x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x―15
-0.59
0.84
2.29
3.76
x的整数部分是1,十分位是1
注意：
（1）估算的精度不适过高。
（2）计算时提倡使用计算器。
三、巩固练习：
P47，随堂练习1
四、小结：
估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。
五、作业：
P47，习题2.2：
1、2
配方法（第一课时）
教学目标：
1、会用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。
教学程序：
一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2=9
（2）（x+2）2=16
2、什么是完全平方式？
利用公式计算：
（1）（x+6）2
（2）（x－
）2
注意：
它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（梯子滑动问题）x2+12x－15=0
二、新授：
1、引入：
像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
2、解方程的基本思路（配方法）
如：
x2+12x－15=0转化为（x+6）2=51
两边开平方，得x+6=±
∴x1=
―6x2=―
―6（不合实际）
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为（x+m）2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根。
3、配方：
填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+=（x+6）2
（2）x2―12x+=（x―）2
（3）x2+8x+=（x+）2
从上可知：
常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：
例1：
解方程：
x2+8x―9=0
分析：
先把它变成（x+m）2=n（n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：
移项，得：
x2+8x=9
配方，得：
x2+8x+42=9+42（两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：
（x+4）2=25
开平方，得：
x+4=±5
即：
x+4=5，或x+4=―5
所以：
x1=1，x2=―9
5、配方法：
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
三、巩固练习：
P50，随堂练习：
1
四、小结：
（1）什么叫配方法？
（2）配方法的基本思路是什么？
（3）怎样配方？
五、作业：
P50习题2.31、2
六、教学后记
配方法
（二）
教学目标：
1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
教学重点、难点：
用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。
教学程序：
一、复习：
1、什么叫配方法？
2、怎样配方？
方程两边同加上一次项系数一半的平方。
3、解方程：
（1）x2+4x+3=0
（2）x2―4x+2=0
二、新授：
1、例题讲析：
例3：
解方程：
3x2+8x―3=0
分析：
将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。
解：
两边都除以3，得：
x2+
x―1=0
移项，得：
x2+
x=1
配方，得：
x2+
x+（
）2=1+（
）2（方程两边都加上一次项系数一半的平方）
（x+
）2=（
）2
即：
x+
=±
所以x1=
，x2=―3
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h=15t―5t2
小球何时能达到10m高？
三、巩固：
练习：
P51，随堂练习：
1
四、小结：
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）化二次项系数为1；
（2）移项；（3）配方：
（4）求根。
五、作业：
P33，习题2.41、2
六、教学后记
配方法（三）
教学目标：
1、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；
2、进一步掌握用配方法解题的技能
教学重点、难点：
列一元二次方程解方程。
教学程序：
一、复习：
1、配方：
（1）x2―3x+=（x―）2
（2）x2―5x+=（x―）2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x
（2）x2―5x+4=0
二、引入课题：
我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：
三、出示思考题：
1、如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？
（16-2x）（12-2x）=
×16×12
（2）一元二次方程的解是什么？
x1=2x2=12
（3）这两个解都合要求吗？
为什么？
x1=2合要求，x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。
2、设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？
x2π=
×12×16
（2）一元二次方程的解是什么？
X1=
≈5.5X2≈－5.5
（3）合符条件的解是多少？
X1=5.5
3、你还有其他设计方案吗？
请设计出来与同伴交流。
（1）花园为菱形？
（2）花园为圆形
（3）花园为三角形？
（4）花园为梯形
四、练习：
P56随堂练习
五、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
2、设计方案时，关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。
六、作业：
P56，习题2.5，1、2
七、教学后记：
2.3 公式法
目 标1．一元二次方程的求根公式的推导；2．会用求根公式解一元二次方程。
重 点一元二次方程的求根公式．
难 点求根公式的条件：
b2－4ac
0。
教学过程：
一、复习:
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：
x2－7x－18＝0二、新授：
1、推导求根公式：
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
解：
方程两边都作以a，得x2＋
x＋
＝0
移项，得：
x2＋
x＝－
配方，得：
x2＋
x＋（
）2＝－
＋（
）2即：
（x＋
）2＝
∵a≠0，所以4a2>0当b2－4ac≥0时，
得x＋
＝±
＝±
∴x＝
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时，
它的根是x＝
注意：
当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、老师提示:
用公式法解一元二次方程的前提是:
♦必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0（a≠0）.
♦.b2-4ac≥0.
