北师大版八年级上册第七章751 三角形内角和定理教案.docx

北师大版八年级上册第七章751 三角形内角和定理教案.docx

《北师大版八年级上册第七章751 三角形内角和定理教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版八年级上册第七章751 三角形内角和定理教案.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

北师大版八年级上册第七章751三角形内角和定理教案

7.5.1　三角形内角和定理（教案）

教学目标

知识与技能：

掌握“三角形内角和定理”的证明及简n加油单的应用.

过程与方法：

通过一题多变,建立思考情境,形成独立思考、合作交流n加油的学习模式,培养理性说理能力.

情感态度与价值观：

培养学生创造性,弘扬个性发展,n加油体验解决问题的成就感,使学生感悟逻辑推理的数学价值.

教学n加油重难点

【重点】理解三角形内角和定理及其简单的应用.

【难点】三角n加油形内角和定理的证明方法.

教学准备

【教师准备】教学导n加油入图片和例题图片.

【学生准备】量角器、三角板等作图工具.

教学过程n加油

一、导入新课

导入一:

师:

我们知道,三角形内角和等于多少度?

生:

（齐声n加油）三角形的内角和是180°.

师:

你们还记得这个结n加油论的探索过程吗?

请看试验:

将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.n加油

生:

由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.

师n加油:

但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,n加油这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?

这节课我们一起探究一下三角形内角和定理n加油的证明.（教师板书课题）

[设计意图]　对n加油比过去撕纸等探索过程,体会思维试验和符号化的理性作用.将n加油自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难,因此需要一个台阶,使n加油学生逐步过渡到严格的证明.

导入二:

课件出示n加油《三角形家族的“官司”风波》.

故事导入:

很久很久n加油以前的一天,数学国际法庭来了三位告状者,它们是锐角三角形、直角三角形和钝n加油角三角形.“它们干什么来了?

”“是来打官司的.”这不它n加油们在法庭外刚一见面又争吵起来:

锐角三角形说:

“我们锐角三角形的内角和n加油度数最大!

”

直角三角形说:

“不对!

是我们直n加油角三角形的内角和最大!

”

钝角三角形说:

“你们别吵了!

还是n加油我们钝角三角形的内角和最大!

”

问题1

【课件1】　如果你是法庭庭长,你认为该n加油怎样对它们宣判?

为什么?

问题2

【课件2】　你们还n加油记得小学是怎样探索三角形内角和的吗?

谁能给大家说一说或者展n加油示一下吗?

问题3

【课件3】　小学的证明方法固然好,但是这些方法可靠吗?

现在有n加油更加科学严密、更有说服力的证明方法吗?

[处理方式]　学生n加油观察并读出对话及问题.问题1学生能够顺利解n加油决;问题2学生一次回答出全部答案会有困难,根据n加油学生已有的知识经验,学生间互相补充能够解决,学生边说边在讲台上演示测n加油量法、折拼法、剪拼法（撕拼法）.学生回答时语言可能不准确,教师及时引导n加油纠正.教师根据学生回答利用课件展示三种方法.对于问题3,学生通过思考、n加油联想前面所学,应该能够解决.学生只要能够回答出用n加油推理的方法证明三角形内角和即可,不要求作出具体回答.

1.测量n加油法.

2.折拼法:

3.剪拼法（撕拼法）:

[设计意图n加油]　通过学生动手测量、折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验,为下面探究推理证明提n加油供直接经验.

导入三:

出示下面的投影片

工人师傅将凹型零件（图

（1））加工成斜n加油面EC与槽底CD成55°角的燕尾槽（图

（2））的程序是:

将垂直的铣刀倾斜n加油偏转35°角（图（3））,就能得到55°的燕尾槽底角.为什么n加油铣刀偏转35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢?

[设计意图]　通过问题的解答,n加油再现所学知识,为新知识的接纳做心理和知识上的准备,引出新课内容.

