初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习.docx
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初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
初二分式所有知识点总结和常考题
知识点:
1.分式：
形如-,A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.
B
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：
分母不等于0.
3.分式的基本性质：
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变•
4.约分：
把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：
异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分
6.最简分式：
一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
7.分式的四则运算：
⑴同分母分式加减法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用
字母表示为:
⑵异分母分式加减法则：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分
式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：
acadcb
bdbd
⑶分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分
母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：
a-
bdbd
⑷分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：
————ad
bdbcbc
⑸分式的乘方法则：
分子、分母分别乘方.用字母表示为:
8.整数指数幕：
⑴amanamn（m、n是正整数）
⑵amnamn（m、n是正整数）
⑶ab"anbn（n是正整数）
⑷amanamn（a0，m、n是正整数，mn）
nn
⑸aa-（n是正整数）
bbn
0,n是正整数）
9.的意义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
10.分式方程的解法：
①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）;②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知
数的取值范围，可能产生增根）•常考题：
一•选择题（共14小题）
1•在式子、器、迸甘=、专斥、册乎中，分式的个数有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
2
2.化简’「的结果是（）
xT1-x
A.x+1B.x—1C.-xD.x
3.如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（）
xty
A.扩大4倍B•扩大2倍C.不变D.缩小2倍
4.把分式方程-^-4^=1的两边同时乘以（x—2）,约去分母，得（）
I-ZZ-K
A.1—（1—x）=1B.1+（1—x）=1C.1—（1—x）=x—2D.1+（1—x）
10.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车
多行驶20千米，求两车的速度各为多少？
设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）
12.A,B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）
A.B.
C.丄+4=9D.+^—=1
kx+4x-4
13.计算（［十斗厲（1+—^）的结果为（）
h-1x2-l
A.1B.x+1C.—D.肖
二.填空题（共13小题）
15.计算：
|一=.
16.若分式吉有意义，则实数x的取值范围是
17.分式方程^令二1的解x=
x+1
18.若代数式丄^-1的值为零，则x=.
x-1
19.化简（nrf!
）的结果是.
9
x+4k+4X
宀s_2
20.化简:
或“=”
25.如果实数x满足x2+2x—3=0,那么代数式（•
26.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需
时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产台机器.
27.杭州到北京的铁路长1487千米.火车的原平均速度为x千米/时,提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为三.解答题（共13小题）
28.先化简，再求值:
，其中只吨.
时1宀1
1—“
3-1a2-2a+l
代入求值.
整数解.
X
9
CLAK42Z+1
35.已知A=-
x^-1
£
36.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙
队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？
（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？
37．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
38．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，
普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
（1）求普通列车的行驶路程；
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．39．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
40．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降•今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量
的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元.
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使
（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？
此时，哪种方案对公司更有利？
初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
（含答案解析）
参考答案与试题解析
一.选择题（共14小题）
1.（2012春？
潜江期末）在式子丄、加丫
O2,3I
5、¥、
9严中,
a兀
4
6+x78
y
分式的个数有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
【解答】解：
丄、丄、9x+L这3个式子的分母中含有字母，因此是分式.
a6+ky
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式.
故选：
B.
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式.
2
2.（2014?
南通）化简7,|'的结果是（）
x-11-x
A.x+1B.x-1C.-xD.x
【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分.
22
【解答】解：
-二^—--^-
x-l1-J1-1旷1
2
=•
K-1
=-■---<-L:
x-1
=x，
故选：
D.
【点评】本题考查了分式的加减运算.分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减.
3.（2012?
岳麓区校级自主招生）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分
x+y
式的值（）
A.扩大4倍B•扩大2倍C.不变D.缩小2倍
【分析】把分式工中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x+y
x和y，利用分式的基本性质化简即可.
【解答】解：
把分式中的x和y都扩大2倍后得：
x+y
；.工唔「=：
"_2?
$「
2tic+y）2&+严）x+y'
即分式的值扩大2倍.
故选：
B.
【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项.
4.（2005?
扬州）把分式方程二•的两边同时乘以（X-2）,约去分母，
k-22■辽
得（）
A.1-（1-x）=1B.1+（1-x）=1C.1-（1-x）=x-2D.1+（1-x）=x-2
【分析】分母中x-2与2-x互为相反数，那么最简公分母为（x-2）,乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程.
