华数思维训练导引行程问题.docx

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华数思维训练导引行程问题

华数思维训练导引　行程问题

（一）

1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。

问他走后一半路程用了多少分钟？

分析：

解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟

解法2：

设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：

x=40分钟

因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟

答：

他走后一半路程用了42.5分钟。

2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。

小明上学走两条路所用的时间一样多。

已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？

分析：

解法1：

设路程为180，则上坡和下坡均是90。

设走平路的速度是2，则下坡速度是3。

走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60　走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45　因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。

解法2：

因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75

解法3：

因为距离和时间都相同，所以：

1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：

上坡速度=0.75

答：

上坡的速度是平路的0.75倍。

3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。

那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？

分析：

解法１，第二小时比第一小时多走6千米，说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。

顺水走1小时比逆水多走8千米，说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路程差是5-3=2千米，等于1小时路程差的1/4，所以顺水速度是每小时5*4=20千米（或者说逆水速度是3*4=12千米）。

甲、乙两地距离是12*1+3=15千米

解法２，顺水每小时比逆水多行驶8千米，实际第二小时比第一小时多行驶6千米，顺水行驶时间=6/8=3/4小时，逆水行驶时间=2-3/4=5/4，顺水速度：

逆水速度=5/4：

3/4=5：

3，顺水速度=8*5/（5-3）=20千米/小时，两地距离=20*3/4=15千米。

答：

甲、乙两地距离之间的距离是15千米。

4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。

有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。

他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。

到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟？

分析：

骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。

骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5*8=40（分钟）。

答：

他从乙站到甲站用了40分钟。

5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。

现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。

问：

甲现在离起点多少米？

分析：

甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：

39+20=59（米）

答：

甲现在离起点59米。

6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：

东西两地的距离是多少千米？

分析：

解法1：

甲比乙1小时多走8千米，一共多走32*2=64千米，用了64/8=8小时，所以距离是8*（56+48）=832（千米）

解法2：

设东西两地距离的一半是X千米，则有：

48*（X+32）=56*（X-32），解得X=416，距离是2*416=832（千米）

解法3：

甲乙速度比=56：

48=7：

6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=2*32/（1/13）=832千米。

答：

东西两地间的距离是832千米。

7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。

0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。

又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。

结果3人同时在途中某地相遇。

问：

骑车人每小时行驶多少千米？

分析：

老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校4*（0.5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）

答：

骑车人每小时行驶20千米。

8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。

已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？

分析：

解法１，快车5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。

两车行1个单程用5小时，如果不停，再次相遇需要5*2=10小时，如果两车都停0.5小时，则需要10.5小时再次相遇。

快车多停30分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要30/（1+2/3）=18（分钟）所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟

解法2：

回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25全程，两车合起来少开1/25，节省时间=5*1/25=0.2小时，所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小时。

答：

两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。

9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。

这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。

问：

汽车速度是劳模步行速度的几倍？

解：

汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：

20，2点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8

答：

汽车速度是劳模步行速度的8倍。

10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。

甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。

如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？

分析：

两人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是AB，AB=速度差*追及时间。

速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。

所以：

追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）

答：

甲追上乙需要3小时。

　　11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。

兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。

问狗追上兔时，共跑了多少米路程？

分析：

狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗5步的距离，距离缩小1步。

狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）

答：

狗追上兔时，共跑了60米。

12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。

张的速度比李的速度每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。

当李到达乙地时，张又前进了8千米。

那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？

分析：

解法1，张速度每小时8/（20/60）=24（千米），李速度每小时24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是20*（20/60）=20/3（千米）所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米）

解法2：

张比李每小时快4千米，现共多前进了8千米，即共骑了8/4=2小时，张从甲到乙用了2*60-20=100分钟，所以甲乙两地距离=（100/20）*8=40千米。

答：

甲、乙两地之间的距离是40千米。

13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。

问这时是几时几分？

分析：

爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家8千米，说明爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=16分钟，时间是8点8分+8分+16分=8点32分。

答：

这时8点32分。

14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。

当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米。

那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？

分析：

兔子跑了10000-100=9900米，这段时间里乌龟跑了9900*1/5=1980米，兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米