例题讲析：
例：
解方程：
x2―7x―18＝0
解：
这里a＝1，b＝―7，c＝―18
∵b2－4ac＝（―7）2―4×1×（―18）＝121>0
∴x＝
，即：
x1＝9，x2＝―2
例：
解方程：
2x2＋7x＝4
解：
移项，得2x2＋7x―4＝0
这里，a＝1，b＝7，c＝―4
∵b2－4ac＝72―4×1×（―4）＝81>0
∴x＝
＝
即:
x1＝
，x2＝―4
三、巩固练习：
P58随堂练习：
1、⑴⑶ 2习题2.6 1、2、⑵⑶
四、小结：
（1）求根公式：
x＝
（b2－4ac≥0）
（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤
五、作业：
作业本
2.4 分解因式法
目标1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
重点掌握分解因式法解一元二次方程。
难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。
教学过程：
一、回顾交流1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。
1.5x2－2x－1＝0 2.10（x＋1）2－25（x＋1）＋10＝0
观察比较：
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？
如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：
用公式法解正确；
小明：
两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。
小亮：
利用“如果ab＝0，那么a＝0或b＝0”来求解，正确。
分解因式法：
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
因式分解法的理论根据是：
如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：
若（x+2）（x-3）＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有（x+2）（x-3）＝0．这就是说，解方程（x+2）（x-3）=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．
一、范例学习
例：
解下列方程。
1.5x2＝4x 2.x－2＝x（x－2）
想一想你能用几种方法解方程x2－4＝0，（x＋1）2－25＝0。
三、随堂练习 1、2 P62 习题2.7 1、2分解因式法解方程：
x3－4x2＝0。
四、课堂总结
1.利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。
2.老师提示:
♦1.用分解因式法的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
♦2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
♦3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
五、布置作业补充：
用分解因式法解：
（1）（2x-5）2-2x+5=0；
（2）4（2x-1）2＝9（x+4）2；（3）（x-1）（x+3）＝12．
六、板书设计
2.4 分解因式法
一、复习
二、例题
三、想一想练习
四、小结
五、作业
为什么是0.618（第一课时）
知识目标：
1、掌握黄金分割中黄金比的来历；
2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。
教学重点难点：
列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程
教学程序：
一、复习
1、解方程：
（1）x2+2x+1=0
（2）x2+x－1=0
2、什么叫黄金分割？
黄金比是多少？
（0.618）
3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？
（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）
二、新授
1、黄金比的来历
如图，如果
=
，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。
由
=
，得AC2=AB·CB设AB=1，AC=x，则CB=1－x
∴x2=1×（1－x）即：
x2+x－1=0
解这个方程，得x1=
x2=
（不合题意，舍去）
所以：
黄金比
=
≈0.618
注意：
黄金比的准确数为
，近似数为0.618.
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。
2、例题讲析：
例1：
P64题略（幻灯片）
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？
（结果精确到0.1海里）
解：
（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里
∴AC=
AB=200
海里，∠C=45°
∴CD=
AC=100
海里DF=CF，
DF=CD
∴DF=CF=
CD=
×100
=100海里
所以，小岛D和小岛F相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里
EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：
x2=1002+（300－2x）2
整理得，3x2－1200x+100000=0
解这个方程，得：
x1=200－
≈118.4
x2=200+
（不合题意，舍去）
所以，相遇时，补给船大约航行了118.4海里。
三、巩固：
练习，P65随堂练习：
1
四、小结：
列方程解应用题的三个重要环节：
1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系；3、正确求解方程并检验解的合理性。
五、作业：
P66习题2.8：
1、2
六、教学后记：
为什么是0.618（第二课时）
教学目标：
1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；
2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点：
列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。
教学程序：
一、复习：
1、黄金分割中的黄金比是多少？
[准确数为
，近似数为0.618]
2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？
3、列方程的关键是什么？
（找等量关系）
4、销售利润=－
[销售价][销售成本]
二、新授
在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。
1、讲解例题：
例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，为销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
每天的销售量（台）
每台的利润（元）
总利润（元）
降价前
8
400
3200
降价后
8+4×
400－x
（8+
）×（400－x）
分析：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是（2900－x）元，每台冰箱的销售利润为（2900－x－2500）元。
这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。
解：
设每台冰箱降价x元，根据题意，得：
（2900－x－2500）（8+4×
）=5000
2900－150=2750元
所以，每台冰箱应定价为2750元。
关键：
找等量关系列方程。
2、做一做：
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10个，为了实现平均每月20000的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
这时应进台灯多少个？
分析：
每个台灯的销售利润×平均每天台灯的销售量=10000元
可设每个台灯涨价x元。
（40+x－30）×（600－10x）=10000
答案为：
x1=10,x2=40
10+40=50,40+40=80
600－10×10=500600－10×40=200
三、练习：
P68随堂练习1
四、小结：
五、作业：
P68习题2.91
六、教学后记：
一元二次方程的复习
教学目标：
1、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。
2、能利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。
教学重点、难点：
一元二次方程的几种解法；列一元二次方程解应用题。
教学程序：
一、复习：
1、什么叫一元二次方程？
它的一般形式是什么？
它的二次项系烽，一次项系数常数项各是什么？
2、一元二次方程有哪些解法？
3、一元二次方程的求根公式是什么？
4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？
关键是什么？
二、新课讲析：
1、解下列方程：
（1）2（x+3）2=x（x+3）
（2）x2－2
x+2=0
解：
（1）2（x+3）2=x（x+3）∴x1=－3x2=－6
（2）x2－2
x+2=0这里a=1,b=－2
c=2
∴b2－4ac=（－2
）2－4×1×2=12即：
x1=
x2=
三、练习：
1、解下列方程：
（1）x（x-8）=0
（2）x2+12x+32=0
2、当x为何值时，代数式x2-13x+12=0的值等于42?