2、新知n加油构建

（1）.探索三角形内角和定理

[过渡语]　我们已经知道三角形内角和等于1n加油80°,这个定理是怎样证明的呢?

思路一

[活动内容1]　证明n加油思路的探索分析.

（多媒体出示）剪拼法图示（n加油动态）:

问题1

【课件1】　如图所示,当∠n加油A移到∠1的位置时,残边CD和边AB有何位置关系?

为什么?

问题2

n加油【课件2】　在剪拼法中,通过移动角拼成了一个平n加油角;如果不实际移动角,那么你还有其他方法可以n加油达到同样的效果吗?

[处理方式]　教师先n加油出示图,学生读题回答.对于问题1可让学生到黑板前指图回答,注意语言表达n加油及学生指图的准确性,发现不当处,及时强调.问题2可以让学生合作完成.如果有困惑n加油,教师可作引导.利用课件图形,结合问题1引导学生进n加油行逆向思考:

“如果先移动角,那么可以得到平行线;反过来,如果我们先画n加油出平行线,会得到什么呢?

”此时教师在空白ΔABC上规范n加油作出射线CD,使CD∥AB,学生自然推出∠1=∠A.教师追问:

“你还可以得到哪些n加油角相等?

说说理由.”学生得出∠2=∠B后,一个平角自然就n加油摆放在学生眼前了,达到了移角的效果.此时教师顺势引出辅助线:

为了证明的需要,n加油在原来的图形上添作的线叫做辅助线.（教师板书:

辅助线）在平面几何里,辅助线通n加油常画成虚线.

[设计意图]　利用剪撕纸得来的直接经验和逆向思维的方n加油式,引导学生初步感悟辅助线的来源和作用,提高学生分析问题的能力.

[活动内容n加油2]　说一说,写一写.

问题1

【课件1】　你能用简洁的语言完n加油整地说一说分析思路吗?

问题2

【课件2】　你能用数学推理的方法证明它吗?

n加油

问题3

【课件3】　证明的关键是什么?

说说你的想法n加油.

[处理方式]　问题1小组交流后学生代表发言,展示交流成果.学n加油生发言时,教师注意提示学生文字命题的证明步骤以及数学语言n加油表达的规范性.对于问题2,教师引导学生再次明确辅助线的作法及其n加油相关要求:

（1）这里的CD称为辅助线;

（2）辅助n加油线通常画成虚线.师生合作,教师规范完成辅助线的添加后,余下n加油的证明过程由一名学生在黑板上独立完成,其余学生在练习本上写出完整的证明过程.n加油教师巡视,帮助、鼓励困难学生解决问题.学生板演完成后师生共同n加油评价,评价时重点强调辅助线的作法及证明过程的规范性.n加油对于问题3,学生回答时,可能语言不准确,教师及时引导,n加油让学生自主感悟体会到证明的关键是添加辅助线,把三角形内角和转化成一个平角n加油.

【多媒体展示】　已知:

如图所示,ΔABC.

n加油求证:

∠A+∠B+∠ACB=180°.

证明:

如图所示,延长n加油BC至D,过点C作射线CE∥AB,则∠1=∠A（两直线平n加油行,内错角相等）,

∠2=∠B（两直线平行,同位n加油角相等）.

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义n加油）,

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（n加油等量代换）.

师:

命题“三角形的内角和等于n加油180°”经过了我们严密地推理证明,它是真命题n加油.此时我们可以理直气壮地称之为三角形内角和定n加油理.

【课件展示】　三角形内角和定理:

三角形的内角和等于180°.

[n加油设计意图]　用平行线的性质定理来推导出三角形内角和定理,让学生再n加油次体会推理证明的严密性和数学的严谨.同时让学生初步理解添加n加油辅助线的原因及添加辅助线的注意事项,培养n加油学生的分析能力和逻辑推理能力.

思路二

[过渡语]　根据上面给出的基本n加油事实和三角形内角和定理,你能用自己的语言说一说这一结论的证明思路吗?

