平面向量教案.docx
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平面向量教案
第二章平面向量
2.1.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1.2向量的几何表示
教学目标:
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：
理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点：
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系教学思路:
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问:
猫能否追到老鼠？
（画图）结论：
猫的速度再快也没用，因为方向错了分析：
老鼠逃窜的路线AC猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量
引言：
请同学指出哪些量既有大小又有方向？
哪些量只有大小没有方向?
、新课学习:
）向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫向量
）请同学阅读课本后回答:
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？
分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？
长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？
单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点0,这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
B
（终点）
1用有向线段表示;
2
A（起点）
用字母b：
（黑体，印刷用）等表示;
3用有向线段的起点与终点字母：
AB;
4向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作|AB|.
3.
起点、方向、
有向线段：
具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素:
长度.
向量与有向线段的区别:
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同,
则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念:
1
长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的注意0与0的含义与书写区别.
2长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小
5、平行向量定义:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：
（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量a、b、c平
行，记作a//b//c。
6、巩固练习：
P77练习1、2、3习题A1
2.1.3相等向量和共线向量
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明：
（1）向量a与b相等，记作a=b;
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线
••・・段的起点无关.
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与
有向线段的起点无关）..
说明：
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1书本76页例2
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
（不一定）
0B、
例3如图，设0是正六边形ABCDE的中心，分别写出图中与向量OA、0C相等的向量.
变式一：
与向量长度相等的向量有多少个？
（11个）
变式二：
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
（存在）
变式三：
与向量共线的向量有哪些？
（Cb,d0,FE）覽——犬
课堂练习：
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
1向量AB与CD是共线向量，则ABCD四点必在一直线上；
2单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；
4四边形ABC兎平行四边形当且仅当AB=DC
5一个向量方向不确定当且仅当模为0;
6共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
2.书本77页练习
三、课后作业：
书本77页习题2.1第2、3、5题
第2课时
§2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量
教学难点：
理解向量加法的定义.
教学思路：
、设置情景:
1、复习：
向量的定义以及有关概念
强调：
向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因
此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它
的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置：
ABC
（1）某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和：
ABBCAC
（2）若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和：
ABBCAC
（3）某车从A到B,再从B改变方向到C,
则两次的位移和：
Abbcac
（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和:
二、探索研究:
C
1、向量的加法：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、b.在平面任取一点A,
作AB=a,
BC=b，贝y向量AC
叫做a与b的和，记作a+b
即a+b
AB
BCAC,疋：
a+0=0+a
B
a-
a+b
探究：
（1）两相向量的和仍是一个向量;
（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|v|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，贝Sa+b、a、b同向，..o、.aA
且|a+b|=i訂+ib|，当a与b反向时，若iai>ib|,\\b
则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a卜|b|；若"La4B
|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
（4）“向量平移”（自由向量）：
使前一个向量的终点为后一个向量的起点,
可以推广到n个向量连加
3.例1、已知向量a、b，求作向量a+b
作法：
在平面取一点，作OAaABb，则OBab.
4.加法的交换律和平行四边形法则
问题：
上题中b+a的结果与a+b是否相同？
验证结果相同
从而得到：
1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
2）向量加法的交换律：
a+b=b+a
5.向量加法的结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）
证：
如图：
使ABa,BCb,CDc
贝卩（a+b）+c=ACCDAD,a+（b+c）=ABBDAD
「•（a+b）+c=a+（b+c）
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
三、应用举例：
例2（P83）略练习：
P84
四、小结
1、向量加法的几何意义；
2、交换律和结合律；
3、注意：
|a+b|<|a|+|b|，当且仅当方向相同时取等号
五、课后作业：
P91第1、2、3题
第3课时
§222向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1.了解相反向量的概念；
2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义;
3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间
可以相互转化的辩证思想
教学重点：
向量减法的概念和向量减法的作图法
复习：
向量加法的法则：
三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律:
例：
在四边形中，CBBABA—
解:
CBBABACBBAADCD
、提出课题：
向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法
（1）“相反向量”的定义：
与a长度相同、方向相反的向量.记作a
（2）规定：
零向量的相反向量仍是零向量.（a）=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+（a）=0
如果a、b互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0
（3）向量减法的定义：
向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：
ab=a+（b）求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作ab
求作差向量：
已知向量a、b,求作向量a
作法：
在平面取一点Q
作qa=a,ab=b,贝yba=ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：
1ab表示ab.强调：
差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+（b）
显然，此法作图较繁，但最后作图可统
a_b_ab.
