机械制图2点线面的投影.docx

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机械制图2点线面的投影

第二章点、直线和平面的投影

我们知道，点、直线和平面是形成立体的基本几何元素，因此，在学习形体的投影之前，我们首先要掌握这些几何元素的投影规律。

§2-1投影的基本知识

一．投影的形成

人们在投影现象的基础上，经过科学的抽象：

将太阳光或灯光抽象为投射中心，将光线抽象为投射线，将地面抽象为投影面，于是就形成了投影方法。

●投影法：

投射线通过物体向预定的投影面进行投影而得到图形的方法。

●投影的三要素：

投射线、形体、投影面

●三要素之间关系：

人（投射线）——物——面

二．投影法的分类

1．中心投影法：

投射线从投影中心出发的投影法。

（投影线交于一点）

缺点：

随着物体和投影面之间距离的改变，其投影图的大小会改

变；随着投射角度不同，其投影图的形状也有所变化。

因而不能反映物体的真实形状和大小，不适合绘制机械图样。

特点：

立体感较强，建筑上用作透视投影，绘制建筑物的效果图。

2．平行投影法：

投射线互相平行

　⑴斜投影法——投射线　投影面

缺点：

投射角度不同，图形形状变化。

特点：

立体感较强，用作斜轴测投影。

　⑵正投影法——投射线⊥投影面

特点：

能够反映形体的真实形状和大小，工程上多。

应用：

工程上应用的正投影法有正投影图——绘制机械图样

正轴测投影图——绘制立体图

标高投影图——表达地形图

三．正投影的基本性质

a）显实性——线或面平行于投影面

b）积聚性——线或面垂直于投影面

c）类似性——线或面倾斜于投影面

d）

平行性——空间互相平行的直线，其同面投影依然保持平行。

四．多面正投影法

当投影面和投影方向确定时，空间点在该投影

面上的投影是唯一的。

但仅凭一个投影是无法确定

点Ａ的空间位置的。

对于物体来讲是同样道理，只有一个投影图是不能唯一的确定其空间形状的。

我们通常将物体向两个或两个以上互相垂直的投影面进行正投影，然后再按一定的规律把投影面展开成一个平面，便可得到多面正投影图。

多面正投影图具有正投影法的所有性质，并具有良好的度量性,只要物体上的平面或直线与投影面平行，就能反映其实形或实长。

最常见的是三面正投影（三视图）。

§2-2点的投影

点是组成形体的最基本几何元素，在形体中以顶点（交点）的形式存在。

一．点在三投影面体系中的投影

1．

三投影面体系的建立

三个投影面互相垂直（V⊥H⊥W）

{

H——水平面——水平投影面

V——正面——正立投影面

W——侧面——侧立投影面

三个投影轴互相垂直（OX⊥OY⊥OZ）

{

OX——V面与H面的交线，代表长度方向

OY——H面与W面的交线，代表宽度方向

OZ——V面与W面的交线，代表高度方向

2．点在三投影面体系中的投影及三投影面的展开

{

水平投影a——从上向下投影到H面上

正面投影a′——从前向后投影到V面上

侧面投影a″——从左向右投影到W面上

为了画图方便，还需要将三个互相垂直的投影面展开在一个平面上。

3．点的直角坐标和三面投影规律

（1）如果我们把三面投影体系看作空间直角坐标系，则OX、OY、OZ轴为三个坐标轴，O为坐标原点。

则点A的坐标值为：

{

xa=Aa″=aay=a′az=oax

ya=Aa′=aax=a″az=oay

za=Aa=a′ax=a″ay=oaz

●结论一：

点的直角坐标与其三面投影一一对应：

已知点的坐标，可作出该点的三面投影。

已知点的三面投影，可确定该点的坐标值。

●结论二：

根据点的两面投影，可求作出其第三面投影。

●注意：

①展开后的三个投影应保持“长对正、高平齐、宽相

等”的关系。

②书写点的投影字母时，哪个面的投影应书写在哪个投

影面内。

4．特殊位置点的投影

1投影面上的点：

必有一个坐标为零。

2

投影轴上点：

必有两个坐标为零。

三．两点的相对位置

两个点在空间的相对位置关系，是以其中一个点为基准来判定另一点在该点的上或下、左或右、前或后。

判断方法：

{

左右位置由X坐标确定，X值大者居左

前后位置由Y坐标确定，Y值大者居前

上下位置由Z坐标确定，Z值大者居上四．重影点及其可见性

●判断重影点可见性的规则：

上遮下；左遮右；前遮后。

也就是说，对于观察者而言，上方点可见、下方点不可见；左方点可

