初二数学体系讲义第2讲全等三角形下.docx

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初二数学体系讲义第2讲全等三角形下

第二讲全等三角形

（二）

一、主要知识点回顾

1．如图1，∵射线OC是∠AOB的平分线，

∴∠AOC＝∠______

。

2．如图2，

（1）∵∠AOC＝∠BOC，且PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，

∴_______＝PF。

即：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

（2）∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，且PE＝PF，

∴∠AOC＝∠______

。

即：

到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

二、感悟与实践

例题1：

如图3，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF。

求证DF＝EF。

变式练习1：

如图4，四边形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D。

求证：

AB＝AD。

例题2：

如图5：

已知：

AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BD＝CD，求证：

∠B＝∠C。

变式练习2：

如图6，四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC,点P恰在DC上。

∠C＝∠D＝90°。

（1）求证：

AP⊥BP；

（2）若∠D＝90°，猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？

请证明你的结论。

例题3：

已知：

如图7，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且

OB＝OC。

求证：

AO平分∠BAC

变式练习3：

如图8，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若

AB＝AC。

求证：

AD平分∠BAC。

例题4：

如图9所示，P为∠AOB内一点，OA＝OB，且△OPA与△OPB面积相等，

求证：

∠AOP＝∠BOP。

变式练习4：

如图10，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．如图11，在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则

点D到斜边AB的距离DE＝_____________。

2．如图11，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD︰CD＝3︰2，

BC＝15cm，则点D到AB的距离是__________。

3．如图11所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E。

若

AB＝10，

＝20，则CD＝________。

4．如图11，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，则△DBE的周长等于（）。

A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm

5．如图12，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B等于（）。

A．22.5°B．25°C．30°D．40°

6．

如图13所示，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，∠DPC＝130°，则

∠AOP＝_______°，∠BOP＝_________°。

7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）。

A．三条中线的交点B．三条高的交点

C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点

8．已知△ABC中，∠A＝80°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，则∠BDC＝___________度。

9．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）。

A．两个三角形全等

B．两个三角形一定不全等

C．如果还有一角相等，两三角形就全等

D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等

10．如图14，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分

∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC＝β，

则表示∠AOD的代数式为（）。

A．2α－βB．α－βC．α+βD．2α

（B）能力提高

1．如图15，△ABC的两个外角平分线相交于点P，若设∠A＝

，

则∠BPC等于（）。

A．

B．

C．

D．

2．阅读下题及证明过程：

已知：

如图16，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：

∠BAE＝∠CAE。

证明：

在△AEB和△AEC中，

∵EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，AE＝AE，

∴△AEB≌△AEC……第一步

∴∠BAE＝∠CAE……第二步

问上面证明过程是否正确？

若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。

3．如图17，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE，

求证：

BD＝EC+ED。

4．已知，如图18，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE交于点F，AE＝AD。

求证：

点F在∠A的平分线上。

（C）趣味数学

如图19，找出头、脚数字间的规律，把“？

”换成数。

四、考考你

1．到一个角的两边距离相等的点都在_________。

2．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________。

3．如图19，∠AOB＝60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD＝CE，则∠DOC＝________。

4．如图20，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE＝3cm，

BD＝5cm，则BC＝_________cm。

5．如图21示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是______。

五、课外练习

如图22，∠B＝∠C，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：

BE＝CF。

补充讲义全等三角形

（二）

【能力拓展】

1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25

（1）△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？

如果有，请作出这一点，并说明理由；

（2）求这个距离。

2．如图2，ΔABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠DBC与∠BCE的平分线交于点P，∠BDE和∠CED的平分线交于点Q。

求证：

A、P、Q三点在同一条直线上。

3．如图3，BN平分∠ABC，P为BN上任意一点，PD⊥BC于D，且AB+BC=2BD，

求证：

∠BAP+∠BCP＝180°

图3

【课堂小测】共5小题，每1小题20分，共100分

1．如图4，在△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数＝。

E

2．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为（）。

A．18B．16C．14D．12

3．如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则（）。

A．AF＝2BFB．AF＝BFC．AF＞BFD．AF＜BF

4．如图6，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，那么∠EDF等于（）。

A．90°-∠AB．90°-

∠AC．180°-∠AD．45°-

∠A

5．已知：

如图7，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝2，则两平行线AB和CD之间的距离为。

初二数学讲义第二讲参考答案（56期）

一、主要知识点回顾

1．BOC，AOB；2．

（1）PE；

（2）BOC；AOB；

二、感悟与实践

例题1：

证明：

∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE，∠AOC＝∠BOC，

在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE，

∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），∴OD＝OE

在△ODF和△OEP中，OD＝OE；∠AOC＝∠BOC，OF＝OF，

∴△ODF≌△OEP（SAS），∴DF＝EF。

变式练习1：

证明：

连结AC，

∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC＝CD，

∴∠BAC＝∠DAC，∠B＝∠D＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD，

∴AB＝AD。

例题2：

证明：

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，

又∵BD＝CD，∴△DBE≌△DCF（HL），∴∠B＝∠C。

变式练习2：

（1）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，又∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，