QBAb'QbA
二、例题:
解：
在平面上取一点Q,作QA=a,QB=b,QC=c,QD=d,
AC=a+b,DB=ABAD
对角线方向不同）
变式三：
a+b与ab可能是相当向量吗？
（不可能,
练习：
P87
三、作业：
P91第4、6、7、8题
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
§231平面向量基本定理
教学目的:
（1）了解平面向量基本定理;
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：
平面向量基本定理.
教学难点：
平面向量基本定理的理解与应用.
教学过程：
一、复习引入：
1.实数与向量的积：
实数入与向量a的积是一个向量，记作：
入a
（1）|入a|=|入||a|；
（2）入＞0时入a与a方向相同；入＜0时入a与a方向相反;入=0时入a=0
2.运算定律
结合律：
入（［1a）=（入a）a;分配律：
（入+^）a=入a+口a,入（a+b）=入
a+入b
3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：
有且只有一个非零实数入，使b二入a.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：
如果e,e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量a，有且只有一对实数入1,入2使a二入y+入2.
探究:
（1）我们把不共线向量ei、e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底；
（2）基底不惟一，关键是不共线；
（3）由定理可将任一向量a在给出基底ei、e2的条件下进行分解；
（4）基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a,q,e?
唯一确定的数量
三、讲解例：
例4
（1）如图，OA,OB不共线，AP=tAB（tR）用OA,OB表示OP.
1.设8、e2是同一平面的两个向量，则有（）
A.8、e2一定平行
Bei、e2的模相等
C.同一平面的任一向量a都有a二入ei+卩e2（入、卩€R）
D.若ei、e2不共线，则同一平面的任一向量a都有a二入ei+ue2（入、u€R）
2.已知矢量a=ei-2e2,b=2ei+e2，其中ei、e2不共线，则a+b与c=6ei-2e2的
关系
A.不共线B共线C.相等D.无法确定
3.已知向量ei、e2不共线，实数x、y满足（3x-4y）ei+（2x-3y）e2=6ei+3e2,则x-y
的值等于（）
A.3B-3C.0D.2
4.已知a、b不共线，且c二入G+入2b（入1,入R）,若c与b共线，贝卩入1二.
5.已知入1>0,入2>0,e〔、e2是一组基底，且a=Xe+入2e2,贝卩a与6,
a与e2（填共线或不共线）.
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：
§232—§233平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的:
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：
平面向量的坐标运算
教学难点：
向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1.平面向量基本定理：
如果e；,e；是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量a，有且只有一对实数入1,入2使a二入荷+入2石
（1）我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底；
（2）基底不惟一，关键是不共线；
（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1>e2的条件下进行分解；
（4）基底给定时，分解形式惟一.入1，入2是被a,©,e2唯一确定的数量
二、讲解新课：
1.平面向量的坐标表示：
如图，在直角坐标系，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，G2式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为（x,y）.
特别地，i（1,0）,j（0,1）,0（0,0）.
在直角坐标平面，以原点0为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。
设OAxiyj，则向量0A的坐标（x,y）就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y）
也就是向量0A的坐标.因此，在平面直角坐标系，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2.平面向量的坐标运算
（1）若a（x1,y1）,b（X2,y2），贝Sab（捲x?
%y?
）,ab（捲x?
%y?
）
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则ab（xjyj）（x?
iy?
j）（人x?
）i厲y?
）j
即ab（X1X2,y1y?
），同理可得ab（人x?
%y?
）
（2）若A（x1，y1）,B（x?
y?
），则ABx?
y?
y
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐
标减去始点的坐标.
ab=ob0A=（x2,y2）（xi,yi）=（x2xi,y2y1）
（3）若a（x,y）和实数，贝Sa（x,y）.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
设基底为i、j，贝Sa（xiyj）xiyj，即a（x,y）
三、讲解例：
例1已知Agyj,Bgy2），求aB的坐标.
b,3a+4b的坐标.
