中考数学试题含答案.docx
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中考数学试题含答案
2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题
数学
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1.下列各数中最大的数是（）
A.5 B.
C.π D.－8
2.如图所示的几何体的俯视图是（）
3.据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（）
A.4.0570×109B.0.40570×1010C.40.570×1011D.4.0570×1012HHH
4.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）
A.55° B.60° C.70° D.75°
5.不等式组
的解集在数轴上表示为（）
6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:
3:
5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）
A.255分B.84分 C.84.5分 D.86分
7.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）
A.4 B.6 C.8 D.10
8.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）
A.（2014,0）B.（2015，－1）C.（2015,1）D.（2016,0）
二、填空题（每小题3分，共21分）
9.计算：
（－3）0+3－1=.
10.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，
若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=.
11.如图，直线y=kx与双曲线
交于点
A（1，a）,则k=.
12.已知点A（4，y1），B（
，y2），C（－2，y3）都在二次函数
y=（x－2）2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是.
13.现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完
全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再
背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数
字不同的概率是.
14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，
CE⊥OA交
于点E，以点O为圆心，OC的长为半径
作
交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为
.
15.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，
点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿
EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为.
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16.（8分）先化简，再求值：
，其中
，
.
17.（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.
（1）求证：
△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；
②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形.
18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。
根据以上信息解答下列问题：
（1）这次接受调查的市民总人数是；
（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
19.（9分）已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|.
（1）求证：
对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.
20.（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向走6米到达坡底A处，在坡底A处测得大树顶端B的仰角为48°.若坡角∠FAE=30°，求大树的高度.（结果保留整数，参考数据：
sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，
≈1.73）
21.（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元.
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.
22.（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
①当
时，
；②当
时，
（2）拓展探究
试判断：
当0°≤α＜360°时，
的大小有无变化？
请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F.点D、E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE.
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：
当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：
对于任意一点P，PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
C
D
C
B
二、填空题：
题号
9
10
11
12
13
14
15
答案
2
y3＞y2＞y1
和16
三、解答题
16.原式=
，原式=2.
原式=
÷
································································4分
=
·
=
···········································································6分
当a=
+1，b=
-1，原式=
=
=2··································8分
17.
（1）∵D是AC的中点，且PC=PB，
∴DP∥AB，DP=
AB，∴∠CPD=∠PBO·········································3分
∵OB=
AB，∴OB=DP，∴△CDP≌△POB·······································5分
（2）①4············································································7分
②60°（注：
若填60，不扣分）···················································9分
18.
（1）1000··········································································2分
（2）54°···········································································4分
（3）（按人数为100正确补全统计图）················································6分
（4）80×（26％+40％）=80×66％=52.8（万人）
所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数大约为52.8万人
··················································································9分
19.
（1）原方程可化为x2-5x+6-|m|=0······················································1分
∴Δ=（-5）2-4×（6-|m|）=1+4|m|························································3分
∵|m|≥0，∴1+4|m|≥0
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根·····································4分
（2）把x=1代入原方程，得|m|=2，∴m=±2··············································6分
|m|=2代入原方程，得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4
∴m的值为±2，方程的另一个根是4················································9分
20.延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H
由题意得：
∠DAE=∠BGA=30°，DA=6，∴GD=DA=6
∴GH=AH=DA·cos30°=6×
=
，∴GA=
··································2分
设BC的长为x米，在Rt△GBC中，GC=
=
=
x···················4分
在Rt△ABC中，AC=
=
···········································6分
∵GC-AC=GA，∴
x-
=
···············································8分
∴x=13，即大树的高度约为13米····················································9分
21.
（1）银卡消费：
y=10x+150·························································1分
普通消费：
y=20x······························································2分
（2）把x=0代入y=10x+150，得y=150，∴A（0，150）········································3分
由题意得：
，∴
，∴B（15，300）································4分
（3）当0＜x＜15时，选择普通票消费更划算；（注：
若写成0≤x＜15，不扣分）
当x=15时，选择购买普通票和银卡消费的总费用相同，均比金卡划算；
当15＜x＜45时，选择购买银卡消费更划算；
当x=45时，选择购买银卡和金卡消费的总费用相同，均比普通票划算；
当x＞45时，选择购买金卡消费更划算.···············································10分
22.
（1）①
·······································································1分
②
;·······································································2分
（2）无变化（注：
若无判断，后续证明正确，不扣分）·····························3分
在图1中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，∴
=
，∠EDC=∠B=90°，
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变
∴
=
仍然成立·····························································4分
又∵∠ACE=∠BCD=α，
∴△ACE∽△BCD，∴
=
···················································6分
在Rt△ABC中，AC=
=
=
，
∴
=
=
，
=
，
∴
的大小不变································································8分
（3）
或
.······························································10分
【提示】当△EDC在BC上方，且A、D、E三点共线时，四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=
；当△EDC在BC下方，且A、D、E三点共线时，△ADC是直角三角形，
由勾股定理得AD=8，∴AE=6，根据
=
，得BD=
23.
（1）抛物线解析式为
；················································3分
（2）正确，理由：
设P（x,
）,则PF=8-（
）=
·································4分
过点P作PM⊥y轴于点M，则
PD2=PM2+DM2=（-x）2+[6-（
）]2=
=
∴PD=
·······························································6分
∴PD-PF=
-
=2，∴猜想正确········································7分
（3）好点共有11个，·······························································9分
在点P运动时，DE的大小不变，∴PD与PE的和最小时，△PDE的周长最小
∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，∴PD+PE=PE+PF+2，
当P、E、F三点共线，PE+PF的值最小，
此时点P、E的横坐标都为-4
将x=-4代入
，得y=6
∴P（-4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”
∴当△PDE的周长最小的“好点”的坐标为（-4，6）································11分
【提示】△PDE的面积是S
，由-8≤x≤0，知4≤S≤13，
所以S的整数的整数值有10个，由函数图像得，当S=12时，“好点”有两个.
所以“好点”有11个.
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