《一元二次方程》单元检测.docx

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《一元二次方程》单元检测

数学试题

一、选择题：

1.（2014•广东，第8题3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2014年天津市，第10题3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．

x（x+1）=28D．

x（x﹣1）=28

3.（2014年云南省，第5题3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）

　A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=﹣1，x2=﹣2D．x1=﹣1，x2=2

4．（2014•四川自贡，第5题4分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

A．

有两个不相等的实数根

B．

有两个相等的实数根

C．

只有一个实数根

D．

没有实数根

5．（2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为

，则根据题意可列方程为（）

A.

B.

C.

D.

6．（2014•益阳，第5题，4分）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）

A．

m＞1

B．

m=1

C．

m＜1

D．

m≤1

7.（2014•菏泽，第6题3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）

8．（2014年山东泰安，第13题3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）

A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15

C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

9.（2013白银，8，3分）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．

48（1﹣x）2=36

B．

48（1+x）2=36

C．

36（1﹣x）2=48

D．

36（1+x）2=48

10．（2013兰州，10，3分）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（　　）

A．7600（1+x%）2=8200B．7600（1﹣x%）2=8200

C．7600（1+x）2=8200D．7600（1﹣x）2=8200

11．（2013·潍坊，10，3分）已知关于

的方程

，下列说法正确的是（）

A．当

时，方程无解

B．当

时，方程有一个实数解

C．当

时，方程有两个相等的实数解

D．当

时，方程总有两个不相等的实数解

12．（2013贵州省黔西南州，7，4分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）

A．

50（1+x2）=196

B．

50+50（1+x2）=196

C．

50+50（1+x）+50（1+x2）=196

D．

50+50（1+x）+50（1+2x）=196

二、填空题：

13.（2014•舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为　　．

14.（2013山东滨州，16，4分）一元二次方程2x2－3x+1=0的解为______________．

15．（2013湖北荆门，16，3分）设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两实数根，则x13＋2014x2－2013＝______．

16.（2013四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程

，则△ABC的周长是10。

17.（2014•济宁，第13题3分）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=　4　．

18.（2014•扬州，第17题，3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　23　．

三、解答题

19．（2014•广西玉林市、防城港市，第24题9分）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：

（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？

（2）在

（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？

（结果精确到0.1%）

20.（（2014•新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

21．.2014年广东汕尾，第22题9分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0

（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：

不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

参考答案：

一、选择题：

本大题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．

1.（2014•广东，第8题3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

根的判别式．

专题：

计算题．

分析：

先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．

解答：

解：

根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，

解得m＜．

故选B．新课标第一网

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

2．（2014年天津市，第10题3分）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．x（x﹣1）=28

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

分析：

关系式为：

球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．

解答：

解：

每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，

所以可列方程为：

x（x﹣1）=4×7．

故选B．

点评：

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．

3.（2014年云南省，第5题3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）

　A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=﹣1，x2=﹣2D．x1=﹣1，x2=2

考点：

解一元二次方程－因式分解法．

分析：

直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根

解答：

解：

x2﹣x﹣2=0

（x﹣2）（x+1）=0，

解得：

x1=﹣1，x2=2．

故选：

D．

点评：

此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．

4．（2014•四川自贡，第5题4分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）

A．

有两个不相等的实数根

B．

有两个相等的实数根

C．

只有一个实数根

D．

没有实数根

考点：

根的判别式．

分析：

把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．

解答：

解：

∵a=1，b=﹣4，c=5，

∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，

所以原方程没有实数根．

故选：

D．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

5．（2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为

，则根据题意可列方程为（）

A.

B.

C.

D.

