最新圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲优秀名师资料.docx

最新圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲优秀名师资料.docx

《最新圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲优秀名师资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲优秀名师资料.docx（29页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

最新圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲优秀名师资料

圆锥曲线_椭圆_双曲线_抛物线_知识点总结_例题习题精讲

.

椭圆一、椭圆的定义

FF1、椭圆的第一定义:

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数P12

，这个动点的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作P（PF，PF,2a,FF）1212

椭圆的焦距。

FF注意:

若，则动点的轨迹为线段;P（PF，PF,FF）121212

若，则动点的轨迹无图形。

P（PF，PF,FF）1212

二、椭圆的方程

1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）

22xy222，,1

（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:

，其中;x（a,b,0）c,a,b22ab

22yx222，,1

（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:

，其中;（a,b,0）yc,a,b22ab

22xy22，,12、两种标准方程可用一般形式表示:

或者mx+ny=1mn

22xy，,1三、椭圆的性质（以为例）（a,b,0）22ab

1、对称性:

22xy，,1对于椭圆标准方程（a,b,0）:

是以x轴、轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对y22ab

称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围:

x,ay,,b椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，x,,a

.

.

y,b。

3、顶点:

?

椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

22xy，,1A（,a,0）?

椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，（a,b,0）122ab

A（a,0），B（0,,b），B（0,b）。

212

AA,2aBB,2bAABB?

线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。

和分别叫做椭圆ba12121212

的长半轴长和短半轴长。

4、离心率:

2cce,,?

椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

2aa?

因为，所以e的取值范围是。

（a,c,0）（0,e,1）

22b,a,ce越接近1，则c就越接近，从而越小，因此椭圆越扁;a

ecb反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

22a,bc,0当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

x，y,a?

离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

22xy，,1注意:

椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）:

22ab

2PFPFa212,,e（PF，PF,2a）PM，PM,（）1212cPMPM12

5、椭圆的第二定义:

平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0,e,1）的点的轨迹为椭圆

|PF|,e（）。

d

PFPF12,,e即:

到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。

PMPM12.

.

222axy,,x?

焦点在x轴上:

（a,b,0）准线方程:

，,122cab

222ayx?

焦点在y轴上:

（a,b,0）准线方程:

,y，,122cab

6、椭圆的内外部

需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精

讲（详细解答）”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

2222xyxy00,，,1，,,,1（0）ab

（1）点在椭圆的内部Pxy（,）220022abab

2222xyxy00,，,1，,,,1（0）ab

（2）点在椭圆的外部Pxy（,）220022abab

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系

2222xyyx标准方程，,1，,1（a,b,0）（a,b,0）2222abab

图形

F（,c,0）F（c,0）F（0,,c）F（0,c），，焦点1212

FF,2cFF,2c焦距1212

x,ay,bx,by,a，，范围

关于x轴、轴和原点对称y对称性

（,a,0）（0,,b）（0,,a）（,b,0），，顶点

性质

2a2b轴长长轴长=，短轴长=

ce,（0,e,1）离心率a

22aa准线方程,,,,yxcc

PF,a，exPF,a,exPF,a，eyPF,a,ey，，焦半径10201020

.

.

五、其他结论

需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲（详细解答）”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

22xyxxyy00、若在椭圆，,1上，则过的椭圆的切线方程是1，,1Pxy（,）P00002222abab

22xy2、若在椭圆，,1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线Pxy（,）121200022ab

xxyy00方程是，,122ab

22xy，,13、椭圆（a,b,0）的左右焦点分别为F，F，点P为椭圆上任意一点，则椭圆，,FPF,121222ab

2Sb,tan的焦点角形的面积为,FPF122

22xy，,14、椭圆（a,b,0）的焦半径公式:

（,||MFaex,，||MFaex,,Fc（,0）,1020122ab

）Fc（,0）Mxy（,）200

5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF?

NF。

6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M，1212AP和AQ交于点N，则MF?

NF。

21

222bxy，,1kk,,,7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即（x,y）OMAB00222aba

2bx0K,,。

AB2ay0

2222xxyyxyxy0000，,1，,，8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是Pxy（,）000222222ababab

2222xxyyxyxy00，,1，,，9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是Pxy（,）000222222ababab

.

.