见、右方点不可见；前方点可见、后方点不可见。

§2-3直线的投影

直线是组成形体的另一基本几何元素，在形体中以棱边的形式存在。

一．直线的投影

直线的投影一般仍为直线；特殊情况下可为一点（积聚投影）。

根据“两点确定一直线”的性质，作直线的投影时，可分别作直线两端点、或直线上任意两点的投影，然后同面投影相连即可。

另外，已知直线上的一点的投影和该直线的方向，也可画出该直线的投影。

二．各类直线及其投影特性

根据直线在空间对投影面的位置不同，直线可分为以下三类：

1．投影面的平行线

（只与一个投影面平行，而与另两个投影面倾斜）

{

水平线（∥H）

正平线（∥V）

侧平线（∥W）

●投影面平行线的特点：

直线上所有点有一个坐标相等。

●特殊情况：

投影面上的直线（一个坐标为零）。

●投影面平行线的投影特性：

（两平对一斜）

●直线与投影面的倾角：

α——与H面夹角β——与V面夹角

γ——与W面夹角

2．投影面的垂直线

（与一个投影面垂直，而与另两个投影面平行）

{

铅垂线（⊥H）

正垂线（⊥V）

侧垂线（⊥W）

●投影面垂直线的特点：

直线上所有点有两个坐标相等。

●特殊情况：

投影轴上的直线。

●

投影面垂直线的投影特性：

（两直对一点）

3．一般位置直线

（对三个投影面都倾斜）

投影特性：

（三斜相对应）

三．直线上的点

直线上的点和直线本身存在着从属性关系：

即直线上点的三面投影应同时属于直线的三面投影。

●结论：

利用“从属性”可以判断点是否在

直线上；还可以求作直线上某点的投影。

例：

判断空间点C是否属于直线AB。

注：

可用方法一：

定比法——点将直线分为两段

可用方法二：

补投影法——分别作线及点的投影

四．两直线的相对位置

1．两直线平行：

平行性、定比性

2．两直线相交：

两直线有一公共点

（三个投影均相交，且交点符合点的投影规律）

3．两直线交叉：

既不平行，也不相交

注：

第4节并入第3节中讲；第5节不讲。

§2-6平面的投影

平面在形体中以表面的形式存在。

一．平面的表达方法

（一）用几何元素表示平面

1．不共线的三个点

2．一直线和线外一点

3．两相交直线

4．两平行直线

5．任意平面几何图形

由于形体是有形而又有限的，因此我们研究的平面多为平面图形。

（二）迹线表示平面

1．平面的迹线——平面与投影面的交线

{

正面迹线—PV

水平迹线—PH

侧面迹线—PW

迹线是属于投影面的直线

2．迹线的投影：

迹线在投影图上的位置形象地反映了平面相对于投影面的空间状况。

二．平面的投影

平面图形的投影一般仍为类似平面图形，特殊情况下平面的投影成一条直线（与投影面垂直）。

作平面的投影图时，只需将该平面图形的各个顶点的三面投影一一做出，然后将各点的同面投影依次连接起来。

三．各类平面及其投影特性

1．投影面的垂直面（两框对一线）

（只垂直于一个投影面，而倾斜于另两个投影面）

铅垂面（⊥H）P68表2-3上

正垂面（⊥V）

侧垂面（⊥W）

2．投影面的平行面（两线对一框）

（平行于一个投影面，而与另两个投影面垂直）

水平面（∥H）P70下

正平面（∥V）

侧平面（∥W）

3．一般位置平面（三框相对应）

（对三个投影面都倾斜）

四．

各类平面的迹线表达

§2-7平面上的直线和点

一．

平面上的直线（应用作辅助线）

几何条件：

1.直线通过平面内的两个

已知点；

2.直线通过平面内的一个

已知点，且平行于平面

内的另一条已知直线。

二．

平面上的点（应用作表面的点）

几何条件：

点在平面内的已知直线上。

●结论：

利用平面内的直线和点的几何

条件，可以在平面内取直线和

点，还可判断直线或点是否在

平面内。

三．平面上的投影面平行线

（既在平面内，又平行于某一投影面）

平面上的正平线其投影既与所在平面的投影有从属关

平面上的水平线系，又具有投影面平行线的投影特性。

平面上的侧平线

§2-8圆的投影

圆是平面的一种具体形式。

（可加在“平面的投影”中讲）

圆的投影投影特性

1.圆在所平行投影面上的投影反映实形。

2.圆在所垂直的投影面上的投影是直线，

其长度等于圆的直径。

3.圆在所倾斜的投影面上的投影是椭圆，

其长轴是圆中平行于这个投影面的直

径的投影，其短轴是圆中与上述直径

相垂直的直径的投影。