例2已知a=（2,i）,b=（-3,4），求1+b,
例3已知平面上三点的坐标分别为A（2,1）,B（1,3）,C（3,4），求点
D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：
当平行四边形为ABCD寸，由ABDC得D=（2,2）
6,0）
四、课堂练习：
当平行四边形为ACDB寸，得D2=（4，6）当平行四边形为DACB寸，得D=（
3.
已知：
四点A（5,1）,B（3,4）,C（1,3）,D（5,-3）,求证：
四
边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：
平面向量的坐标运算
教学难点：
向量的坐标表示的理解及运算的准确性
教学过程:
•町
a|
I
一、复习引入：
产|i
-J-?
~=7
1.平面向量的坐标表示
分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量
a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj
把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a（x,y）
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i（1,0）,
j（0,1）,0（0,0）.
2.平面向量的坐标运算
若a（x1,y1），b（X2,y?
），
贝Sab（X1X2，y1y?
），ab（为x?
%y?
），a（x,y）.
若A（x1，y1）,B（X2,y2），则ABx?
y
二、讲解新课：
a//b（b0）的充要条件是X1y2-X20=0
设a=（X1,y1）,b=（X2,y2）其中ba.
由a二入b得，（x1,y1）=入（x?
y2）X1X?
消去入，X1y?
-x?
y1=0
y1y?
探究：
（1）消去入时不能两式相除，Ty1,y?
有可能为0,Tb0二x?
y?
中至少有一个不为0
（2）
充要条件不能写成上仏tX1,x?
有可能为0
二、讲解例:
例1已知a=（4,2）,b=（6,y），且a//b，求y.
例2已知A（-1,-1）,B（1,3）,C（?
5），试判断A,B,C三点之间的位
置关系.
例3设点P是线段RP2上的一点，Pi、P2的坐标分别是（xi,yi）,（X2,y2）.
（1）当点P是线段PlP2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量a=（-1，x）与b=（-x，2）共线且方向相同，求x
解：
Ta=（-1,x）与b=（-x,2）共线二（-1）X2-x?
（-x）=O
二x=±2Ta与b方向相同x=,2
例5已知A（-1,-1）,B（1,3）,C（1,5）,D（2,7），向量AB与CD平行
吗？
直线AB与平行于直线CD吗？
解：
TAb=（1-（-1）,3-（-1））=（2,4）,Cd=（2-1,7-5）=（1,2）
AC与AB不平行
四、课堂练习：
3.若AB=i+2j,DC=（3-x）i+（4-y）j（其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相
同且为单位向量）.AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）
A.1，2B2，2C.3，2D.2，4
4.已知a=（4,2）,b=（6,y），且aIIb,则y=
5.已知a=（1,2）,b=（x,1），若a+2b与2a-b平行，则x的值为.
6.已知口ABCD四个顶点的坐标为A（5,7）,B（3,x）,Q2,3）,Q4,x），则
五、课后作业
§2.4平面向量的数量积
平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：
平面向量的数量积定义
教学难点：
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：
一、复习引入:
1.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：
有且只有一个非零
实数入，使b二入a.
2.平面向量基本定理：
如果ei,色是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量a，有且只有一对实数入1,入2使a二入恬+入2&
3.平面向量的坐标表示
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj
把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a（x,y）
4.平面向量的坐标运算
若a（xi，yj,b（X2,y2）,贝Sab（洛x?
力y?
）,ab（捲X2,yiy?
）,
a（x,y）.
若A（x「yi）,B（X2,y2），贝SABX2Xi,y2y
5.a//b（b0）的充要条件是xiy2-X2yi=0
二、讲解新课：
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则/AOE=B（0<6叫a与b的夹角.
说明：
（1）当e=0时,
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.围0<<180
2.平面向量数量积（积）的定义：
已知两个非零向量a与b,它们的夹角是e,
则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab,即有ab=|a||b|cos,
（0探究：
两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为积，写成ab；今后要学到两个向量的外积axb,而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“x”代替.
（3）在实数中，若a0,且ab=0,则b=0；但是在数量积中，若a0,且ab=0,不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c（b0），贝卩ab=bca=c.但是ab=bc+a=c
如右图：
ab=|a||b|cos=|b||OA|,be=|b||c|cos=|b||OA|
ab=bc但ac
（5）在实数中，有（ab）c=a（bc），但是（ab）ca（bc）
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
3.
“投影”的概念：
作图
定义：
|b|c
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