学年九年级数学上册 第22章 第9课时 二次函数与一元二次方程导学案 新版新人教版.docx

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学年九年级数学上册第22章第9课时二次函数与一元二次方程导学案新版新人教版

二次函数与一元二次方程

（1）

一、学习目标

1．二次函数与一元二次方程之间的联系；

2．掌握二次函数图像与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别；

3．掌握交点式求二次函数解析式．

二、知识回顾

1．已知函数类型，求函数解析式的基本方法是：

　　待定系数法　　．

2．二次函数的表达式有三种：

（1）一般式：

　　y=ax²+bx+c（a≠0）　　；

（2）顶点式：

　　y=a（x-h）²+k（a≠0）　　；

（3）交点式：

　　．

三、新知讲解

1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况

（1）二次函数的图象与x轴的交点情况有三种：

有两个交点，有一个交点，没有交点．

（2）当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根．

二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点情况

一元二次方程ax2+bx+c=0的根

一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式

（即b2-4ac）

有两个交点

有两个相异的实数根

b2-4ac＞0

有一个交点

有两个相等的实数根

b2-4ac=0

没有交点

没有实数根

b2-4ac＜0

2.二次函数y=a（x-h）2+k的图象和x轴交点情况

根据顶点坐标和a的符号可以判断二次函数图象与x轴的交点情况.

（1）当顶点在x轴上方，a＞0时，二次函数图象与x轴没有交点；

（2）当顶点在x轴上方，a＜0时，二次函数图象与x轴有2个交点；

（3）当顶点在x轴上，无论a取何值（0除外），二次函数图象与x轴有1个交点；

（4）当顶点在x轴下方，a＞0时，二次函数图象与x轴有2个交点；

（5）当顶点在x轴下方，a＜0时，二次函数图象与x轴没有交点.

四、典例探究

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1．探究抛物线与x轴的交点情况

【例1】下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）

A．没有交点

B．只有一个交点，且它位于y轴右侧

C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧

D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧

总结：

二次函数的图象与x轴交点的情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

的符号判定．

，有两个不同的交点；

，有唯一一个交点；

，没有交点．

练1．（2015•东西湖区校级模拟）若抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）

A．m＜﹣1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞1

练2.（2015•讷河市校级模拟）下列函数中，其图象与x轴有两个交点的是（）

A．y=8（x+2009）2+2010B．y=8（x﹣2009）2+2010

C．y=﹣8（x﹣2009）2﹣2010D．y=﹣8（x+2009）2+2010

2．求抛物线与x轴的交点坐标

【例2】抛物线y=﹣2x2+3x﹣1与x轴的交点坐标是_________．

总结：

根据抛物线与x轴的交点坐标的特点，令y=0，即ax²+bx+c=0，求该一元二次方程的解即可得到抛物线与x轴的交点坐标．

练3.已知抛物线的顶点A（1，4），且抛物线经过点B（2，3），求此抛物线与x轴的交点坐标．

3．根据抛物线与x轴两交点求二次函数解析式

【例3】（2010秋•招远市期末）如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3），则此抛物线对此函数的表达式为（）

A．y=x2+2x+3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2﹣2x+3D．y=x2+2x﹣3

总结：

已知抛物线与x轴的两个交点及另外一点坐标求抛物线解析式时，可以设交点式y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标，再将另一点坐标代入求出a的值，最后代回原解析式即可.

练4.（2015•山西模拟）如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．

（1）求点C的坐标；

（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．

五、课后小测

一、选择题

1.（2012山东省滨州）抛物线

与坐标轴的交点个数是（　　）

A．3B．2C．1D．0

2．（2015•苏州）若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）

A．x1=0，x2=4B．x1=1，x2=5C．x1=1，x2=﹣5D．x1=﹣1，x2=5

3．（2015•桐庐县模拟）如图，函数y=﹣﹙x﹣1﹚2+c的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则另一交点的横坐标为（）

A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1

4．（2013•开阳县校级模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）

A．﹣1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对

二、填空题

5．（2009•延庆县二模）抛物线y=2x2﹣5x+3与X轴的交点有______个．

6．（2015•大庆模拟）若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是_____．

7．（2011秋•武冈市校级月考）抛物线y=x2﹣6x﹣16与x轴交点的坐标为_________．

8．（2012秋•荆州区校级期末）如图所示的抛物线解析式为，与x轴的另一个交点的坐标是______．

9．（2015•建邺区二模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：

方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为__________．

三、解答题

10.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；

11．（2015•山西模拟）如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．

（1）求点C的坐标；

（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．

12．（2009秋•温州期末）已知二次函数y=x2﹣2x+c的图象如图所示．

（1）求c的值和抛物线的顶点坐标；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标．

13．（2009•西城区一模）已知抛物线y=﹣x2+（m+2）x+3m﹣20经过点（1，﹣3），求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标．

