5高考数学函数的单调性与最值知识点和题型考点归纳.docx

5高考数学函数的单调性与最值知识点和题型考点归纳.docx

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5高考数学函数的单调性与最值知识点和题型考点归纳

第二节函数的单调性与最值

v基础知识

1．增函数、减函数

定义：

设函数f（x）的定义域为I：

（1）增函数：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

（2）减函数：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．

增（减）函数定义中的x1，x2的三个特征

一是任意性；二是有大小，即x1x2）；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间.

有关单调区间的两个防范

（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．

（2）有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

3．函数的最值

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M或f（x）≥M.

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M.那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值或最小值．

函数最值存在的两条结论

（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．

v常用结论

在公共定义域内：

（1）函数f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）＋g（x）是增函数；

（2）函数f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）＋g（x）是减函数；

（3）函数f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）是增函数；

（4）函数f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）是减函数；

（5）若k>0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k<0，则kf（x）与f（x）单调性相反；

（6）函数y＝f（x）（f（x）>0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝

的单调性相反；

（7）复合函数y＝f[g（x）]的单调性与y＝f（u）和u＝g（x）的单调性有关．简记：

“同增异减”．

[典例]　

（1）求函数f（x）＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

（2）试讨论函数f（x）＝

（a≠0）在（－1,1）上的单调性．

[解]　

（1）易知f（x）＝

＝

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．

（2）法一：

定义法

设－1

f（x）＝a

＝a

，

则f（x1）－f（x2）＝a

－a

＝

.

由于－1

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），

函数f（x）在（－1,1）上单调递减；

当a<0时，f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

函数f（x）在（－1,1）上单调递增．

法二：

导数法

f′（x）＝

＝

＝－

.

当a>0时，f′（x）<0，函数f（x）在（－1,1）上单调递减；

当a<0时，f′（x）>0，函数f（x）在（－1,1）上单调递增．

[解题技法]　判断函数单调性和求单调区间的方法

（1）定义法：

一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．

（2）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

（3）导数法：

先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．

（4）性质法：

对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．

[题组训练]

1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0”的是（　　）

A．f（x）＝2x　　　　　　　B．f（x）＝|x－1|

C．f（x）＝

－xD．f（x）＝ln（x＋1）

解析：

选C　由（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0可知，f（x）在（0，＋∞）上是减函数，A、D选项中，f（x）为增函数；B中，f（x）＝|x－1|在（0，＋∞）上不单调；对于f（x）＝

－x，因为y＝

与y＝－x在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）在（0，＋∞）上是减函数．

2．函数f（x）＝log

（x2－4）的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）D．（－∞，－2）

解析：

选D　令t＝x2－4，则y＝log

t.因为y＝log

t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（－∞，－2）．

3．判断函数f（x）＝x＋

（a>0）在（0，＋∞）上的单调性．

解：

设x1，x2是任意两个正数，且x1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

（x1x2－a）．

当0

时，0

所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），

所以函数f（x）在（0，

]上是减函数；

当

≤x1a，x1－x2<0，

所以f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

所以函数f（x）在[

，＋∞）上是增函数．

综上可知，函数f（x）＝x＋

（a>0）在（0，

]上是减函数，在[

，＋∞）上是增函数．

[典例]　

（1）（2019•深圳调研）函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

（2）若函数f（x）＝－

＋b（a>0）在

上的值域为

，则a＝________，b＝________.

（3）函数f（x）＝

的最大值为________．

[解析]　

（1）图象法

函数y＝

作出函数的图象如图所示．

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞）．

（2）单调性法

∵f（x）＝－

＋b（a>0）在

上是增函数，

∴f（x）min＝f

＝

，f（x）max＝f

（2）＝2.

即

解得a＝1，b＝

.

（3）当x≤0时，f（x）＝－x2－4x＝－（x＋2）2＋4，而－2∈（－∞，0]，此时f（x）在x＝－2处取得最大值，且f（－2）＝4；当x>0时，f（x）＝sinx，此时f（x）在区间（0，＋∞）上的最大值为1.综上所述，函数f（x）的最大值为4.