你能用较为n加油简洁的语言写出这一证明过程吗?

与同伴交流.

接n加油下来同学们来证明:

三角形的内角和等于180°n加油这个真命题.这是一个文字命题,证明时需要n加油先干什么呢?

生:

需要先画出图形,根据命题的条n加油件和结论,结合图形写出已知、求证.

师:

对,下面大家来证明,哪位同学上黑板给大n加油家板演呢?

生1:

已知:

如图所示,ΔABC.n加油

求证:

∠A+∠B+∠ACB=180°.n加油

证明:

作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB,

n加油则∠ACE=∠A（两直线平行,内错角相等）,∠ECD=∠B（两直线平n加油行,同位角相等）.

∵∠ACB+∠ACE+∠ECn加油D=180°（平角的定义）,

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.

生n加油2:

老师,我的证明过程是这样的:

证明:

作BC的延长线n加油CD,作∠ECD=∠B,则EC∥AB（同位角相等,两直线平n加油行）,

∴∠A=∠ACE（两直线平行,内错角相等n加油）.

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=1n加油80°）,

∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）.

师:

同学们写的n加油证明过程都很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位n加油置的三个角,巧妙地拼“凑”到了一起.为了证明的需要,在原来n加油的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,n加油辅助线通常画成虚线.

我们通过推理的过程,得证了命题:

三角形的内角和n加油等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角n加油形内角和定理.

（2）、想一想,做一做

【问题】你还能用其他n加油方法证明三角形内角和定理吗?

[处理方式]　学生先尝试独立完成n加油,教师巡视引导.绝大多数学生会想到图形

（1）的方n加油法.对于图形

（2）,可能只有少数学生想到或者全体学生都想n加油不到.当只有少数学生想到时,教师指名学生说说方n加油法和理由.如果全体学生都想不到,教师可以追n加油问:

“我们移动其中一块,能否得到平行线呢?

”并引导学n加油生摆出图形

（2）.结合图形

（2）,学生会恍然大悟:

n加油应该如何添加辅助线,进而解决图形

（2）的证明过程.教师巡视时,有意识寻找证明过n加油程正确规范的作业,全班展示、评价.

【参考答案】　

证法1:

过点A作DE∥BC.n加油

∵DE∥BC,

n加油∴∠1=∠B,∠2=∠C（两直线平行,内错角相等）.n加油

∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义）,

∴∠BAC+∠B+n加油∠C=180°（等量代换）.

证法2:

过点A作AD∥BC.n加油

∵AD∥BC,

∴∠1=∠B（两直线平行,内n加油错角相等）,∠DAC+∠C=180°（两直线平行,同n加油旁内角互补）.

又∵∠DAC=∠1+∠2,

∴∠1+n加油∠2+∠C=180°（等量代换）,

∴∠Bn加油AC+∠B+∠C=180°（等量代换）.

[设计意图]　通过学生n加油独立运用较简单的方法证明三角形内角和定理,感受体会“n加油辅助线”的作法和作用,提高一题多解的能力,体会思维的多样性和基本的转化思想n加油.

（3）、议一议

【问题】综上所述,添n加油加辅助线的目的是什么?

你是怎样理解辅助线的?

[处理方式]教师先快速地展示三种n加油辅助线的添加图形,学生结合图片先在小组内讨论交流,形成小组成果,然n加油后全班交流、随时互评.学生讨论时,教师参与其中,倾听学生的讨论,引导学生从辅助n加油线的作用、作法、要求去交流.学生通过观察图形n加油得出:

添加辅助线的目的是构造180°的平角或同旁内角.

【课件展示n加油】　添加辅助线的目的:

三角形内角和

平角、同旁内角

【n加油教师总结】

（1）辅助线通常画成虚线;

（2）辅助线要正确、n加油规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;（3）辅助线能把题目中可利用的隐n加油藏条件显露出来,化难为易.

为便于学生掌握,总结四句话n加油:

小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.