答：

兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。

15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。

大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。

已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。

又知大轿车是上午10时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。

分析：

解法1，大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8=5/4，所以大车行驶时间是16/（5-4）*5=80分钟，小车行驶时间是80-16=64分钟，走到中间分别用了40和32分钟。

大车10点出发，到中间点是10点40分，离开中点是10点45分，到达终点是11点25分。

小车10点17分出发，到中间点是10点49分，比大车晚4分；到终点是11点21分，比大车早4分。

所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5分。

解法2：

大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，大轿车的用时是小轿车用时的1/0.8=1.25倍，大轿车比小轿车多用时17-5+4=16分钟，大轿车行驶时间=16*（1.25/0.25）=80分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64分钟，小轿车比大轿车实际晚开17-5=12分钟，追上需要=12*0.8/（1-0.8）=48分钟，48+17=65分=1小时5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是11时5分

答：

小轿车追上大轿车的时间是11点5分。

华数思维训练导引　行程问题

（二）

1、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。

一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？

分析：

从排尾到排头用的时间是450/（3-1.5）=300秒，从排头回排尾用的时间是450/（3+1.5）=100秒，一共用了300+100=400秒

答：

需要400秒。

2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。

这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。

这列火车的车身总长是多少米？

分析：

设火车速度是每秒X米。

行人速度是每秒3.6*1000/60*60=1（米），骑车人速度是每秒1.8*1000/60*60=3（米）　根据已知条件列方程：

（X-1）*22=（X-3）*26，解得：

X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米）

分析２，骑车人速度是行人速度的10。

8/3。

6=3倍，22秒时火车通过行人（设行人这22秒所走的路程为1），车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走的路程，即距离2；26秒（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行2+6/11=28/11，火车与骑车人的速度比为28/11：

6/11=14：

3；火车速度=14*10.8/3=504千米/小时；火车车长=（50400-3600）*22/3600=286米。

答：

这列火车的车身总长是286米。

　　3、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。

求列车与华车从相遇到离开所用的时间。

分析：

客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=20*23-210=250米

客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）

答：

客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。

　　4、铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去。

14小时10分钟追上向北行走的一位工人，15秒种后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。

问工人与学生将在何时相遇？

分析：

解法1：

工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米

　　学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米

　　14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟

　　14时16分+24分=14时40分

解法2：

（车速-工速）*15=车长=（车速+学速）*12,那么

　　工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）*车长

　　而14点10分火车追上工人，14点16分遇到学生时，工人与学生距离恰好是

　　（车速-工速）*6=6/15*车长

　　这样，从此时到工人学生相遇用时

　　（6/15*车长）/[（1/12-1/15）*车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24分

　　答：

工人与学生将在14时40分相遇。

5、东、西两城相距75千米。

小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千米。

3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到3人在途中相遇为止。

问：

小辉共走了多少千米？

分析：

3人相遇时间即明与强相遇时间，为75/（6.5+6）=6小时，小辉骑了15*6=90千米

答：

小辉共骑了90千米。

6、设有甲、乙、两3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。

现甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。

出发时，甲、乙为步行，丙骑车。

途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。

问：

3人之中谁最先达到自己的目的地？

谁最后到达目的地？

分析：

如图，甲与乙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。

当甲与乙在P点相遇时，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只走了MA。

所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。

甲最远，最后到；丙最短，最先到。

分析２，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。

将整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行2*3/4=3/2份，总步行4-3/2=5/2份；乙步行1+（2-3/2）=3/2，骑行4-3/2=5/2份，所以，丙最先到，甲最后到。

答：

丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。

7、有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。

现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇后6分钟后，甲又与丙相遇。

那么，东、西两村之间的距离是多少米？

分析：

甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此甲、乙相遇时走了：

[（100+75）*6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+80）*[（100+75）*6/（80-75）]=37800（米）

答：

东、西两村之间的距离是37800米。

8、甲、乙、丙3人进行200米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。

如果甲、乙、丙赛跑的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？

（答案保留两位小时。

）

分析：

乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑200/180*5=5（5/9）=5.56（米）

答：

当乙到达终点时，丙离终点还有5.56米。

9、张、李、赵3人都从甲地到乙地。

上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。

赵上午8时从甲地出发。

傍晚6时，赵、张同时到过乙地。

那么赵追上李的时间是几时？

分析：

甲、乙距离是5*12=60（千米），赵的速度是60/10=6（千米），赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间是8+4=12（点）

