答
(1)不相等.前者是数集,有两个元素:
0和1;后者是点集,只有一个元素:
数对(0,1).
(2)相等.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于-1且小于2的所有实数,所以这两个集合相等.
知识点四 真子集的概念
定义
符号表示
图形表示
真子集
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)
知识点五 空集
(1)定义:
不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为:
∅.
(3)规定:
空集是任何集合的子集.
思考 {0},∅与{∅}之间有什么区别与联系?
答 {0}是含有一个元素0的集合,∅是不含任何元素的集合,因此有∅⊆{0},而{∅}是含有一个元素∅的集合,因此有∅∈{∅}.
知识点六 子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.
题型一 有限集合的子集确定问题
例1
(1)写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)已知集合A满足{a,b}⊆A{a,b,c,d},求满足条件的集合A.
解
(1)子集为:
∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}.
真子集为:
∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.
(2)由题意可知,A中一定有a,b,对于c,d可能没有,也可能有1个,故满足{a,b}⊆A{a,b,c,d}的A有:
{a,b},{a,b,c},{a,b,d}.
反思与感悟 1.求解有限集合的子集问题,关键有三点:
(1)确定所求集合;
(2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出;
(3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
2.一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
跟踪训练1 已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.
解 当M中含有两个元素时,M为{2,3};
当M中含有三个元素时,M为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5};
当M中含有四个元素时,M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};
当M中含有五个元素时,M为{2,3,1,4,5};
所以满足条件的集合M为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数为8.
题型二 集合间关系的判定
例2 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0};
(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.
解
(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故AB.
(3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知AB.
(4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故NM.
例3 已知集合A={x|x=
(2k+1),k∈Z},B={x|x=
k±
,k∈Z},则集合A,B之间的关系为( )
A.ABB.BA
C.A=BD.A≠B
答案 C
解析 设x1∈A,则x1=
(2k1+1),k1∈Z.
当k1=2n,n∈Z时,x1=
(4n+1)=
n+
,∴x1∈B;当k1=2n-1,n∈Z时,x1=
(4n-1)=
n-
,∴x1∈B.∴A⊆B.设x2∈B,则x2=
k2±
=
(4k2±1),k2∈Z.由于4k2+1=2×2k2+1,4k2-1=2(2k2-1)+1,且2k2表示所有的偶数,2k2-1表示所有的奇数,∴4k2±1与2k+1(k∈Z)一样,都表示所有奇数.
∴x2=
(4k2±1)=
(2k+1),k∈Z.
∴x2∈A.∴B⊆A.
故A=B.故选C.
反思与感悟 判断集合与集合关系的常用方法:
(1)一一列举观察.
(2)集合元素特征法:
首先确定“集合的元素是什么”,弄清元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.①若p(x)推出q(x),则A⊆B;②若q(x)推出p(x),则B⊆A;③若p(x),q(x)互相推出,则A=B;④若p(x)推不出q(x),q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包含关系.(3)数形结合法:
利用数轴或Venn图判断.若A⊆B和AB同时成立,则AB更能准确表达集合A,B之间的关系.
跟踪训练2 集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z},则M,P,S之间的关系为( )
A.SPMB.S=PM
C.SP=MD.SP=M
答案 C
解析 对于M:
x=3k-2=3(k-1)+1,k∈Z,
对于P:
y=3n+1,n∈Z,
∴M=P.
而z=6m+1=3·(2m)+1,m∈Z,
∴SP=M,故选C.
题型三 集合相等
例4 已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,求a与b的值.
解 由题意得
或
解得
或
或
又a=0,b=0时,M={2,0,0}与集合的互异性矛盾,
故舍去.
∴a=0,b=1或a=
,b=
.
反思与感悟 由A=B(或A⊆B)求字母的值时,要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性.
跟踪训练3 设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,
,b},则b-a等于( )
A.1B.-1
C.2D.-2
答案 C
解析 因为a≠0,所以a+b=0,所以
=-1,所以b=1,a=-1.故b-a=2.
题型四 由集合间的关系求参数范围问题
例5 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A,求实数m的取值范围.
解 ∵B⊆A,
(1)当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2.
(2)当B≠∅时,有
解得-1≤m<2,综上得{m|m≥-1}.
反思与感悟 1.求解集合中参数问题,应先分析,简化每个集合,然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解;2.利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,其中特别要注意端点值的检验;3.注意空集的特殊性,遇到“B⊆A”时,若B为含字母参数的集合,一定要分“B=∅”和“B≠∅”两种情形讨论.