【解答】解：
方程两边都乘（x-2），得：
1+（1-x）=x-2.故选：
D.
【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为-1.
=1
故选A.
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键.
6.（2008?
黄冈）计算的结果为（）
baa
A.桔B.些
b
【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简.
【解答】解：
「=—，故选A.
baaaba+bb
【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清
楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除.
7.（2014?
黑龙江）已知关于x的分式方程二+3=1
的解是非负数，则m的
1-11-x
取值范围是（）
A.m>2B.m>2C.m>2且m^3D.m>2且m^3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x,根据方
程的解为非负数求出m的范围即可.
【解答】解：
分式方程去分母得：
m-3=x-1，
解得：
x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2>0,且m-2工1，
解得：
m》2且m工3.
故选：
C
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件.
8.（2009?
维坊）下列运算正确的是（）
A、a2?
a3=a6B.（丄）-1=-2C.一：
=±4D.|-6|=6
【分析】幕运算的性质：
1同底数的幕相乘，底数不变，指数相加；
2一个数的负指数次幕等于这个数的正指数次幕的倒数，
算术平方根的概念：
一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0的算术平方根
是0.
绝对值的性质：
正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的
绝对值是0.
【解答】解：
A、a2?
a3=a5,故A错误；
B、
（二）-1=2,故B错误；
C、=4,故C错误；
D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故D正确.
故选D.
【点评】本题涉及知识：
负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幕等于1；绝对值的化简；二次根式的化简.
9.（2013?
本溪）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设
原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为（
【分析】关键描述语为：
共用了18天完成任务”等量关系为：
采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18.
间可表示为:
方程可表示为:
160,400-160.J
x（1+20%）k~13'
故选：
B.
【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变
化.
10.
（2014?
黔南州）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？
设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）
【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值
即可.
=宀']
Ca-b）a+b
a（a-b）
a（a-b）
a
则
【解答】解：
甲图中阴影部分面积为a2-b2，乙图中阴影部分面积为a（a-b），
1+^
a
•••a>b>0,
•••1v_+1V2,
•••1vkv2
故选B.
【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键.
【分析】本题的等量关系为：
顺流时间+逆流时间=9小时.
【解答】解：
顺流时间为:
;逆流时间为：
4S.
卜；
=9
x+4
x-4
所列方程为:
故选A.
【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的.找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.
广1_|_一1\1丄-1>
lx-1+l.7^-1+1
a+1
11/J
xT1x?
-l
【解答】解:
故选C.
【点评】注意：
当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式,
与其它分式进行通分运算.
值为（）
Q4
B--9
【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可.
【解答】解：
A.
B.
A=T
B=1
C.
A=1
g
D.
A=-35
B=13
^Ck-1）-B（3x+25CA-3B）x-（A+2B）
C3x+2）（x-1）_=C3x+2）（x-l）=（3x+2）（x-l）
所以,
1.M2B二9解得严I
（B=l
故选B.
【点评】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算.
二.填空题（共13小题）
15.（2014?
陕西）计算：
（丄）%9.
【分析】根据负整数指数幕的运算法则进行计算即可.
【解答】解：
原式=I=一=9.
（斗1
■d丿9
故答案为：
9.
【点评】本题考查的是负整数指数幕，即负整数指数幕等于该数对应的正整数指数幕的倒数.
16.（2014?
衢州）若分式一有意义，则实数x的取值范围是xm5.
【分析】由于分式的分母不能为0，x-5为分母，因此x-5工0，解得x.
【解答】解：
•••分式丄有意义，
二x-5工0，即xm5.
故答案为：
xm5.
【点评】本题主要考查分式有意义的条件：
分式有意义，分母不能为0.
17.（2013?
梅州）分式方程的解x=1.
x+1
【分析】本题的最简公分母是X+1,方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解.结果要检验.
【解答】解：
方程两边都乘X+1，得
2x=x+1，
解得X=1.
检验：
当x=1时，x+1m0.
•••x=1是原方程的解.
【点评】
（1）解分式方程的基本思想是转化思想”，方程两边都乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解.
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根.
18.（2013?