[n加油设计意图]添加辅助线是教学中的一个难点,学n加油生通过思考、讨论、交流对辅助线的认识,展示思维过程,然后在老师的引导下达n加油成共识,进一步加深了对辅助线的理解,易于突破教学难点,提高学生解n加油决问题的能力.

（4）、探究活动

刚才同学们对辅助线掌n加油握得很好.接下来,我将平角或同旁内角的位置n加油移动或者改造一下,使它再有一些难度,看谁还能攻克它?

n加油

[处理方式]　教师先出示图

（1）,思考:

怎样添加辅助线?

学生思考讨论n加油,由于图形较直观,学生能够解决辅助线的添加问题;学生完成后教师出示图

（2）n加油;为便于学生叙述证明过程,教师再出示图（3）.学生根据图（3）口述证明过程.n加油学生在口述证明过程时,教师注意数学语言表达的规范性和推理证明的逻辑性.

（1n加油）

（2）

[设计意图]　用多种方法证明三角形内角和定理,培养n加油一题多解的能力,同时提高学生添加辅助线的技能、技巧,提高解决问题的能力n加油.

（5）、典例解析,应用新知

[活动内容1]　通过刚n加油才的学习,同学们不仅知道了辅助线,而且利用n加油它用多种方法证明了三角形内角和定理,你们觉得学了这些知n加油识,能解决哪些问题呢?

【课件展示】　

如图所n加油示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分线,求n加油∠ADB的度数.

[处理方式]　学生先结合图形读题n加油,指图说出已知条件和要解决的问题,然后说说分析思路n加油及求解过程,最后学生板演,师生共同评价.如果学n加油生有困难,可以先在小组内讨论交流.

在学生板演时,教师巡视指导,帮助n加油、鼓励学困生完成任务.集体评价时,教师强调证明过程的规范性和严谨性.

n加油解:

在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.

∵∠Bn加油=38°,∠C=62°（已知）,

∴∠BAC=180°-38°-62n加油°=80°（等式的性质）.

∵AD平分∠BAC（已n加油知）,

∴∠BAD=∠CAD=

∠BAC=

×80°=40°（角平分线的n加油定义）.

在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADBn加油=180°（三角形内角和定理）.

∵∠B=38°（n加油已知）,∠BAD=40°（已证）,

∴∠ADB=180°-38°-40n加油°=102°（等式的性质）.

[设计意图]　学生通过三角形内角和定理的n加油简单应用,及时加深了对所学知识的理解,规范学生的n加油证明过程,培养了学生良好的学习数学的习惯.

三、课堂总结n加油

四、课堂练习

1.三角形三个内角的和等于　　　　. 

答案:

180n加油°

2.如下图所示的是三角形内角和定理的几种证明方法,可分n加油别记作　　　　法,　　　　法,　　　　法. n加油

答案:

拼凑　作平行线　折叠

3.如图所示,ADn加油是∠BAC的平分线,若∠ADC=110°,且∠DAC=∠C,求ΔABC的三n加油个内角的度数.

解:

∵∠ADC=110°,∠DAC=∠C,∴∠C=

=35°,∴∠BAC=2∠DAn加油C=2∠C=70°,∴∠B=180°-70°-3n加油5°=75°.

4.在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶n加油3∶5,求∠A,∠B,∠C的度数.

解:

设∠A,∠B,n加油∠C的度数分别为x,3x,5x,

则x+3x+5x=180n加油°,

解得x=20°,

∴∠A=20°,∠B=n加油60°,∠C=100°.

五、板书设计

第1课时

1.探索三角形内角和定理

2n加油.想一想,做一做

3.议一议

4.探索活动

5.典例解析,应用新知n加油

六、布置作业

（1）、教材作业

【必做n加油题】教材随堂练习第2,3题.

【选做题】教材习题n加油7.6第5题.

