备考之相似三角形压轴题一附考点卡片.doc

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备考2017之相似三角形压轴题

（一）（附考点卡片）

1．（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（　　）

A．2﹣ B．+1 C． D．﹣1

2．（2016•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E．

（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；

（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；

（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

3．（2016•江都区二模）如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称．连结HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J．

（1）求证：

△DHB∽△GDC；

（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y，

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．

②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

4．（2012•徐汇区校级模拟）在△OAC中，∠AOC=90°，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°，M、N分别在线段AB、AC上．

（1）填空：

cosC=　　．

（2）如图1，当AM=4，且△AMN与△ABC相似时，△AMN与△ABC的面积比为　　；

（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，△EMN与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

5．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于G，与AC交于H，连接GE并延长交BC于点I，连接HE并延长交BC于点J，连接GJ，HI．

（1）求证：

四边形GHIJ是矩形；

（2）若BC=10，AD=6，设DE=x，S矩形GHIJ=y．

①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②点E在何处时，矩形GHIJ的面积与△AGH的面积相等？

6．（2002•湖州）已知，如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，M是CD边上一点（不与C、D重合），以BM为直径画半圆交AD于E、F，连接BE，ME．

（1）求证：

AE=DF；

（2）求证：

△AEB∽△DME；

（3）设AE=x，四边形ABMD的面积为y，求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围．

7．（2008•滨州）如图

（1），已知在△ABC中，AB=AC=10，AD为底边BC上的高，且AD=6．将△ACD沿箭头所示的方向平移，得到△A′CD′．如图

（2），A′D′交AB于E，A′C分别交AB、AD于G、F．以D′D为直径作⊙O，设BD′的长为x，⊙O的面积为y．

（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）连接EF，求EF与⊙O相切时x的值；

（3）设四边形ED′DF的面积为S，试求S关于x的函数表达式，并求x为何值时，S的值最大，最大值是多少？

8．（2016•烟台）【探究证明】

（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：

=；

【结论应用】

（2）如图2，在满足

（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为　　；

【联系拓展】

（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

9．（2016•扬州）如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．

（1）求证：

=；

（2）由

（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T（A）==，如T（60°）=1．

①理解巩固：

T（90°）=　　，T（120°）=　　，若α是等腰三角形的顶角，则T（α）的取值范围是　　；

②学以致用：

如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．

（参考数据：

T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）

10．（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．

（1）求证：

△PCE≌△EDQ；

（2）延长PC，QD交于点R．

①如图2，若∠MON=150°，求证：

△ABR为等边三角形；

②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．

11．（2016•富顺县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

12．（2016•寿光市校级模拟）如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，

（1）四边形ABCD为平行四边形；

（2）求证：

OB2=OE•OF；

（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：

四边形ABCD为菱形．

13．（2016•丹东模拟）已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．

（1）当α=60°时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：

BD=AE；

（2）当α=90°时（如图2），求的值．

14．（2016•市北区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接BF、BF，线段BF与AD相交于点E．

（1）求证：

E是AD的中点；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

15．（2016•桐城市模拟）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：

可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　　．

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）

16．（2016•启东市一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，D是BC边上一点，CD=3cm，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作PE∥BC，交AD于点E．点P以1cm/s的速度从A到C匀速运动．

（1）设点P的运动时间为t（s），DE的长为y（cm），求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（2）当t为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？

并求此时∠DPE的正切值；

（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C．如果∠ACE=∠BCB′，求t的值．

17．（2016•苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）求线段AC的长度；

（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：

①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；

②当l经过点B时，求t的值．

18．（2017•莘县一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；

（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？

若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？

（直接写出结果）

19．（2016•开平区二模）如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．

（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；

（2）求点R运动的路程长；

（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

20．（2015•长乐市一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN=∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E

（1）求证：

△AMN是等腰三角形；

（2）求BM•AN的最大值；

（3）当M为BC中点时，求ME的长．

21．（2016•高港区一模）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA=10，cos∠COA=．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）C点的坐标为　　，当t=　　时N点与A点重合；

（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？

若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

22．（2016•天桥区一模）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合）设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N．（如图1）．

（1）求证：

AM=AN；

（2）若BM=，求x的值；

（3）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S与x之间的函数关系式及S的最小值；

（4）如图2，连接DE分别与边AB、AC交于点G，H，当x为何值时，∠BAD=15°．

23．（2016•淮阴区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点Q在AB上，且AQ=2，过Q做QR⊥AB，垂足为Q，QR交折线AC﹣CB于R（如图1），当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB﹣BC﹣CA移动，设移动时间为t秒（如图2）．

（1）求△BCQ的面积S与t的函数关系式．

（2）t为何值时，QP∥AC？

（3）t为何值时，直线QR经过点P？

（4）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，求此时t的取值范围．

24．（2016•射阳县二模）如图1，点C在线段AB上，DC⊥AB于点C，且AC=DC，点E在线段DC上，且CE=CB．

（1）求证：

△ACE≌△DCB；

（2）如图2，延长BE到F，使DF∥AB，连接CF，当CD=2CE时，求证：

AE⊥CF；

（3）如图3，延长BE到f，使DF∥AB，连接AF，若CD=nCE（n＞1）时，设△AEF的面积为S1，△BDE的面积为S2，试探究S1与S2之间的数量关系，并说明理由．

25．（2016•东城区二模）【问题】

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B作AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．