[答案]　

（1）[3，＋∞）　

（2）1　

　（3）4

[提醒]　

（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域．

（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．

[题组训练]

1．函数f（x）＝

的值域为________．

解析：

当x>0时，f（x）＝x＋

≥4，

当且仅当x＝2时取等号；

当x<0时，－x＋

≥4，

即f（x）＝x＋

≤－4，

当且仅当x＝－2取等号，

所以函数f（x）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）．

答案：

（－∞，－4]∪[4，＋∞）

2．若x∈

，则函数y＝4sin2x－12sinx－1的最大值为________，最小值为________．

解析：

令t＝sinx，因为x∈

，

所以t∈

，y＝f（t）＝4t2－12t－1，

因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝

，所以当t∈

时，函数f（t）单调递减，

所以当t＝－

时，ymax＝6；

当t＝1时，ymin＝－9.

答案：

6　－9

3．已知f（x）＝

，x∈[1，＋∞），且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：

对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞）上恒成立，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞）上恒成立．

又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞）上单调递减，

∴（－x2－2x）max＝－3，故a>－3，

又∵a≤1，∴－3

答案：

（－3,1]

考法

（一）　比较函数值的大小

[典例]　设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）

A．f（π）>f（－3）>f（－2）　

B．f（π）>f（－2）>f（－3）

C．f（π）

D．f（π）

[解析]　因为f（x）是偶函数，所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f

（2）．

又因为函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数．

所以f（π）>f（3）>f

（2），即f（π）>f（－3）>f（－2）．

[答案]　A

[解题技法]　比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

考法

（二）　解函数不等式

[典例]　设函数f（x）＝

若f（a＋1）≥f（2a－1），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1]　　　　　　　　B．（－∞，2]

C．[2,6]D．[2，＋∞）

[解析]　易知函数f（x）在定义域（－∞，＋∞）上是增函数，∵f（a＋1）≥f（2a－1），

∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是（－∞，2]．

[答案]　B

[解题技法]　求解含“f”的函数不等式的解题思路

先利用函数的相关性质将不等式转化为f（g（x））>f（h（x））的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g（x）>h（x）（或g（x）

考法（三）　利用单调性求参数的范围（或值）

[典例]　（2019•南京调研）已知函数f（x）＝x－

＋

在（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

[解析]　设11.

∵函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数，

∴f（x1）－f（x2）＝x1－

＋

－

＝（x1－x2）

<0.

∵x1－x2<0，∴1＋

>0，即a>－x1x2.

∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.

∴a的取值范围是[－1，＋∞）．

[答案]　[－1，＋∞）

[解题技法]

利用单调性求参数的范围（或值）的方法

（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

（2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

[题组训练]

1．已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）<0恒成立，设a＝f

，b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c>a>bB．c>b>a

C．a>c>bD．b>a>c

解析：

选D　由于函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f

＝f

.当x2>x1>1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）<0恒成立，等价于函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以b>a>c.

2．已知函数f（x）＝

是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选B　由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.

又函数f（x）在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－

的图象开口向上，

所以函数f（x）在R上单调递减，

故有

即

所以a∈

.

A级

1．下列四个函数中，在x∈（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．f（x）＝3－x　　　　　　B．f（x）＝x2－3x

C．f（x）＝－

D．f（x）＝－|x|

解析：

选C　当x>0时，f（x）＝3－x为减函数；当x∈

时，f（x）＝x2－3x为减函数，当x∈

时，f（x）＝x2－3x为增函数；当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－

为增函数；当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－|x|为减函数．

2．若函数f（x）＝ax＋1在R上单调递减，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间是（　　）

A．（2，＋∞）B．（－∞，2）

C．（4，＋∞）D．（－∞，4）

解析：

选B　因为f（x）＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0.

而g（x）＝a（x2－4x＋3）＝a（x－2）2－a.

因为a<0，所以g（x）在（－∞，2）上单调递增．

3．已知函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f（2x－1）＜f

的x的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选D　因为函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的增函数，满足f（2x－1）＜f

.