典例探究答案：

【例1】【解析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式及顶点坐标可得答案．

解：

当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，

∵a＞1

∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，

ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数图象与有两个交点，

对称轴

，

故选：

D．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．

练1．【解析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．

解：

∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，

解得：

m＜1．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了抛物线与x轴交点，正确把握△的符号是解题关键．

练2．【解析】通过二次函数的图象的开口方向，顶点坐标即可判断其图象与x轴的交点个数．

解：

A、∵y=8（x+2009）2+2010，

顶点在第二象限，开口向上，

∴与x轴无交点；

B、∵y=8（x﹣2009）2+2010，

顶点在第一象限，开口向上，

∴与x轴无交点；

C、y=﹣8（x﹣2009）2﹣2010，

顶点在第四象限，开口向下，

∴与x轴无交点；

D、y=﹣8（x+2009）2+2010，

顶点在第二象限，开口向下，

∴与x轴有两个交点．

故选：

D．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，是基础知识要熟练掌握．

【例2】【解析】根据抛物线与x轴的交点坐标特点令y=0，求出x的值即可．

解：

∵x轴上点的纵坐标为0，

∴﹣2x2+3x﹣1=0，解得x1=

，x2=1，

∴抛物线y=﹣2x2+3x﹣1与x轴的交点坐标是

，（1，0）．

故答案为：

，（1，0）．

点评：

本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．

练3．【解析】根据抛物线顶点坐标设出顶点式，将B坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，即可确定出抛物线与x轴的交点坐标．

解：

根据题意设抛物线顶点形式为y=a（x﹣1）2+4，

将B（2，3）代入得：

3=a+4，即a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即﹣（x﹣3）（x+1）=0，

解得：

x=3或x=﹣1，

则抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．

点评：

此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

【例3】【解析】由抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），

设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

又抛物线与y轴交于（0，﹣3），

把x=0，y=﹣3代入y=a（x+1）（x﹣3）得：

﹣3=a（0+1）（0﹣3），

即﹣3a=﹣3，解得：

a=1，

则抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．

故选B．

练4．【解析】

（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；

（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这一二次函数解析式．

解：

（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），

∴OC=AB=5，

∴点C的坐标为（0，5）；

（2）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-4），

把A（﹣1，0）、B（4，0）代入函数解析式得出：

a=

.

所以这个二次函数的解析式为：

y=

（x+1）（x-4）=

x2+

x+5．

点评：

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，同时还考查了方程组的解法等知识．

课后小测答案：

一、选择题

1.【解析】抛物线解析式

，令x=0，解得：

y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到

，即

，分解因式得：

，解得：

，

∴抛物线与x轴的交点分别为（

，0），（1，0），

综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．

故选：

A

点评：

本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数．此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中C的取值．

2．【解析】根据对称轴方程﹣

=2，得b=﹣4，解x2﹣4x=5即可．

解：

∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，

∴﹣

=2，

解得：

b=﹣4，

解方程x2﹣4x=5，

解得x1=﹣1，x2=5，

故选：

D．

点评：

本题主要考查二次函数的对称轴和二次函数与一元二次方程的关系．

3．【解析】先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解．

解：

∵y=﹣﹙x﹣1﹚2+c，

∴抛物线的对称轴是直线x=1，

∵函数的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），

∴1=

，

∴x=﹣1，

∴另一交点的横坐标为﹣1．

故选：

D．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点：

求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

4．【解析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．

解：

由抛物线图象可知其对称轴为x=3，

又抛物线是轴对称图象，

∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，

而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，

那么两根满足2×3=x1+x2，

而x1=1.6，∴x2=4.4．

故选：

C．

点评：

此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x轴交点坐标，是一道较为简单的试题．

二、填空题

5．【解析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=2x2﹣5x+3的图象与x轴交点的个数．

解：

∵b2﹣4ac=25﹣4×2×3=1＞0，

∴二次函数y=x2+1的图象与x轴有两个交点．

点评：

考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．

6．【解析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．

解：

∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，

∴b2﹣4ac=36﹣4×k×3=36﹣12k≥0，且k≠0，

解得：

k≤3，且k≠0，

则k的取值范围是k≤3，且k≠0，

故答案为：

k≤3，且k≠0．

点评：

此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，得出b2﹣4ac的符号与x轴交点个数关系式是解题关键．