∴∠PAB＝

，∠PBA＝

，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴AP⊥BP。

（2）AB＝AD+BC，

证明：

作PE⊥AB于E，

E

∵AP平分∠DAB，∠D＝90°，

∴PE＝PD，又∵AP＝AP，

∴△PDA≌△PEA（HL），

∴AD＝AE，同理可得BC＝BE，

又∵AB＝AE+BE，∴AB＝AD+BC。

例题3：

证明：

∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，

∴∠BEO＝∠CDO＝90°，又∵OB＝OC，∠EOB＝∠DOC，

∴△BEO≌△CDO（AAS），∴OE＝OD，∴AO平分∠BAC，

变式练习3：

证明：

∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠AEB＝∠ACE＝90°，∠DFB＝∠DEC＝90°，

在△ABE和△ACF中，∵

，

∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，

又∵AB＝AC，∴BF＝CE，

在△DBF和△DCE中，∠FBD＝∠DEB，∠BDF＝∠CDE，BF＝CE，

∴△DBF≌△DCE（AAS），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC。

例题4：

证明：

作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，

∵OA＝OB，且△OPA与△OPB面积相等，

∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，

变式练习4：

解：

∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，

又∵

+

＝

，∴10DE+4DF＝28，

∴14DE＝28，∴DE＝2。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．8；2．6；3．4；4．A；5．C；

6．25、25；7．D；8．130；9．D；10．A。

（B）能力提高

1．A；

2．上面证明过程不正确；错在第一步。

正确过程如下：

在△BEC中，∵BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，

又∵∠ABE＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC。

在△AEB和△AEC中，AE＝AE。

BE＝CE，AB＝AC，

∴△AEB≌△AEC，∠BAE＝∠CAE。

3．先证△ABD≌△ACE，得BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝AD+DE＝EC+ED。

4．证明：

连结AF，

∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

又∵AE＝AD，AF＝AF，∴△ADF≌△AEF（HL），∴DF＝EF，

∴点F在∠A的平分线上。

（C）趣味数学

四、考考你

1．这个角的平分线上；2．1.5cm；3．30°；4．8；5．5

五、课外练习

证明：

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，DE＝DF，又∵∠B＝∠C，

∴△DBE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF。

初二数学补充讲义第二讲参考答案（56期）

【能力拓展】

1．

（1）作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P为符合要求的点，如下图所示，

作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为F、E、G

因为AP是∠BAC的平分线，所以PE＝PG

因为CP是∠ACB的平分线，所以PF＝PG

所以PE＝PG＝PF

（2）连接BP，设PE＝PG＝PF＝x

因为

即

AB×BC＝

AB

＋

AC

＋

BC

7×24＝（7＋24＋25）x

∴

，即这个距离为3

2．提示：

先证点P到AB、AC的距离相等，所以点P在∠A的平分线上；然后再证明点Q到AB、AC的距离也相等，所以点Q也在∠A的平分线上。

所以A、P、Q三点在同一直线上（都在∠A的平分线上）

3．证明：

过点P作PE⊥AB于E

∵BN平分∠ABC，PD⊥BC，PE⊥AB

∴∠BEP＝∠BDP＝∠PDC＝90º，PE＝PD

在△RtPBE和Rt△PBD中，

∵PB＝PB，PE＝PD

∴Rt△PBE≌RT△PBD（HL），

∴BE＝BD

∵AB+BC＝2BD，BE＝AB+AE，BC＝BD+CD，

∴AE＝CD

在△PAE和△PCD中，

∵AE＝CD，∠PEA＝∠PDC，PE＝PD

∴△PAE≌△PCD（SAS），

∴∠PAE＝∠PCD

∴∠BAP+∠BCP＝∠BAP+∠PAE＝180°

【课堂小测】

1．30°2．C3．B4．B5．4