）上为 _________ 函数（填“增”或“减”）．
12．已知函数f（x）=
在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 _________ ．
三、解答题
13．证明函数f（x）=
在（﹣1，+∞）上是增函数．
14．讨论函数f（x）=
（a＞0）在x∈（﹣1，1）上的单调性．
15．已知函数f（x）=
，x∈[3，7]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
函数的单调性同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．
f（x）=﹣x+3
B．
f（x）=（x+1）2
C．
f（x）=﹣|x﹣1|
D．
f（x）=
考点：
函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
分别画出各个函数的图象，由单调函数图象特征可得结论．
解答：
解：
分别画出各个函数的图象，由单调函数图象特征可知，选项B正确．
故选B．
A．
；B．
；C．
；D．
点评：
本题主要考查函数的单调性的判断和证明，增函数的图象特征，属于基础题．
2．已知函数y=ax和y=﹣
在（0，+∞）上都是减函数，则函数f（x）=bx+a在R上是（ ）
A．
减函数且f（0）＞0
B．
增函数且f（0）＞0
C．
减函数且f（0）＜0
D．
增函数且f（0）＜0
考点：
函数单调性的性质．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由题意，函数y=ax和y=﹣
在（0，+∞）上都是减函数，可知a＜0，b＜0，从而可得结论．
解答：
解：
由题意，函数y=ax和y=﹣
在（0，+∞）上都是减函数，可知a＜0，b＜0．
∴f（x）=bx+a在R上是减函数，且f（0）=a＜0．
故选C．
点评：
本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．对于函数y=f（x），在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则y=f（x）（ ）
A．
一定是增函数
B．
一定是减函数
C．
可能是常数函数
D．
单调性不能确定
考点：
函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
根据函数单调性的定义，在给定区间上任意两个数x1，x2，满足x1＜x2时有f（x1）﹣f（x2）＞0（或＜0），可得f（x）是定义在R上的减（增）函数．而题中是在给定区间上有两个数x1，x2，结合f（x）的单调性即可得到答案．
解答：
解析：
由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．
故选D．
点评：
本题着重考查了函数的基本性质和函数单调性的判断与证明等知识，属于基础题．
4．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（ ）
A．
f（a）＞f（2a）
B．
f（a2）＜f（a）
C．
f（a2+2）＜f（2a）
D．
f（a2+1）＞f（a）
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
由a和2a，a2和a无法确定大小关系，结合函数的单调性判断出A、B错误；由a2+2﹣2a平方后判断出a2+2＞2a，
结合函数的单调性判断出C正确；与判断C一样的方法判断出D错误．
解答：
解：
因为a和2a，a2和a无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A、B错误；
因为a2+2﹣2a=（a﹣1）2+1＞0，所以a2+2＞2a，
又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+2）＜f（2a），故C正确；
因为a2+1﹣a=
+
＞0，所以a2+1＞a，
又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+1）＜f（a），故D错误．
故选C．
点评：
本题查了函数的单调性和二次函数的性质的应用，以及作差法、和配方法比较自变量的大小．
5．下列结论正确的是（ ）
A．
函数y=kx（k为常数，k＜0）在R上是增函数
B．
函数y=x2在R上是增函数
C．
在定义域内为减函数
D．
在（﹣∞，0）为减函数
考点：
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专题：
证明题．
分析：
本题中四个选项中的函数分别为一次函数、二次函数、反比例函数，利用相关函数的性质逐一判断其单调性，以判断正确选项即可．
解答：
解：
对于选项A，y=kx（k为常数，k＜0）在R上是减函数，故A不对
对于选项B，函数y=x2在R上是先减后增的函数，故B不对
对于选项C，
是一个反比例函数，在区间（﹣∞，0）为减函数，在（0，+∞）为减函数，在R上没有单调性，故C不对
对于选项D，
在（﹣∞，0）为减函数是正确的
故选D
点评：
本题考点是函数单调性的判断与证明，分别考查了一次函数、二次函数、反比例函数的单调性，对于基础函数的单调性应好好掌握其图象形状及图象所表现出来的函数的性质．
6．已知定义在R上的增函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，x1，x2，x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（ ）
A．
一定大于0
B．
一定小0
C．
等于0
D．
正负都有可能
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
由题意判断出函数的奇偶性，由x1+x2＞0移向得x1＞﹣x2，再结合函数的单调性得f（x1）+f（x2）＞0，利用类比推理得f（x1）+f（x3）＞0．f（x2）+f（x3）＞0，三个式子相加后判断符号即可．
解答：
解：
∵f（﹣x）+f（x）=0，∴f（x）定义在R上的奇函数，
∵奇函数f（x）是定义在R上的增函数，且x1+x2＞0，
∴x1＞﹣x2，则f（x1）＞f（﹣x2），
即f（x1）＞﹣f（x2），则f（x1）+f（x2）＞0．
同理可得f（x1）+f（x3）＞0．f（x2）+f（x3）＞0．
∴f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0．
选A．
点评：
本题考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用，以及类比推理的应用．
7．设函数f（x）=
，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是（ ）
A．
（﹣∞，0]
B．
[0，1）
C．
[1，+∞）
D．
[﹣1，0]
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
由题意求出g（x）的解析式，再由二次函数的图象画出函数的图象，根据图象写出减区间．
解答：
解：
由题意得，
，
函数的图象如图所示，
其递减区间是[0，1）．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的图象及性质，考查了作图能力．
二、填空题
8．如图为y=f（x）的图象，则它的单调递减区间是 （﹣2，1）和（3，+∞） ．
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