【探究发现】

某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

【数学思考】

那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？

请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

【拓展应用】

当点E在线段CB的延长线上时，若BE=nBC（0＜n＜1），请直接写出S△ABC：

S△AEF的值．

26．（2017•任城区一模）小明一直对四边形很感兴趣，在矩形ABCD中，E是AC上任意一点，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F．请你跟着他一起解决下列问题：

（1）如图①，若AB=BC，则DE，EF有什么数量关系？

请给出证明．

（2）如图②，若∠CAB=30°，则DE，EF又有什么数量关系？

请给出证明．

（3）由

（1）、

（2）这两种特殊情况，小明提出问题：

如果在矩形ABCD中，BC=mAB，那DE，EF有什么数量关系？

请给出证明．

27．（2016•利辛县模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，如点P由点B出发向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC向C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接PQ，设运动时间为t（单位：

s）（0≤t≤4）．

（1）当t何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP面积为S（单位cm2），当t为何值时，S取最大值，并求出最大值．

（3）是否存在某个时刻t，使线段PQ把△ABC面积平分？

若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

28．（2016•镇江二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．

（1）求运动时间t的取值范围；

（2）整个运动过程中，以点P、O、Q为顶点的三角形与Rt△AOB有几次相似？

请直接写出相应的t值．

（3）t为何值时，△POQ的面积最大？

最大值是多少？

29．（2016•邵阳县一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD，将△DEB沿直线DE翻折得到△DEF，点B落在射线BA上的F处．

（1）求证：

△DEB∽△ACB；

（2）当点F与点A重合时（如图①），求线段BD的长；

（3）设BD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并判断是否存在这样的点D，使AF=FD？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

30．（2016•鞍山一模）如图，射线BD是∠MBN的平分线，点A、C分别是角的两边BM、BN上两点，且AB=BC，E是线段BC上一点，线段EC的垂直平分线交射线BD于点F，连结AE交BD于点G，连结AF、EF、FC．

（1）求证：

AF=EF；

（2）求证：

△AGF∽△BAF；

（3）若点P是线段AG上一点，连结BP，若∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，求．

2017.1.25相似三角形综合题

（一）

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（　　）

A．2﹣ B．+1 C． D．﹣1

【考点】旋转的性质；四点共圆；线段的性质：

两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有

【专题】压轴题．

【分析】取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．

【解答】解：

AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．

∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，

∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，

∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，=，

∴△DAG∽△DCF，

∴∠DAG=∠DCF．

∴A、D、C、M四点共圆．

根据两点之间线段最短可得：

BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，

当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，

此时，BO===，OM=AC=1，

则BM=BO﹣OM=﹣1．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．

二．选择题（共6小题）

2．（2016•闵行区二模）如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E．

（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；

（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；

（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有

【分析】

（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，由DG∥BC得=====，设EG=a，则EH=3a，列出方程即可解决．

（2）关键两个圆内切、外切半径之间的关系，先求出PH，设BP=x，根据AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2列出方程即可解决问题．

（3）如图3中过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，根据AD2﹣AG2=DF2﹣FG2程即求出t与x的关系，再利用三角形面积公式计算即可．

【解答】解：

（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，

∵AH⊥BC，AB=AC

∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，

∴DG∥BC，

∴=====，设EG=a，则EH=3a，

∴==，

∴AG=2a，AE=3a=2，

∴AH=6a=4．

（2）如图2中，∵点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，CP为半径的圆与⊙A内切，

∴AP=AD+BP，AP=PC﹣AD，

∴AD+BP=PC﹣AD，

∴PC﹣BP=2AD=4，

∴PH+HC﹣（BH﹣PH）=4，

∴PH=2，

∵AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2，设BP=x，

∴62﹣（x+2）2=（x+2）2﹣22，

∴x=2﹣2，

∴BC=2BH=2（PB+PH）=4．

（3）如图3中，过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，

∵AD2﹣AG2=DF2﹣FG2，

∴22﹣t2=x2﹣（2﹣t）2，

∴t=，

∴y=S△ABC=18•S△ADG=18וAG•DG=9••，

∴y=（0＜x＜2）．

【点评】本题考查圆的有关知识、两圆的位置关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是用转化的思想，把问题掌握方程解决，属于中考参考题型．

3．（2016•江都区二模）如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称．连结HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J．

（1）求证：

△DHB∽△GDC；

（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y，

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．

②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有

【分析】

（1）由等边三角形的特点得到相等关系，即可；

（2）由相似三角形得到，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HH′G′G的面积为y求出即可．

【解答】证明：

（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BHD+∠BDH=120°，

在正△DEF中，∠EDF=60°，

∴∠GDC+∠BDH=120°，

∴∠BHD=∠GDC，

∴△DHB∽△GDC，

（2）①∵D为BC的中点，

∴BD=CD=2，

由△DHB∽△GDC，

∴，

即：

，

∴BH=，

∵H，H′和G，G′关于BC对称，

∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，

∴在Rt△BHI中，BI=BH=，HI=BH=，

在Rt△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，

∴HH′=2HI=，GG’=2GJ=x，IJ=4﹣﹣，

∴y=（+x）（4﹣﹣）

∵边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，

∴当△DEF绕点D旋转时，点H和A重合时，AG=3，

∴x=CG=1，

当点G和A重合时，CG=4，

∴x=4，

∴1≤x≤4

②由①得，y=﹣（+x）2+2（+x），

设=a，得y=﹣a2+2a，

当a=4时，y最大=4，

此时=4，解得x=2．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的