},
∴B=A∪{x|1≤x≤
}={x|1≤x<
},又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-
)2-
知:
g(x)在B上为减函数,∴g(x)max=g
(1)=-4.
[例2]已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈[0,
]都成立?
若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由.
命题意图:
本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目.
知识依托:
主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析:
考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法.
技巧与方法:
主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.
解:
∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),
即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.
设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2-mt+2m-2=(t-
)2-
+2m-2在[0,1]上的值恒……
(为锻炼您的习作能力,巩固复习效果,以下步骤请自行完成)
高考数学重点难点复习(9):
指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
●难点磁场
(★★★★★)设f(x)=log2
F(x)=+f(x).
(1)试判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明:
对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n)>
;
(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明:
方程F-1(x)=0有惟一解.
●案例探究
[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明:
点C、D和原点O在同一条直线上;
(2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.
命题意图:
本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
知识依托:
(1)证明三点共线的方法:
kOC=kOD.
(2)第
(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程
(1),即可求得A点坐标.
错解分析:
不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
技巧与方法:
本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明:
设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知:
x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上,所以
点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=
=
3log8x2,所以OC的斜率:
k1=
OD的斜率:
k2=
,由此可知:
k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解:
由BC平行于x轴知:
log2x1=log8x2
即:
log2x1=
log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得:
x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知
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高考数学重点难点复习(10):
函数的图象及其变换
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.
●难点磁场
(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.
●案例探究
[例1]对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),
(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和.
命题意图:
本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.
知识依托:
把证明图象对称问题转化到点的对称问题.
错解分析:
找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化.
技巧与方法:
数形结合、等价转化.
(1)证明:
设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=
f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上,而
=a,∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线x=a对称,故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)解:
由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,若x0是f(x)=0的根,则4-x0也是f(x)=0的根,由对称性,f(x)=0的四根之和为8.