双曲线一、双曲线的定义

1、第一定义:

到两个定点F与F的距离之差的绝对值等于定长（,|FF|）的点的轨迹1212

PF,PF,2a,FF（（为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点:

（1）距离之差a1212

的绝对值。

（2）2a,|FF|。

12

当|MF|,|MF|=2a时，曲线仅表示焦点F所对应的一支;122

当|MF|,|MF|=,2a时，曲线仅表示焦点F所对应的一支;121

当2a=|FF|时，轨迹是一直线上以F、F为端点向外的两条射线;1212

当2a,|FF|时，动点轨迹不存在。

12

2、第二定义:

动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e（e,1）时，这个动点的轨迹是双曲

线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

222FF二、双曲线的标准方程（，其中||=2c）b,c,a12需要更多的高考数学复习资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精

讲（详细解答）”或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线

2、直线与双曲线

四、双曲线与渐近线的关系

五、双曲线与切线方程

.

.

六、双曲线的性质

七、弦长公式

1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，ykxb,，xx,12

22,2ABxxyy,,，,（）（）2221212ABkxxkxxxxk,，,,，，,,，1141则，，，，121212||a

112若分别为A、B的纵坐标，则。

AByyyyyy,，,,，，,114yy,，，1212121222kk

2b2AB、通径的定义:

过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长||,。

2a

21，,kyy3、若弦AB所在直线方程设为，则,。

xkyb,，AB12

4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式

九、等轴双曲线

十、共轭双曲线

.

.

抛物线一、抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F叫做抛物

线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

二、抛物线的性质

三、相关定义

1、通径:

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦HH称为通径;通径:

|HH|=2P1212

122、弦长公式:

||1||1||ABkxxyy,，,,，,12122k

2AxyBxy（,）,（,）3、焦点弦:

过抛物线焦点的弦，若，则（0）p,FABypx,21122

2pp2xx,yy,

（1）x+，

（2），,p||AF,0121224

AB,p，（x，x）x，x,2xx,p（3）弦长,，即当x=x时,通径最短为2p12121212

2pAB（4）若AB的倾斜角为θ，则=2sin,

211（5）+=PAFBF

四、点、直线与抛物线的位置关系

需要详细的抛物线的资料，请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲（详

细解答）”

.

.

圆锥曲线与方程一、圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常l数e（e,0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线称为准线，正常数e称为离心l率。

当0,e,1时，轨迹为椭圆;当e=1时，轨迹为抛物线;当e,1时，轨迹为双曲线。

ce,0特别注意:

当时，轨迹为圆（e,，当时）。

c,0,a,ba

二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

三、曲线与方程

四、坐标变换

1、坐标变换:

2、坐标轴的平移:

3、中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程

2【例】以抛物线y,83x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为x,3y,0___________________.

解:

42222？

（23）？

,9F抛物线y,83x的焦点为（23,0），设双曲线方程为，，双x,3y,,3

22xy,,1曲线方程为93

22yx,【例】双曲线=1（b?

N）的两个焦点F、F，P为双曲线上一点，|OP|,5,|PF|,|FF|,|PF|成等比数12112224b

2列，则b=_________。

222222222解:

设F（,c,0）、F（c,0）、P（x,y），则|PF|+|PF|=2（|PO|+|FO|）,2（5+c），即|PF|+|PF|,50+2c，1212112

222又?

|PF|+|PF|=（|PF|,|PF|）+2|PF|?

|PF|，依双曲线定义，有|PF|,|PF|=4，12121212

1722222依已知条件有|PF|?

|PF|=|FF|=4c?

16+8c,50+2c，?

c,,12123

5172222又?

c=4+b,，?

b,，?

b=1。

33

22yxm,，【例】当m取何值时，直线l:

与椭圆相切，相交，相离,916144xy，,

yxm,，„„„?

22,解:

916144xy，,„?

2222?

代入?

得化简得2532161440xmxm，，,,916（）144xxm，，,

.

.

222,,,，,,,，（32）425（16144）57614400mmm

当即时，直线与椭圆相切;,,0,m,,5l

当，即时，直线与椭圆相交;,,0,,,55m

当，即或时，直线与椭圆相离。

,0m,,5m,5

【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最

410大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M和M，且|MM|=，试求椭12123圆的方程。

222解:

|MF|=a+c，|MF|=a,c，则（a+c）（a,c）=a,c=b，maxmin

22yx2，,1?

b=4，设椭圆方程为?

24a

设过M和M的直线方程为y=,x+m?

12

222222将?

代入?

得:

（4+a）x,2amx+am,4a=0?

设M（x，y）、M（x，y），MM的中点为（x，y），1112221200

2am4m1则x=（x+x）=，y=,x+m=。

012002224，a4，a

2am4m,代入y=x，得，224，a4，a

24104a222（）4由于a,4，?

m=0，?

