容斥原理习题加答案Word格式.doc

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如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？

（　　）

　　A、15

　　B、25

　　C、35

　　D、40

　　【答案】C

　　【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：

100=50+75+10－A∩B，得：

A∩B=35。

　3.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？

（　 

）

　　A．120

　　B．144

　　C．177

　　D．192

　　【答案】A

　　【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

　　根据每个区域含义应用公式得到：

　　总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

　　＝63+89+47－{（x+24）+（z+24）+（y+24）}+24+15

　　＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

　　根据上述含义分析得到：

x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；

得本题答案为120.

　4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（　　）

　　A.22人B.28人C.30人D.36人

　　【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：

　　根据各区域含义及应用公式得到：

　　100＝58+38+52－{18+16+（12+ 

x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：

x＝14。

52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。

5.某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;

语文得90分以上的有21人;

两科中至少有一科在90分以上的有38人。

问两科都在90分以上的有多少人?

　　解：

设A={数学成绩90分以上的学生}

　　B={语文成绩90分以上的学生}

　　那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

　　∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

　　现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

　　∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

　　点评：

解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

　　6.某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?

设A={打篮球的同学};

B={跑步的同学}

　　则A∩B={既打篮球又跑步的同学}

　　A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

　　应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（人）

　　7.某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人;

同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人;

三个小组都参加的有2人。

问：

这个年级参加课外学科小组共有多少人?

　　解1：

设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

　　由题意知：

∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

　　∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

　　根据容斥原理二得：

　　∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

　　=23+27+18-（4+5+7）+2

　　=54（人）

山东公务员行测：

数量关系之容斥问题解题原理及方法

　　解2：

利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

　　设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。

区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。

区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。

区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。

区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。

同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为;

　　14+20+8+2+5+3+2=54（人）

解法2简单直观，不易出错。

由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

　　8.某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?

工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。

利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68

　　9.某次语文竞赛共有五道题（满分不是100分），丁一只做对了

（1）、

（2）、（3）三题得了16分;

于山只做对了

（2）、（3）、（4）三题，得了25分;

王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了28分，张灿只做对了

（1）、

（2）、（5）三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分?

由题意得：

前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。

五人得分总和是16+25+30+28+21=120。

因此，五道题满分总和是120÷

3=40。

所以李明得40分。

　　10.某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?

本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。

至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。

根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人）