由单调性定义可得函数的单调递减区间．
解答：
解：
由单调性定义可得，函数的单调递减区间是（﹣2，1）和（3，+∞）
故答案为：
（﹣2，1）和（3，+∞）
点评：
本题考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
9．若f（x）是R上的增函数，且f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（3，3），则不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是 （﹣1，2） ．
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（3，3），可得﹣1＜f（x+1）＜3等价于f（0）＜f（x+1）＜f（3），根据单调性，即可得到结论．
解答：
解：
由题意可知f（0）=﹣1，f（3）=3．
∴﹣1＜f（x+1）＜3等价于f（0）＜f（x+1）＜f（3）
又∵f（x）是R上的增函数
∴0＜x+1＜3，∴﹣1＜x＜2
即不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是（﹣1，2）．
故答案为：
（﹣1，2）
点评：
本题考查函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．
10．若函数y=
在区间（0，+∞）上是减少的，则实数k的取值范围是 （﹣1，+∞） ．
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用函数y=
在区间（0，+∞）上是减少的，可得1+k＞0，从而可求实数k的取值范围．
解答：
解：
因为函数y=
在区间（0，+∞）上是减少的，所以1+k＞0，解得k＞﹣1．
故答案为：
（﹣1，+∞）
点评：
本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．函数f（x）=4﹣
在（0，+∞）上为 增 函数（填“增”或“减”）．
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用函数的单调性的定义可判断f（x）=4﹣
在（0，+∞）上是增函数．
解答：
解析：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）=4﹣
﹣4+
=
．
因为x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）=
＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）=4﹣
在（0，+∞）上是增函数．
故答案：
增．
点评：
本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题．
12．已知函数f（x）=
在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 0＜a≤1 ．
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
由解析式和单调性得，分别求出函数在各个范围的函数值的范围，最后得a＞0，且2a﹣1≤a，求出a的范围．
解答：
解：
当x≥0时，f（x）=x+a在[0，+∞）上是递增的，∴f（x）≥f（0）=a；
当x＜0时，由f（x）=ax+2a﹣1在（﹣∞，0）上也是递增的知，a＞0，且f（x）＜2a﹣1．
又∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴2a﹣1≤a，解得a≤1．
综上，0＜a≤1．
故答案为：
0＜a≤1．
点评：
本题分段函数的单调性，以及函数单调性的定义的应用，属于中档题．
三、解答题
13．证明函数f（x）=
在（﹣1，+∞）上是增函数．
考点：
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专题：
函数的性质及应用．
分析：
设x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，化简f（x1）﹣f（x2）的解析式为
，小于零，从而得出结论．
解答：
证明：
设x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=
．
∵x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，1+x1＞0，1+x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
故f（x）=
在（﹣1，+∞）上是增函数．
点评：
本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题．
14．讨论函数f（x）=
（a＞0）在x∈（﹣1，1）上的单调性．
考点：
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分析：
根据函数单调性的定义讨论函数的单调性，是必须掌握的基本方法．
解答：
解：
设﹣1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=
=
．
∵﹣1＜x1＜x2＜1，
∴x2﹣x1＞0，x1x2+1＞0，（x12﹣1）（x22﹣1）＞0．又a＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数．
点评：
证明函数单调性的步骤：
1、取值：
2、作差变形：
变形的常用方法：
因式分解、配方、有理化等；3、定号；4、下结论：
由定义得出函数的单调性．
15．已知函数f（x）=
，x∈[3，7]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
考点：
函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）函数f（x）在区间[3，7]内单调递减，根据取值、作差、变形定号、下结论的步骤，可得结论；
（2）根据函数的单调性，即可得到结论．
解答：
解：
（1）函数f（x）在区间[3，7]内单调递减，证明如下：
在[3，7]上任意取两个数x1和x2，且设x1＞x2，
∵f（x1）=
，f（x2）=
，
∴f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=
．
∵x1，x2∈[3，7]，x1＞x2，
∴x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，x2﹣x1＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）=
＜0．
即f（x1）＜f（x2），由单调函数的定义可知，函数f（x）为[3，7]上的减函数．
（2）由单调函数的定义可得f（x）max=f（3）=4，f（x）min=f（7）=
．
点评：
本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
参与本试卷答题和审题的老师有：
minqi5；xintrl；刘长柏；caoqz；gongjy；yhx01248（排名不分先后）
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2014年10月2日
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