临夏州）若代数式二-1的值为零，贝Ux=3.
K-1
【分析】由题意得=0，解分式方程即可得出答案.
x-1
【解答】解：
由题意得，-1=0,
x_l
解得：
x=3,经检验的x=3是原方程的根.故答案为：
3.
【点评】此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验.
19.（2013?
凉山州）化简时1）的结果是m.
itr+1
【分析】本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案.
【解答】解：
」十亠
=（m+1）—1
=m
故答案为：
m.
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键.
【分析】先将X2—4分解为（x+2）（X-2），然后通分，再进行计算.
【解答】解：
：
'工=;+•：
：
「+•：
■■-1=.一=二
【点评】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题关键是把握好通分与约分.分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分即可得到结果.
故答案为：
丄
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.（2013?
绥化）若关于x的方程牟7」?
+1无解，则a的值是2或1.
x-zx-2
【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的
值.
【解答】解：
x—2=0，解得：
x=2.
方程去分母，得：
ax=4^x—2，即（a—1）x=2
当a-1工0时，把x=2代入方程得：
2a=4+2-2,解得：
a=2.
当a-仁0,即a=1时，原方程无解.
故答案是：
2或1.
【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值.
23.（2013?
德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是m
丈一2n—
>-6且m—4.
【分析】首先求出关于X的方程二:
;的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围.
【解答】解：
解关于x的方程'1'-:
得x=m+6，
•••方程的解是正数，
二m+6>0且m+6工2，
解这个不等式得m>-6且mH-4.
故答案为：
m>-6且mh-4.
【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x
的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点.
24.（2009?
枣庄）a、b为实数，且ab=1,设P='，Q=，贝UP
a+1b41a+1b+1
—Q（填>”、N”或“
【分析】将两式分别化简，然后将ab=1代入其中，再进行比较,
【解答】解：
：
P
即可得出结论.
十「1£'
-1.1
（a+1）（b+1）
ab+a+b+1
，把ab=1代入得:
:
I=1；
=1；
■■■.-Ji.=；
=b+l+a41
=a.+b+2
=（a+l）tbfn
ab+a+frl-L|
，把ab=1代入得:
•P=Q.
【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可.
2[
25.（2013?
达州）如果实数x满足x2+2x-3=0,那么代数式斗一斗的值
:
Hlx+1
为5.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数x满足x2+2x
-3=0求出x2+2x的值，代入原式进行计算即可.
2
【解答】解：
原式=；-：
-x（x+1）
=x2+2x+2，
•••实数x满足x2+2x-3=0,
«+2x=3，
原式=3+2=5.
故答案为：
5.
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
26.（2013?
呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产200台机器.
【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同.所以可得等量关系为：
现在生产600台机器时间二原计划生产450台时间.
【解答】解：
设：
现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x-50）台.依题意得：
丄=^^.
解得：
x=200.
检验：
当x=200时，x（x-50）工0.
•••x=200是原分式方程的解.
•••现在平均每天生产200台机器.
故答案为：
200.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据.而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出.本题中现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘.
27.（2013?
舟山）杭州到北京的铁路长1487千米.火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为迴■-旦工=3.
—x—x+70
【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，即可列出方程.
【解答】解：
根据题意得：
1487
1^87
x+70
故答案为：
丄二-=3.
xk+70
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中
的等量关系并列出方程.
三.解答题（共13小题）
28.（2013?
眉山）先化简，再求值：
（1^^）中~（x-2），其中工MS.
K+1Ft
【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值.
【解答】解：
原式=•■+（x-2）（3分）
^+11
=x（x-1）+（x-2）=x2-2;（2分）
当X二闻时，贝U原式的值为（加？
-2=4.（2分）
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算.
29.（2005?
徐州）先化简代数式'--|-:
然后选取一个使原式
曰T亠2肘13-1
有意义的a值代入求值.
【分析】本题考查的化简与计算的综合运算，关键是正确进行分式的通分、约分,
并准确代值计算.此题要注意的是a^1.
【解答】解：
原式=---•…
=a2a-1
（a-O£~
a•/a-1工0,
--aM1,
当a=2时，原式=2.
【点评】此题考查了分式的化简求值，取合适的值代入原式求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义.
【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将X
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