分析２，赵晚走2小时，此时张已走出5*2=10千米，李走出4*2=8千米，从上午8时到下午18：

00时，共10个小时，赵、张同时到达乙地，赵每小时比张多走10/10=1千米，那么赵比李每小时多走1+1=2千米，追上需要8/2=4小时，即追上为12：

00时。

答：

赵追上李的时间是12时。

　　10、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。

这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。

现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？

分析：

快车6分钟行24*1000*6/60=2400（米），中车10分钟行20*1000*10/60=3333（1/3）（米）

　　骑车人速度每分钟行（3333（1/3）-2400）/（10-6）=700/3（米）

　　慢车12分钟行2400-700/3*6+700/3*12=3800（米），每小时行3800/12*60=190000（米）=19（千米）

分析２，6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6*（24-20）/60=0.4千米，10分钟时，中车又开了4*20/60=4/3千米，追上骑车人，说明骑车人4分钟骑了4/3-0.4=14/15千米，即骑车人速度=（14/15）*（60/4）=14千米/小时，因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人6*（24-14）/60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+14*12/60=3.8千米，所以，慢车速度=（3.8/12）*60=19千米/小时。

答：

慢车每小时行19千米。

11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。

客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。

求甲、乙两站之间的距离。

分析：

第一次相遇一共走了全程S，其中客车走40千米　第二次相遇两车一共又走了3个全程2S，其中客车走（S+20）千米　所以S+20=3*40，解得S=100（千米）

答：

甲、乙两站之间的距离是100千米。

　　12、甲、乙、丙是3个车站。

乙站到甲、丙两站的距离相等。

小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。

小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进。

小明走到两站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。

问：

甲、丙两站的距离是多少米？

分析：

第一次相遇，小明走：

全程的一半+100米　　从第一次相遇点再到追上小强时离乙站300米，300-100=200米，小明又走：

全程+200米，可知第二段距离是第一段距离的2倍。

小强第二段也应该走第一段的2倍，100+300=400米，所以第一段走400/2=200米。

乙丙距离=200+100=300米，甲丙距离=2*300=600米。

答：

甲、丙两站距离是600米。

13、甲、乙两地之间有一条公路。

李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇。

张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。

张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。

问：

当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？

分析：

设李20分钟走1份距离，则80分钟走4份　　张20分钟后追上李，李这时走了4+1份距离，张202分钟走4+5=9份，所以速度比：

李速度/张速度=1/9。

李走完单程时张应该走9个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次）

答：

当李明到达乙地时，张平共追上李明4次。

14、甲、乙两车分别从A，B两地出发，在A，B之间不断往返行驶。

已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么两地之间的距离等于多少千米？

分析：

甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶5个AB，其中甲行5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行驶7个AB，其中甲行7*3/10=2（1/10）AB，这两点的距离是5/10-1/10=4/10AB=100（千米）　所以AB=100*10/4=250（千米）

答：

两地之间的距离是250千米。

15、两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？

分析：

5分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480米　　第一次迎面相遇，两人一共游了30米；以后两人和起来每游2*30=60米，就迎面相遇一次，480=30+60*7+30，迎面相遇了8次。

甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120米，甲第一次追上乙时，比乙多游30米；以后每多游2*30=60米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙2次　两人相遇次数=8+2=10次。

分析２，甲的速度是每秒游1米，一个来回60秒=1分钟，5分钟共游了5个来回；乙的速度是每秒游0.6米，一个来回100秒，5分钟共游了5*60/100=3个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。

答：

在这段时间内两人共相遇10次。

相遇问题

（一）

例1东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。

乙车每小时行多少千米？

分析:

    从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。

解：

（1）甲车一共行多少小时？

1.5+3=4.5（小时）

（2）甲车一共行多少千米路程？

25×4.5=112.5（千米）

（3）乙车一共行多少千米路程？

217.5-112.5=105（千米）

（4）乙车每小时行多少千米？

（105-15）÷3=30（千米）

答：

乙车每小时行30千米。

【边学边练】

AB两地间有一条公路长2800米，甲车从A地出发5分钟后，乙车从B地出发，又经过10分钟两车相遇。

已知乙车每分钟行100米，甲车每分钟行多少米？

例2兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。

哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。

哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。

从