（2）、课后作业

【基础巩固】1.下列叙述正确的是（　　）

An加油.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角n加油和

B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角

n加油C.三角形中至少有两个锐角D.三角形中至少n加油有一个锐角

2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这n加油个三角形是（　　）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等边三角n加油形

3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠n加油C=33°,AD是ΔABC的角平分线,则∠CAD的度数为（　　n加油）

A.40°B.45°C.50°D.55°

4.n加油小明在证明“三角形内角和等于180°”时用了如图n加油所示的辅助线,即延长BC到D,延长AC到E,过点C作CF∥AB,你能接着n加油他的辅助线的作法证明出来吗?

【能力提升】5.在ΔABC中,∠ABn加油C=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠Cn加油的度数是多少?

4.如图所示,在ΔABC中,∠ABC和∠ACB的平分n加油线BE,CF交于点I,求证∠BIC=90°+

∠A.

【拓展探究】7.如图所示,已知∠ABC和∠An加油CB的平分线BD,CE相交于点O,∠A=60°n加油,求∠BOC的度数.

【答案与解析】

1.C

2.C（解析:

由3个n加油内角度数比为2∶3∶4,设3个内角度数分别为2x,3x,4x,有2x+3n加油x+4x=180°,解得x=20°,∴3个角分别为40°n加油,60°,80°,故为锐角三角形.）

3.A（解析:

∵∠B=6n加油7°,∠C=33°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=18n加油0°-67°-33°=80°.∵AD是ΔAn加油BC的角平分线,∴∠CAD=

∠BAC=

×n加油80°=40°.）

4.解:

∵AB∥CF,∴∠A=∠ACF,∠B=∠FCD.又∵n加油∠ACB=∠DCE,∴∠A+∠B+∠C=∠ACF+∠FCD+∠Dn加油CE=180°.

5.解:

①当ΔABC为锐角三角形时n加油,如图

（1）所示,在ΔABD中,∵BD⊥AC（已知）,∴∠ADB=90°n加油（垂直的定义）.又∵∠ABD=30°（已知）,∴∠A=180°-n加油∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.又∵∠A+∠ABC+∠n加油C=180°（三角形内角和定理）,∴∠ABC+∠Cn加油=120°.又∵∠ABC=∠C（已知）,∴∠C=60°.②当ΔABC是钝角三n加油角形时,如图

（2）所示,在直角三角形ABD中,∵∠ABn加油D=30°（已知）,∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°,又∵∠BAC+∠n加油ABC+∠C=180°（三角形内角和定理）,∴∠ABC+∠C=60°.又∵∠n加油ABC=∠C（已知）,∴∠C=30°.综上,∠C的度n加油数应为60°或30°.

6.解析:

欲证∠BIC与∠A之间的n加油关系,发现它们之间的关系不直接,而∠BIC与∠IBC,∠ICB在同n加油一个三角形中,故有∠BIC=180°-（∠IBCn加油+∠ICB）,而∠A与∠ABC,∠ACB在同一个三角形中,故有n加油∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）,又因n加油为BE,CF是角平分线,所以∠IBC与∠ABC有关系n加油:

∠IBC=

∠ABC,同理,∠ICB=

∠ACB.从而可以通过中间量∠ABC,∠ACB或∠n加油IBC,∠ICB,找到∠BIC与∠A之间的关系.

证明:

∵在n加油ΔABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°（n加油三角形内角和定理）,∴∠ABC+∠ACB=180°-n加油∠A（等式性质）.∵BE,CF分别平分∠ABC和∠ACB（已知n加油）,∴∠EBC=

∠ABC,∠FCB=

∠ACB（角平分线的定义）.在ΔBIC中,∠BIC+∠EBC+∠FCBn加油=180°（三角形内角和定理）,∴∠BIC=180°-（∠EBC+∠FCBn加油）（等式的性质）,∴∠BIC=180°-

（180°-∠A）=90°+

∠A.

7n加油.解:

在ΔABC中,∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠ABC+∠n加油ACB的一半等于60°.∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.