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

分析：

果园从2011年到2013年水果产量问题，是典型的二次增长问题．

解答：

解：

设该果园水果产量的年平均增长率为

，由题意有

，

故选D．

点评：

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解二次增长是做本题的关键．

6．（2014•益阳，第5题，4分）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）

A．

m＞1

B．

m=1

C．

m＜1

D．

m≤1

考点：

根的判别式．

分析：

根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．

解答：

解：

∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，

∴△≥0，

即4﹣4m≥0，

∴﹣4m≥﹣4，

∴m≤1．

故选D．

点评：

本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

7.（2014•菏泽，第6题3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）

A．

1

B．

﹣1

C．

0

D．

﹣2

考点：

一元二次方程的解．

分析：

由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，

∴b2﹣ab+b=0，

∵﹣b≠0，

∴b≠0，

方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，

∴a﹣b=1．

故选A．

点评：

此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．

8．（2014年山东泰安，第13题3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）

A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15

C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

分析：

根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．

解：

设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选A．

点评：

此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．

9.（2013白银，8，3分）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．

48（1﹣x）2=36

B．

48（1+x）2=36

C．

36（1﹣x）2=48

D．

36（1+x）2=48

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

增长率问题．

分析：

三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．

解答：

解：

二月份的营业额为36（1+x），

三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，

即所列的方程为36（1+x）2=48，

故选D．

点评：

考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．

10．（2013兰州，10，3分）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（　　）

A．7600（1+x%）2=8200B．7600（1﹣x%）2=8200

C．7600（1+x）2=8200D．7600（1﹣x）2=8200

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

增长率问题．

分析：

2013年的房价8200=2011年的房价7600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．

解答：

解：

2012年同期的房价为7600×（1+x），

2013年的房价为7600（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，

即所列的方程为7600（1+x）2=8200，

故选C．

点评：

考查列一元二次方程；得到2013年房价的等量关系是解决本题的关键．　

11．（2013·潍坊，10，3分）已知关于

的方程

，下列说法正确的是（）

A．当

时，方程无解

B．当

时，方程有一个实数解

C．当

时，方程有两个相等的实数解

D．当

时，方程总有两个不相等的实数解

答案：

C

考点：

分类思想，一元一次方程与一元二次方程根的情况．

点评：

对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定．

12．（2013贵州省黔西南州，7，4分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）

A．

50（1+x2）=196

B．

50+50（1+x2）=196

C．

50+50（1+x）+50（1+x2）=196

D．

50+50（1+x）+50（1+2x）=196

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

增长率问题．

分析：

主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．

解答：

解：

依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，

∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．

故选C．

点评：

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

第Ⅱ卷（非选择题共60分）

二、填空题：

本大题共7小题，其中16-22题每小题5分，共35分．只要求填写最后结果．

13.（2014•舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为　　．

考点：

解一元二次方程－因式分解法

分析：

根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．

解答：

解：

因式分解得，x（x﹣3）=0，

解得，x1=0，x2=3．

点评：

本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

14.（2013山东滨州，16，4分）一元二次方程2x2－3x+1=0的解为______________．

【答案】：

．

【解析】利用一元二次方程的求根公式

，其中a=2,b=-3,c=1代入求解即可.

【方法指导】本题主要考查了一元二次方程的求解方法以及方法的适当选择，对于本题而言选择求根公式求解更适合，要注意方法的选择.

15．（2013湖北荆门，16，3分）设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两实数根，则x13＋2014x2－2013＝______．

【答案】2014．

【解析】依题意可知x1＋x2＝1，x1x2＝－2013，且x12－x1－2013＝0．∴x12＝x1＋2013①．将①式两边同时乘以x1，得x13＝x12＋2013x1②．将①代入②，得x13＝2014x1＋2013．∴x13＋2014x2－2013＝2014x1＋2013＋2014x2－2013＝2014（x1＋x2）＝2014．

【方法指导】关于两根的对称式，我们可以利用根与系数的关系求出它的值．此题中待求的式子不是两根的对称式，因此需转化．根据根的定义得到等式①，这个等式①是解题的关键，利用它既可以把x1的3次降为x1的1次，又可以把不对称的式子转化为对称的式子．

16.（2013四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程

，则△ABC的周长是10。

［解析］△=（-3

）2-32≥0,

≤k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，

△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+2≮4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。

17.（2014•济宁，第13题3分）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=　4　．

考点：

解一元二次方程－直接开平方法．

专题：

计算题．

分析：

利用直接开平方法得到x=±

，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有

=2，然后两边平方得到=4．

解答：

解：

∵x2=（ab＞0），

∴x=±

，

∴方程的两个根互为相反数，

∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，

∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，

∴

=2，

∴=4．

故答案为4．

点评：

本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：

形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．

18.（2014•扬州，第17题，3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　23　．

考点：

因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系

专题：

计算题．

分析：

根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得

2a2﹣2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．

解答：

解：

∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，

∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，

∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5

=2a2﹣2a+17

=2（a+3）﹣2a+17

=2a+6﹣2a+17

=23．

故答案为23．

三、解答题：

本大题共3小题，23、24题各8分，25题9分，共25分。

解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（2014•广西玉林市、防城港市，第24题9分）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：

（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？

（2）在

（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？

（结果精确到0.1%）

考点：

一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

分析：

（1）根据题意分别求出今年将报废电动车的数量，进而得出明年报废的电动车数量，进而得出不等式求出即可；

（2）分别求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．

解答：

解：

（1）设从今年年初起每年新增电动车数量是x万辆，

由题意可得出：

今年将报废电动车：

10×10%=1（万辆），

∴[（10﹣1）+x]（1﹣10%）+x≤11.9，

解得：

x≤2．

答：

从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆；

（2）∵今年年底电动车拥有量为：

（10﹣1）+x=11（万辆），

明年年底电动车拥有量为：

11.9万辆，

∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11（1+y）=11.9，

解得：

y≈0.082=8.2%．

答：

今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%．

点评：

此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．

20.（（2014•新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

考点：

一元二次方程的应用．

专题：

几何图形问题．

分析：

设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

解答：

解：

设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．

根据题意得（100﹣4x）x=400，

解得x1=20，x2=5．

则100﹣4x=20或100﹣4x=80．

∵80＞25，

∴x2=5舍去．

即AB=20，BC=20．

答：

羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．

21．.2014年广东汕尾，第22题9分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0

（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：

不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

分析：

（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；

（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．

解：

（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；

方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1x1=﹣，x1=﹣．

（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

点评：

本题考查了根的判别式和根与系数的关