导数研究函数零点问题docx.docx

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利用导数研究方程的根

函数与兀轴即方程根的个数问题解题步骤

第一步：

画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：

由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：

解不等式（组）即可；

1.已知函数f（x）=x-l+—（aER>c为自然对数的底数）.

⑴求函数/（X）的极值；

⑵当d=1的值时，若直线l'.y=kx-1与曲线y二/（%）没有公共点，求k的最大值.

（1）广（*）=1-务

1当*0时，/©）〉0,/⑴为（-00,+00）上的增函数,所以函数/⑴无极值.

2当°〉0时，令广（x）=0,得"=a,x=\na.

xe（-oo,lntz）,/'（x）<0;xw（lna,+oo）,/z（x）>0.

所以/（兀）在（-oojnt/）上单调递减，在（Inez,+8）上单调递增，

故/（兀）在x=\na处取得极小值，且极小值为/（In6/）=ln6z,无极大值.

综上当a<0时,函数/（%）无极小值;

当。

〉0,/（兀）在x=\na处取得极小值Ina,无极大值.

（2）当d=l时,/（x）=x-14--y.

e

直线l-y=kx-\与曲线y=f（x）没有公共点，

等价于关于兀的方程kx-]=x-\+丄在/?

上没有实数解，即关于尤的方程：

（£-1）兀=丄（*）

ee

在/?

上没有实数解.

1当k二1时，方程（*）可化为—=0,在R上没有实数解.

e

2当RH1吋，方程（*）化为丄=兀占.

k-\

令g（x）=xe\则有g，（兀）=（1+兀）

令g'（兀）=0,得兀=一1,

当兀变化时，g'（x）的变化情况如下表：

X

（-8,-1）

-1

（-l,+oo）

g‘⑴

—

0

+

g（x）

■

1

e

■

当X=-l时，g（x）min=-丄'同时当X趋于+8时，g（兀）趋于+00,e

/、「1、从而g（x）的取值范围为-一,+00•

e

综上，得£的最大值为1.

2.已知函数/（劝=丄疋_血辺兀2,g（Q二丄_尬，且/（兀）在区间（2,+00）±为增函数.323

（1）求实数R的収值范围；

（2）若函数兀力与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.

解：

（1）由题意广⑴=_?

—伙+»v在区间（2,+00）上为增函数，

・・・f\x）=F—伙+]）兀>0在区间（2,+00）上恒成立

即比+lvx恒成立，又兀〉2,・・・比+1<2,故k

.k的取值范围为k

v3（b+1

（2）设//（兀）=/（兀）_g（x）=x2kx——,

323

hf（x）=x2_（&+1）兀+&=（x—k）（x-1）

令hr（x）=0得x=k或兀=1由

（1）知k<\,

1当£=1吋，/zz（x）=（x-l）2>0,加兀）在R上递增，显然不合题意…

2当k

X

Y,k）

k

伙,1）

1

（1,+8）

hf（x）

+

0

—

0

+

h（x）

/

HZ,QQk21极大值+

623

\

b一1极小值

2

7

k一1

由于——<0,欲使/（兀）与g（x）的图象有三个不同的交点，即方程h（x）=0有三个不同的实根,2

k3k21?

\k<\厂

故需——+>0,即伙一1）伙2—2Z；—2）vO\°,解得k<]-^3

6232£-2>0

综上，所求R的取值范围为k<\-品

3.已知函数/（x）=ln0+a）（a为常数）是实数集/?

上的奇函数，函数g（x）=A/（x）+sinx是区间

（1）求a的值;

（2）若g（x）

⑶讨论关于x方程—=x2-2ex+m的根的个数.

/（X）

解：

（I）f（x）=ln（ex+a）是奇函数，则/（0）=0恒成立.ln（e°+a）=0..\e°+a=l9.\a=0.

（II）又vg（x）在［―1,1］上单调递减，

g（X）max=g（—1）=—几—sin1,只需一兄一sin1W厂+〃+1,

由函数g（x）=Ax+sinx在区间［一1,1］上是减函数，知g'O）=>l+cosx<0,有2<-1

/.（t+1）A+严+sin1+1n中25—令/i（A）=（r+1）A+严+sin1+1（A5—1）,

t<-\

/+150

-Z-l+r+sin1+1>0,

■

<

Z2-r+sinl>0/.t.

而尸-r4-sin1恒成立

］nV

（TTI）由（T）f（x）=x,:

.方程为=x2-2ex+m.

x

令fx（x）=—,/oW=X2-2er+m,・.・//（x）=-―鉴，

XX

当兀毎（0,e）0t/；（x）>0,（x）在（0,e］上为增函数:

XG［匕+00）时,f\x）<0,:

（兀）在［0,w）上为减函数,

当x=幺时’/,（x）max=f\（

）=-.而,2（兀）=（x-e）2+m-e2,e

•••函数/;（%）、氏（X）在同一坐标系的大致图象如图所示，

・••①当m—e2>—，即m>/—时，方程无解.

ee

②当m-e2二丄，即加二，+丄时，方程有一个根.

ee

3当m—,即m<—时，方程有两个根.

ee

々r\

4.已知函数/（x）=axsinx--（aeR）,且在［0,-］上的最大值为比2

222

（1）求函数/（X）的解析式；

⑵判断函数/（Q在（0,龙）内的零点个数，并加以证明.