所以0≤2x－1＜

，解得

≤x＜

.

4．（2019·菏泽模拟）定义新运算⊕：

当a≥b时，a⊕b＝a；当a

A．－1B．1

C．6D．12

解析：

选C　由题意知当－2≤x≤1时，f（x）＝x－2，当1

（1）＝－1，f

（2）＝6，∴f（x）的最大值为6.

5．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，那么不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（全集为R）（　　）

A．（－1,2）B．（1,4）

C．（－∞，－1）∪[4，＋∞）D．（－∞，－1]∪[2，＋∞）

解析：

选D　由函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，知不等式－3＜f（x＋1）＜1即为f（0）＜f（x＋1）＜f（3），所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（－∞，－1]∪[2，＋∞）．

6．已知函数f（x）＝

是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－3,0）B．（－∞，－2]

C．[－3，－2]D．（－∞，0）

解析：

选C　若f（x）是R上的增函数，则应满足

解得－3≤a≤－2.

7．已知函数f（x）＝

，则该函数的单调递增区间为________．

解析：

设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在（－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．

答案：

[3，＋∞）

8．函数f（x）＝

的最大值为________．

解析：

当x≥1时，函数f（x）＝

为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；当x<1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

答案：

2

9．若函数f（x）＝

在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为

，则a＝________.

解析：

由f（x）＝

的图象知，f（x）＝

在（0，＋∞）上是减函数，∵[2，a]⊆（0，＋∞），

∴f（x）＝

在[2，a]上也是减函数，

∴f（x）max＝f

（2）＝

，f（x）min＝f（a）＝

，

∴

＋

＝

，∴a＝4.

答案：

4

10．（2019·甘肃会宁联考）若f（x）＝

在区间（－2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

解析：

f（x）＝

＝

＝1＋

，要使函数在区间（－2，＋∞）上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.

答案：

（－∞，3）

11．已知函数f（x）＝

－

（a＞0，x＞0）．

（1）求证：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（2）若f（x）在

上的值域是

，求a的值．

解：

（1）证明：

任取x1＞x2＞0，

则f（x1）－f（x2）＝

－

－

＋

＝

，

∵x1＞x2＞0，

∴x1－x2＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）－f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

（2）由

（1）可知，f（x）在

上是增函数，

∴f

＝

－2＝

，f

（2）＝

－

＝2，

解得a＝

.

12．已知f（x）＝

（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．

解：

（1）证明：

当a＝－2时，f（x）＝

.

任取x1，x2∈（－∞，－2），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

.

因为（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0，

所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在（－∞，－2）内单调递增．

（2）任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

.

因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f（x1）－f（x2）＞0，

所以（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1.

所以0＜a≤1.

所以a的取值范围为（0,1]．

B级

1．若f（x）＝－x2＋4mx与g（x）＝

在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）∪（0,1]B．（－1,0）∪（0,1]

C．（0，＋∞）D．（0,1]

解析：

选D　函数f（x）＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g（x）＝

的图象由y＝

的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是（0,1]．

2．已知函数f（x）＝lnx＋x，若f（a2－a）>f（a＋3），则正数a的取值范围是________．

解析：

因为f（x）＝lnx＋x在（0，＋∞）上是增函数，

所以

解得－33.

又a>0，所以a>3.

答案：

（3，＋∞）

3．已知定义在R上的函数f（x）满足：

①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，②当x>0时，f（x）>－1.

（1）求f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数;

（2）若f

（1）＝1，解关于x的不等式f（x2＋2x）＋f（1－x）>4.

解：

（1）令x＝y＝0，得f（0）＝－1.

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f（x1－x2）>－1.

又f（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）＋f（x2）＋1>f（x2），　

所以函数f（x）在R上是单调增函数．

（2）由f

（1）＝1，得f

（2）＝3，f（3）＝5.

由f（x2＋2x）＋f（1－x）>4得f（x2＋x＋1）>f（3），

又函数f（x）在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，

解得x<－2或x>1，

故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．