3、已知2+
是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值。
4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长。
四、课堂小结：
1、一元一次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）
2、一元二次方程的解法：
（1）配方法：
方程两边同加上一次项系数一半的平方。
（2）公式法：
：
x=
（b2－4ac≥0）
（3）分解因式法：
方程一边为0，另一边分解为两个一次式的积。
3、列一元一次方程解应用题：
（1）步骤：
a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、作答。
（2）关键：
寻找等量关系。
五、作业：
P69复习题：
4、6、7、8
第二章 一元二次方程复习
学习目标：
1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
教学重点：
认识产生一元二次方程知识的必要性
教学难点：
列方程的探索过程
教学过程：
一、简要回顾，方程思想
简要回顾方程知识，方程在生活中的应用，以及用方程思想解决实际问题时的大致思路：
1、待求的量用字母表示出来；2、把已知量与未知量放在同等地位进行运算；
3、求建立等量关系4、方程（组）
体会感悟：
往往解决一个未知数的问题，就需要建立一个等量关系；解决两个未知数的问题，则需要建立两个等量关系。
……
二、展示素材，创设情境
在处理下面的每一个素材时，都带领学生经历探求思路、建立方程、分析特点三个过程，并从中激发学生的学习兴趣。
1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？
这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题，此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。
拉钦斯基（1836～1902）一度曾在大学中任自然科学教授，后来辞去大学的职务，成为一名普通的乡村教师，在这期间，对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。
从惊奇与趣味中激发学生思考：
这样的数组还有吗？
如何求解？
设未知
数的技巧。
联想勾股定理中：
，……
3、梯子移动如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与
解决问题的能力。
此诗出自十二世纪印度数学家婆什迦罗（Bhaskara;1114～1185）之手。
诗文简洁，数学內容也不太难。
同时，也可介绍《九章算术》第九章第六题“葭生中央”问题：
三、观察归纳，抽象命名
从上面的几个素材中可以看出，这类方程在生活中大量出现，回忆前面在学习“黄金分割”时，我们曾经得到方程
，其中
，这
是如何解出的，当时我们不得而知，但数学应该而且必定能为生活服务，因此我们很有必要对这类方程作一个系统的研究。
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为
（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程
注：
形式上是一元二次方程，但化简整理后的方程却未必是一元二次方程，例如“印度莲花问题”，其实这仅仅是知识上的简单分类，目的是便于语言叙述与更有利于知识学习，因此没有必要过多计较。
四、学生编题，深化理解
在感受前面四个素材及归纳一元二次方程形式特点的基础上，启发学生编拟一条与自己身边生活有关的应用题，使列出来的方程是一元二次方程。
五、随堂练习，及时巩固
从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。
另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。
你知道竹竿有多长吗？
请根据这一问题列出方程。
六、交流体会，概括总结
新课结束后，让学生回忆总结本节课学了哪些知识？
有什么体会？
在本节课中，对自己及其他同学们的学习表现满意吗？
对数学这门课有什么感想？
单元测试
一、填空题
1.方程x（2x－1）=5（x+3）的一般形式是___________，其中一次项系数是_________，二次项系数是_________，常数项是_________.
2.关于x的方程（k+1）x2+3（k－2）x+k2－42=0的一次项系数是－3，则k=_________.
3.3x2－10=0的一次项系数是_________.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为_________.
5.x2+10x+_________=（x+_________）26.x2－
x+_________=（x+_________）2
7.一个正方体的表面积是384cm2，则这个正方体的棱长为_________.
8.m_________时，关于x的方程m（x2+x）=
x2－（x+2）是一元二次方程？
9.方程x2－8=0
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