（1）由己知得广（x）=a（sinx+cosx）,对TV%g（0,y）,有sinx+cosx>0,

3

当a=0时，/（兀）=—㊁，不合题意；

7T

当°<0时,xe（0,-）,/\x）<0,

2

从而/（兀）在（0,兰）单调递减，

371

又函数/（x）=ovsinx--（tzG/?

）在［0,牙］上图象是连续不断的，

22

ji3

故函数在L0,|j上上的最大值为/（0）=-才，不合题意；

7TTT

当a>0时,,xe（0,—），广⑴>0,从而/（x）在（0,-）单调递增,

22

371

又函数/（%）=arsinx--（6/e/?

）在［0,彳］上图象是连续不断的，

22

故函数在［0,-1上的最大值为r（-）=-sin---=口，

2‘22222

解得d=1,综上所述，/（x）=xsinx-—

2

3

（2）f（x）=xsinx-—=>h（x）=fr（x）=sinx+xcosx

TTTT

①当xg［0,-］时，f（x）>0^y=/（兀）在（0,尸］上单调递增

/（0）/（彳）=—卜宁<0=尸/（X）在（0,彳］上有唯一零点

7T7T

②当xw［―,兀］时，力'（兀）=2cos兀一兀sinxvO=>/'（«¥）当xg［―，^］上单调递减

2_

7777J1

=-—<0^存在唯一XOe（-,^）使.广（X。

）=0

fr（x）>0<=>—0<=>%0

TT

得：

/O）在［亍,兀0）上单调递增，（观,刃上单调递减

ji3

/（-）>0,/（^）=--<0

7T

得：

XG［―,XO］0^,/（X）>0,

无丘［无）,刃时，/（兀（））/（龙）<0,y=/（x）在［x（）,刃上有唯一零点

由①②得：

函数/（兀）在（0,兀）内有两个零点。

5.已知函数/（兀）=a?

+加2+b在点勺处取得极小值一4,使其导数f\x）>0的兀的取值范围为

（1,3）,求：

（1）/（力的解析式;

（2）若过点P（-1,加）可作曲线y=/（x）的三条切线，求实数加的収值范围.

解：

⑴由题意得：

/*（%）=3oy2+2bx+c=3a（x-1）（兀一3）,（a<0）

・・・在（—oo,l）上广（x）<0；在（1,3）上广（力>0；在（3,+oo）上广⑴v0因此/（%）在x（）=1处取得极小值-4

:

.a+b+c=-4®,/‘⑴=3a+2b+c=0②，广⑶=27a+6b+c=0③

由①②③联立得：

彳

a=-\

b=6,.If（x）=-x3+6x2-9x

c=-9

（2）设切点Q（/,/（r））‘y-f（t）=f

y=（—3尸+12—9）（%-r）+（—戸+6尸-9r）

=（—3/2+12/—9）%+t\3t~—12z+9）—/（广—6/+9）

=（—3尸+12/—9）兀+r（2/2—6f）过（一1,in）

m=（—3尸+12/—9）（-1）+2t3-6t2g（Z）=2r3-2r2-12z+9-m=0令g\t）=6t2-6t-\2=6（r-r-2）=0,求得：

r=-l,r=2,方程g（r）=0有三个根。

，亠.Jg（一l）〉0f-2-3+12+9-;n>0|/n<16芾］g

（2）<0［16-12-24+9-m<0［m>-11故：

一11<加<16；因此所求实数加的范围为：

（一11,16）

6.己知f（x）=x3-ax2-4x（q为常数）在x=2时取得一个极值，

（1）确定实数f的取值范围，使函数/（x）在区间［r,2］上是单调函数；

（2）若经过点A（2,c）（c工—8）可作曲线j=f（x）的三条切线，求c的取值范围.解：

（1）・・•函数/（兀）在x=2时取得一个极值，且yr（x）=3x2-2ax-4,

/'

（2）=12-4^7-4=0,.\a=2f（x）=3x2-4x-4=（3x+2）（兀-2）.

222

x———或x=2时，ff（x）=0,x<——或x>2时，fr（x）>0,——

333

2?

f（x）<0,/（x）在（—8,——1,2+8）上都是增函数，在［-—,2］上是减函数.