由?

知x+x=0，xx=,，又|MM|=，x，x,xx,1212121212234，a

22xy2代入x+x，xx可解a=5，故所求椭圆方程为:

=1。

，121254

【例】某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长。

解:

以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为（,10，,4）、（10，,4）

2设抛物线方程为x=,2py，将A点坐标代入，得100=,2p×（,4），解得p=12。

5，

2于是抛物线方程为x=,25y。

由题意知E点坐标为（2，,4），E′点横坐标也为2，将2代入得y=,0。

16，从而|EE′|=（,0.16）,（,.

.4）=3.84。

故最长支柱长应为3.84米。

【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP?

OQ，

10|PQ|=，求椭圆方程。

2

22解:

设椭圆方程为mx+ny=1（m,0，n,0），P（x，y），Q（x，y）1122

y,x，1,,22由得（m+n）x+2nx+n,1=0，Δ=4n,4（m+n）（n,1）,0，即m+n,mn,0，,22,mx，ny,1,

2（n,1）2n由OP?

OQ，所以xx+yy=0，即2xx+（x+x）+1=0，?

+1=0，?

m+n=2?

12121212m，nm,n

4（m，n,mn）1032又2，将m+n=2，代入得m?

n=?

（）4m，n2

3131由?

、?

式得m=，n=或m=，n=2222

2x331222故椭圆方程为+y=1或x+y=1。

2222

2220xy22，,121【例】已知圆C的方程为，，，，，椭圆C的方程为，C的离心率x,，y,,ab,,0，，122223ab

2为，如果C与C相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C的直径，求直线AB的方程和椭圆C的方12122

程。

y

A

C1

FFO12xB

22xy2c22222，,1.解:

由设椭圆方程为e,,得,,a,2c,b,c.222a22bb设A（x,y）.B（x,y）.由圆心为（2,1）.？

x，x,4,y，y,2.11221212

22222222xyxyx,xy,y11221212，,1,，,1,，,0.又两式相减，得2222222bb2bb2bb

（x，x）（x,x），2（y，y）（y,y）,0,12121212

y,y12x，x,4.y，y,2.得,,1.？

直线AB的方程为y,1,,（x,2）..y,,x，3又即1212x,x12

22xy22y,,x，3代入，,1,得将3x,12x，18,2b,0.222bb

.

.

2022AB,2x,x,2（x，x）,4xx,.？

直线AB与椭圆C相交.？

,24b,72,0.由得21212123

224b,72202,,.33

22xy2故所有椭圆方程解得，,1.b,8.168

2【例】过点（1，0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线2

1x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。

y=2

y

1y=xB2

FxFo21

A

221a,bc222222,解法一:

由e=，得，从而a=2b，c=b。

设椭圆方程为x+2y=2b，A（x，y），B（x，,11222a2a

y）在椭圆上。

2

y,yx，x22222222221212,,.则x+2y=2b，x+2y=2b，两式相减得，（x,x）+2（y,y）=0，11221212x,xy，y2（）1212

xx1100设AB中点为（x，y），则k=,，又（x，y）在直线y=x上，y=x，于是,=,1，k=,1，00AB0000AB2y222y00

y,,1,,x,1,,,x,b则解得设l的方程为y=,x+1。

右焦点（b，0）关于l的对称点设为（x′，y′），,,,,,y,1,byx，b,,,,，1,22,

992222由点（1，1,b）在椭圆上，得1+2（1,b）=2b，b=,a,。

168

28x162?

所求椭圆C的方程为，y=1，l的方程为y=,x+1。

99

2221ca,b22222,,得,解法二:

由e=，从而a=2b，c=b。

设椭圆C的方程为x+2y=2b，l的方程为y=k（x222aa

1），

22222将l的方程代入C的方程，得（1+2k）x,4kx+2k,2b=0，

24k2k则x+x=，y+y=k（x,1）+k（x,1）=k（x+x）,2k=,。

12121212221，2k1，2k

2x，xy，y,k12k11212,,,直线l:

y=x过AB的中点（），则，解得k=0，或k=,1。

2222221，2k1，2k

.

.

