九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案doc.docx
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九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案doc
九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案
一、锐角三角函数
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A'处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机A'上看目标的俯角的正切值.
【答案】
（1）120米；
（2）23.
5
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过A'作A'EBC交BC的延长线于E，连接A'D，于是得到A'EAC60，
CEAA'303，在Rt△ABC中，求得DC=3AC=203，然后根据三角函数的定义
3
即可得到结论．
【详解】
解：
（1）由题意得：
∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
60
AC
=1
=120（m）
AB=
sin30
2
（2）过A'作A'E
BC交BC的延长线于E，连接A'D，
则A'EAC
60
，CEAA'
303，
在Rt△ABC中，AC=60m，∠ADC=60°，
DC=3AC=203
3
DE=503
tan∠AA'D=tan∠A'DC=A'E=
60
2
3
=
DE
503
5
答：
从无人机
A'上看目标D的俯角的正切值是
23．
5
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉
私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦
截．（结果保留根号）
（参考数据：
sin37°＝cos53°≈，cos37＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】
（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；
（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出
AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出
CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）在△ABC中，
ACB180
B
BAC
180
37
53
90.
在RtVABC中，sinB
AC，所以AC
ABsin37
25
3
15
（海里）.
AB
5
答：
观察哨所A与走私船所在的位置
C的距离为15
海里.
（2）过点C作CM
AB，垂足为M，由题意易知，
D、C、M在一条直线上.
在RtVACM中，CM
ACsin
CAM
154
12
，
5
AMACcosCAM
3
9.
15
5
在Rt△ADM中，tanDAM
MD
，
AM
所以MD
AMtan76
36.
所以AD
AM2
MD2
92
362
917，CD
MD
MC24.
设缉私艇的速度为
v海里/小时，则有24
917，解得v
617.
16
v
经检验，v
617是原方程的解.
答：
当缉私艇以每小时6
17海里的速度行驶时，恰好在
D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图
OB与底板OA所在水平线的夹角为120°2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热
架ACO＇后，电脑转到
AO＇B＇位置（如图
3），侧面示意图为图
4．已知
OA=OB=24cm，
O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．
（1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏
O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
【答案】（
1
）
∠CAO′=30°2
36
﹣
12
）
cm
；（
3
）显示屏
O′B′
O′
；（）（
应绕点
按顺时针
方向旋转30°．
【解析】
试题分析：
（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12
，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B应′绕点O′按顺时针方向旋转
30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30，°既是显示屏
O′应B′绕点O′按顺时针方向旋转
30°．
试题解析：
（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30；°
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，
∵∠AOB=120，°∴∠BOD=60，°∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，
∠CAO′=30，°
∴∠AO′C=60，∵°∠AO′B′=120，∴∠°AO′B∠′+AO′C=180，°
∴O′B′﹣+OBD=24+12′C﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B应′绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：
∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120，°
∴∠FO′∠A=CAO′=30，°∵∠AO′B′=120，°∴∠EO′B∠′=FO′A=30，°
∴显示屏O′应B′绕点O′按顺时针方向旋转30°．
考点：
解直角三角形的应用；旋转的性质．
4．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），
1
∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
2
（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：
△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：
BF
，并结合图
2证明你的猜想；
=
PE
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图
3），若∠ACB=α，求BF的
PE
值．（用含α的式子表示）
【答案】
（1）证明见解析（
2）BF
1
（3）BF
1tan
PE
2
PE
2
【解析】
解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB="OP"，∠BOC=∠BOG=90．°
∵PF⊥BG，∠PFB=90，°∴∠GBO=90—°∠BGO，∠EPO=90—°∠BGO．∴∠GBO=∠EPO．∴△BOG≌△POE（AAS）．
（2）BF
1
．证明如下：
PE
2
如图，过
P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
00
∵∠MBN=90—∠BMN，∠NPE=90—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．
1
∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．
2
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．
又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF"，即BF=1BM．
2
1
BF
1
∴BF=PE，即
PE
．
2
2
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．
由
（2）同理可得BF=1BM，∠MBN=∠EPN．
2
∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN．
BM
BN
∴
．
PE
PN
BN
BM
，即
2BF
在Rt△BNP中，tan=
，∴=tan
=tan．
PN
PE
PE
∴BF=1tan．
PE
2
（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE．
（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到
BF1
BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出的结论．
PE2
（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同
（2）证得BF=1BM，
2
∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由BM
BN和Rt△BNP中tan
=BN即
PE
PN
PN
可求得BF=1tan．
PE2
5．如图，平台AB高为12m，在
角为30°，求楼房CD的高度（
B处测得楼房3＝1．7）．
CD顶部点
D的仰角为
45°，底部点
C的俯
【答案】32．4米．
【解析】
试题分析：
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
试题解析：
如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，
CE
∴BE=CE?