・••使f（x）在区间［r,2］上是单调函数的t的取值范围是［-2,2）

（2）由⑴知f（x）=x3-2x2-4x.设切点为P（x0,yQ）,则切线的斜率k=f\x0）=3对-4x0-4,所以切线方程为：

）一（£-2彳-4州）=（3斥-4耳-4）（—和・将点A（2,c）代人上述方程，整理得：

2琉—8xq+8x（）+8+c=0•

•・•经过点A⑵c）（ch-8）可作曲线y=/（x）的三条切线，・・・方程2总—8兀+8勺+8—c=0有三个不同的实根.设g（x°）=2兀：

—8卅—8斗）+8+c,贝ij

22?

g'（x（））=6丘一16兀（）+8=0=>尢（）二一或兀（）二2,gOo）在（-00,—）上单调递增,在（一,2）上单调递

333

7.设函数f（x）=lnxd——eR.

x

（1）当m-e（幺为自然对数的底数）时，求/（x）的极小值；

X

（2）讨论函数g（兀）=广（兀）-寸零点的个数;

（3）若对任意b>a>0,/（〃）_/（d）vi恒成立,求加的取值范围.

b-a

解：

（1）时，f（x）=lnx+—,

Ipx—p・•・/（兀）的定义域为（0,+00）,f\x）=——=二〒

XX"X"

当XG（e,+00）时，f\x）>0,/（%）在（e9+oc）上单调递增；

当xg（0,e）时，ff（x）<0,/（x）在（0,幺）上单调递减；

.・・x=幺时f（兀）取得极小值f（e）=\ne+-=2te

A/（x）的极小值为2o

x\mx

（2）由题设g（x）=ff（x）--=——--（x>0）,

3兀jt3

令g（x）=0得m=--x3+x（x>0）,设（p（x）=——x3+x（x>0）,则0（x）=-x2+1=-（兀+l）（x-1）,3

当%e（0,l）时，0（x）>O,0（兀）在（0,1）上单调递增；当兀丘（1,4-00）时，0（兀）<0,0（兀）在（1,+00）上单调递减;

Ax=1是0（兀）的唯一极值点，且是极大值点。

因此兀=1是0（兀）的最大值点。

2

・・・0（x）的最大值为0

（1）=-。

又0（0）=0,结合歹=卩（兀）的图象（如图），可知

2

1当加〉—时，函数g（x）无零点；

■丿

2

2当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；

■»

2

3当0<加<二时，惭数g（x）有两个零点；

4当加50时，函数g（x）有且只有一个零点；

22

综上所述，当722>—时，函数g（X）无零点，当加二一或加50时，函数g（X）有且只有一个零

2点，当0

（3）对任意h>a>0,/（〃）一/（°）<［恒成立等价于恒成立（*）b-a

设h（x）=f（x）-x=Inx+—-x（x>0）,则（*）等价于力（兀）在（0,+oo）单调递减。

X

Im

:

.//（x）=-1<0在（0,+oo）上恒成立，

XX

得111I~X~+X=—（X）~H在（0,+00）上怛成立，

24

V-（%--）2+-<-（当且仅当x=-时上式等号成立）

2442

・•・m>—・••加的取值范围是［—,+oo）

44

8.已知函数f（x）=ax3一2兀+c

⑴若x=-\是/（x）的极值点且/（尢）的图像过原点，求/（尢）的极值；

⑵若g（x）=^hx2-x+d,在

（1）的条件下，是否存在实数b,使得函数g（x）的图像与函数于（兀）的图

像恒有含X=-1的三个不同交点？

若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理rti.

解：

（1）V/（X）的图像过原点，贝|J/（O）=O^C=O广（无）=3血2+兀一2,

•••/'（X）=3兀2+兀一2=（3兀一2）（x+1）=0

（2）设函数g（x）的图像与函数/（无）的图像恒存在含x=-\的三个不同交点，等价于fM=g（x）有含x=-l的三个根，即：

/（—l）=g（—l）=>d=——1）'.x"H—x~—2x=—bx^—x—（b—1）整理得：

222

即：

疋—丄（b—1）F—兀+丄（b—1）=0恒有含x=—1的三个不等实根

22

.191

（计算难点来了：

）h（x）=x3——@_1）兀2_兀+_少_1）=0有含兀=_1的根,22

则h{x）必可分解为（x+1）（二次式）=0,故用添项配凑法因式分解，

x3+x2-x1-—（h-\）x2-x+—（Z?

-1）=O

22

x2（x+l）--（/?

+l）x2+x--（Z?

-l）=0

22

十字相乘法分解：

兀2（x+l）_*[@+l）x_（b_l）]（兀+1）=0

911_

（x+1）x2——（/?

+l）x+-（/?

-l）=0

2

••・X3--0-l）x2-x+-0-l）=0恒有含x=-l的三个不等实根

22

等价于/一2少+1）兀+2@-1）=0有两个不等于-1的不等实根。

22

A=J_@+l）2_4x丄（b—1）>0

49

n]nbw（-oo,—l）5i,32（3,4w）

（-1）2+-0+1）+-（/?

-1）^0

22