7．【解析】由题意令y=0，得方程x2﹣6x﹣16=0，求出方程的两根，即为抛物线与x轴的交点，从而求出抛物线与x轴的交点．

解：

令y=0，得方程，

x2﹣6x﹣16=0，

∴（x+2）（x﹣8）=0，

解得x=﹣2或8，

∴抛物线y=x2﹣6x﹣16与x轴交点的坐标为：

（﹣2，0），（8，0）；

故答案为：

（﹣2，0），（8，0）．

点评：

此题主要考查抛物线的基本性质，解题的关键是应用因分解法求方程的根，把函数的方程结合起来出题，是一种比较好的题型．

8．【解析】根据抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，代入与x轴的一个交点（3，0），可确定解析式，继而可得出与x轴的另一个交点．

解：

设抛物线解析式为：

y=a（x﹣1）2+3，

将点（3，0）代入，得：

0=4a+3，

解得：

a=﹣

，

故抛物线解析式为：

y=﹣

（x﹣1）2+3．

令y=0，即﹣

（x﹣1）2+3=0，x﹣1=±2

解得：

x1=3，x2=﹣1，

即可得与x轴的另一个交点为（1，0）．

故答案为：

y=﹣

（x﹣1）2+3，（1，0）．

点评：

本题考查了用待定系数法求函数解析式，注意掌握抛物线解析式的三种形式，哪一种方便计算选择哪一种．

9．【解析】先由交点式求出二次函数的解析式，再由方程的根的情况得出判别式△＞0，解不等式即可得出k的取值范围．

解：

根据题意得：

二次函数的图象与x轴的交点为：

（1，0）、（3，0），

设二次函数y=a（x﹣1）（x﹣3），

把点（2，2）代入得：

a=﹣2，

∴二次函数的解析式为：

y=﹣2（x﹣1）（x﹣3）

即y=﹣2x2+8x﹣6；

∵方程﹣2x2+8x﹣6=k有两个不相等的实数根，

∴﹣2x2+8x﹣6﹣k=0，

△=82﹣4×（﹣2）×（﹣6﹣k）＞0，

解得：

k＜2；

故答案为：

k＜2．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数解析式的求法、不等式的解法；熟练掌握二次函数图象的有关性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

三、解答题

10.【解析】

（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．

（2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．

解：

（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．

点评：

此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．

11．【解析】

（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；

（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这一二次函数解析式．

解：

（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），

∴OC=AB=5，

∴点C的坐标为（0，5）；

（2）设二次函数解析式为：

y=ax2+bx+5，

把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：

a=﹣

，b=

；

所以这个二次函数的解析式为：

y=﹣

x2+

x+5．

点评：

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，同时还考查了方程组的解法等知识．

12．【解析】

（1）根据图象过点（4，5）可求c，得函数解析式，再根据顶点坐标公式求顶点坐标，或把解析式配成顶点式确定顶点坐标；

（2）令y=0解方程即可得抛物线与x轴的交点坐标．

解：

（1）∵图象过点（4，5），

∴5=16﹣8+c．

解得：

c=﹣3．

∴y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）．

（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0．

解得：

x1=﹣1，x2=3．

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．

点评：

此题考查了运用待定系数法求函数解析式和求函数图象与坐标轴的交点坐标．

13．【解析】首先把它所经过的点的坐标代入求得二次函数的解析式，然后分别令x=0，即求得与y轴的交点；令y=0，则求得与x轴的交点坐标；运用配方法求得顶点的坐标或运用公式法求得顶点的坐标．

解：

∵抛物线y=﹣x2+（m+2）x+3m﹣20经过（1，﹣3）点，

∴﹣12+（m+2）+3m﹣20=﹣3，

整理，得4m﹣19=﹣3，

解得m=4，

∴二次函数的解析式为y=﹣x2+6x﹣8．

令y=0，可得﹣x2+6x﹣8=0，

解得x1=2，x2=4，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），

∵y=﹣x2+6x﹣8=﹣（x﹣3）2+1，

∴抛物线的顶点坐标为（3，1）．

点评：

能够熟练根据已知条件求得待定系数的值，掌握求与x轴、y轴的交点坐标方法，能够熟练运用配方法或公式法求得二次函数的顶点坐标．