cot30°=12×
，
3=123
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=123．
∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.．4
答：
楼房CD的高度约为32.4m．
考点：
解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
6．如图
（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，
∠CDE=90，°CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴
正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图
（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME
的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为
S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
S，请写出
【答案】
（1）∠BME=15°；
（2BC=4；
（3）h≤2时，S=﹣
h2+4h+8，
当h≥2时，S=18﹣3h．
【解析】
试题分析：
（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；
（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；
（3）需要分类讨论：
①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于
点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：
解：
（1）如图2，
∵在平面直角坐标系中，点
A（0，﹣6），点
B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45，°
∵∠CDE=90，°CD=4，DE=4
，
∴∠OCE=60，°
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60﹣°45°=15，°
∴∠BME=∠CMA=15°；
如图3，
∵∠CDE=90，°CD=4，DE=4
∴∠OBC=∠DEC=30，°
∵OB=6，
∴BC=4；
（3）①h≤2时，如图4，作
，
MN⊥y轴交
y轴于点
N，作
MF⊥DE交
DE于点
F，
∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，
∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，
∴，
∴，
解得FM=4﹣，
△EDCS△EFM=×4×4
﹣（
4
4
h
×4
﹣
=
h2
∴S=S
﹣
﹣
）（
）﹣
+4h+8，
②如图3，当h≥2时，
S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．
考点：
1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；
（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移
动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x
的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在
（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？
若存
在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，
【答案】
（1）45；
（2）详见解析；（
3）使得△AA′B′成为等腰三角形的
x的值有：
0
2
秒、3
秒、6
69．
2
5
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝
A'B'CE
可求出CE，即可计算△CED′的面积，SABCE＝SABD′﹣SCED′；
A'D'CD'
（2）分类讨论，当0≤x≤11时和当11＜x≤4时，分别列出函数表达式；
55
（3）分类讨论，当AB′＝A′B′时；当AA′＝A′B′时；当AB′＝AA′时，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：
（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴BD＝10cm，
根据旋转的性质可知
A'B'CE
∵tan∠B′D′A′＝
A'D'CD'
6
CE
∴
2
8
∴CE＝
3
cm，
2
∴SABCE＝SABD′﹣SCED′＝
86
23
2
45
（cm2）；
2
2
2
（2）①当0≤x＜11时，CD′＝2x+2，CE＝3（x+1），
52
△CD′E
3
2
3
，
∴S
＝
x+3x+
2
2
∴y＝
1
3
2
3
3
2
45
×6×8﹣
x
﹣3x﹣
＝﹣
x﹣3x+
；
2
2
2
2
2
②当
11
≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝
4（8﹣2x）
53
∴y
1
4
8
2x
2
＝
8
x2﹣64
x+
128．
2
3
3
3
3
（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；
②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+
18，A′M＝NB＝24
，
5
5
∵AN2+A′N2＝36，
∴（6﹣
24）2+（2x+
18）2＝36，
5
5
解得：
x＝6
6
9，x＝
669（舍去）；
5
5
③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+
18，A′M＝NB＝24
，
5
5
∵AB22＝AN2
+A′N
2
+BB′
∴36+4x2＝（6﹣24）2+（2x+18）2
5
5
解得：
x＝3
．
2
综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的
x的值有：
0秒、3
秒、6
69．
2
5
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，
1
40），直线AB：
y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作
3
EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．
（1）求边EF的长；
（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形
E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．
①当点F1移动到点B时，求t的值；
②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE
重叠部分的面积．
【答案】
（1）EF＝15；
（2）①10；②120；
【解析】
【分析】
（1）根据已知点
E（30，0），点D（0，40），求出直线
DE的直线解析式y=-4
x+40，可
3
求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；
（2）①易求B（0
，5），当点F1移动到点B时，t=10
10÷10=10；
②F点移动到F'的距离是10
t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE
上时，在Rt△F'NF中，NF=
1，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，MH
4
，
NF
3
EM
3
1
45
1023
；当点G运动到直线
PK
=
1
t=4，S=×（12+
）×11=
DE上时，在Rt△F'PK中，
，
2
4
8
FK
3
PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，
升级会员 