若k=0，则l的方程为y=0，焦点F（c，0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0

舍去，从而k=,1，直线l的方程为y=,（x,1），即y=,x+1，以下同解法一。

22xy解法三:

设椭圆方程为，,1（a,b,0）

（1）22ab

1直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。

故可设直线y,x过AB2

l的方程为y,k（x,1）

（2）

2222222222（ka，b）x,2kax，ak,ab,0（3）

（2）代入

（1）消y整理得:

222ka知:

x，x,，又y，y,k（x，x）,2k代入上式得:

设A（x，y）B（x，y）1212121122222ka，b

22222111kka，bb22？

k,k,,？

k,k,,，，，k,,又e,222222x，x22kaka12

2222（a,c）2b2？

k,,,,,,2，2e,,1，，？

直线l的方程为y,1,x22aa

222222方程（3）化为3x,4x，2,2b,0,,16,24（1,b）,8（3b,1）,0，，此时a,2b

32222222？

b,，，，又c,a,b,b椭圆C的方程可写成:

x，2y,2b（4）3

，，？

右焦点F（b，0）设点F关于直线l的对称点（x，y）00

y,0,1,x,b,0则，,x,1，y,1,b,00yx，b,00,1,,22,

332，？

b,,，又点（1，1,b）在椭圆上，代入（4）得:

1，2（1,b）,2b439922？

b,a,，168

22yx所以所求的椭圆方程为:

，,199

816

27【例】如图，已知?

POP的面积为，P为线段PP的一个三等分点，求以直线OP、OP为渐近线且1212124

13过点P的离心率为的双曲线方程。

2

.

.

y2P

P

ox

P1

解:

以O为原点，?

POP的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。

12

222ycb13xb3222,,1，（）,（）设双曲线方程为=1（a,0，b,0），由e=，得。

222a2a2aba

33?

两渐近线OP、OP方程分别为y=x和y=,x1222

33设点P（x，x），P（x，,x）（x,0，x,0），1112221222

22x，xx,xPP11212则由点P分所成的比λ==2，得P点坐标为（,），PP12PP322

2222（x，2x）（x,2x）4yx1212,,又点P在双曲线=1上，所以=1，22229a9aa9a

2222即（x+2x）,（x,2x）=9a，整理得8xx=9a?

121212

9139132222|OP|,x，x,x,|OP|,x，x,x又11112224242

32，2tanPOx1212sinPOP,,,1229131，tanPOx11，4

11131227？

S,|OP|,|OP|,sinPOP,,xx,,,,POP12121212224134

9即xx=?

122

22yx22由?

、?

得a=4，b=9。

故双曲线方程为=1。

49

22yx222，,1（a,b,0）【例】过椭圆C:

上一动点P引圆O:

x+y=b的两条切线PA、PB，A、B为切点，22ab

直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。

（1）已知P点坐标为（x，y）并且xy?

0，试求直线AB方程;0000

2225ab，,

（2）若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程;（3）椭圆C上是否存在点P，由P2216||||OMON向圆O所引两条切线互相垂直,若存在，请求出存在的条件;若不存在，请说明理由。

.

.

22解:

（1）设A（x，y），B（x，y）切线PA:

xx，yy,b，PB:

xx，yy,b11221122

22xx，yy,bxx，yy,b?

P点在切线PA、PB上，?

10102020

2xx，yy,b（xy,0）?

直线AB的方程为0000

22bb

（2）在直线AB方程中，令y=0，则M（，0）;令x=0，则N（0，）xy00

222222yx25abaa00，,（，）,,?

?

2222216b||||OMONbab2

22?

2b=8?

b=4代入?

得a=25，b=16

22yx?

椭圆C方程:

，,1（xy,0）2516

（3）假设存在点P（x，y）满足PA?

PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，00

222x，y,2b四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|?

?

200

222222ax，by,ab又?

P点在椭圆C上?

?

00

22222b（a,2b）ab2222,,y,由?

?

知x?

a>b>0?

a,b>0002222a,ba,b

22

（1）当a,2b>0，即a>b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直;2

22

（2）当a,2b<0，即b

【例】已知点B（,1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|PC|,|BC|,PB,CB.

（1）求点P的轨迹C对应的方程;

（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?

AE，判断:

直线DE

是否过定点,试证明你的结论。

（3）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k、k满12

足k?

k=2。

求证:

直线DE过定点，并求出这个定点。

12

222解:

（1）设P（x,y）代入|PC|,|BC|,PB,CB得（x,1），y,1，x,化简得y,4x..

.

2

（2）将A（m,2）代入y,4x得m,1,？

点A的坐标为（1,2）.

4822设直线AD的方程为y,2,k（x,1）代入y,4x,得y,y，,4,0,kk

444由y,2可得y,,2,？

D（，1,,2）.122kkk

122同理可设直线AE