跟踪训练4 已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若AB,求a的取值范围;
(2)若B⊆A,求a的取值范围.
解
(1)若AB,由图可知a>2.
(2)若B⊆A,由图可知1≤a≤2.
忽略空集的特殊性致误
例6 设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若N⊆M,求所有满足条件的a的取值集合.
错解 由N⊆M,M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},
得N={-1}或{3}.
当N={-1}时,由
=-1,得a=-1.
当N={3}时,由
=3,得a=
.
故满足条件的a的取值集合为{-1,
}.
正解 由N⊆M,M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},
得N=∅或N={-1}或N={3}.
当N=∅时,ax-1=0无解,即a=0.
当N={-1}时,由
=-1,得a=-1.
当N={3}时,由
=3,得a=
.
故满足条件的a的取值集合为{-1,0,
}.
易错警示
错误原因
纠错心得
错解忽略了N=∅这种情况.
空集是任何集合的子集.解这类问题时,一定要注意“空集优先”的原则.
跟踪训练5 设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.
解 因为A={x|x2+4x=0}={0,-4},B⊆A,
所以B可能为∅,{0},{-4},{0,-4}.
①当B=∅时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无解.
所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
所以a<-1.
②当B={0}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的实数根0,
由根与系数的关系,得
解得a=-1.
③当B={-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的实数根-4,
由根与系数的关系,得
该方程组无解.
④当B={0,-4}时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个不相等的实数根0和-4,
由根与系数的关系,得
解得a=1.
综上可得a≤-1或a=1.
1.集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( )
A.4B.7C.8D.16
答案 B
解析 可知A={0,1,2},其真子集为:
∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},即共有23-1=7(个).
2.设集合M={x|x>-2},则下列选项正确的是( )
A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M
答案 A
解析 选项B、C中均是集合之间的关系,符号错误;选项D中是元素与集合之间的关系,符号错误.
3.若集合P={x|x≤3},则( )
A.-1⊆PB.{-1}∈P
C.∅∈PD.{-1}⊆P
答案 D
解析 ∵P={x|x≤3},∴-1∈P,故{-1}⊆P,故答案为D.
4.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.1B.2C.3D.4
答案 D
解析 A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|05.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则实数x=________,y=________.
答案 1 0
解析 因为A=B,所以x=0或y=0.若x=0,则x2=0,此时集合B中的元素不满足互异性,舍去;若y=0,则x=x2,得x=0(舍去)或x=1,此时A=B={0,1}.所以x=1,y=0.
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即由x∈A,能推出x∈B,这是判断A⊆B的常用方法.
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”,因为若A=∅时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中,A、B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A.
2.集合子集的个数
求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为:
含n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
3.涉及字母参数的集合关系问题,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.
一、选择题
1.已知集合A={-1,1},则下列式子表示正确的有( )
①1∈A;②{-1}∈A;③∅⊆A;④{1,-1}⊆A.
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 C
解析 正确的是①③④,故选C.
2.已知集合P和Q的关系如图所示,则( )
A.P>QB.Q⊆P
C.P=QD.P⊆Q
答案 B
解析 由图可知Q中的元素都是P中的元素,所以Q是P的子集,故选B.
3.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A⊆BB.C⊆B
C.D⊆CD.A⊆D
答案 B
解析 选项A错,应当是B⊆A.选项B对,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形.选项C错,正方形一定是菱形,但菱形不一定是正方形.选项D错,应是D⊆A.
4.若集合M={x|x=
+
,k∈Z},集合N={x|x=
+
,k∈Z},则( )
A.M=NB.M⊆N
C.MND.以上均不对
答案 C
解析 由
+
=
,k∈Z,
+
=
,k∈Z,可知选C.
5.已知集合A={x|0A.{c|0C.{c|01}
答案 B
6.已知集合M={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是( )
A.M>NB.MN
C.NMD.M⊆N
答案 C
解析 因为y=(x-1)2-2≥-2,
所以M={y|y≥-2},所以NM.
7.若集合A={1,3,x},B={x2,1},且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 由B⊆A,知x2=3,或x2=x,
解得x=±
,或x=0,或x=1,当x=1时,集合A,B都不满足元素的互异性,故x=1舍去.
二、填空题
8.集合{-1,0,1}共有________个子集.
答案 8
解析 由于集合中有3个元素,故该集合有23=8个子集.
9.设集合M={x|2x2-5x-3=0},集合N={x|mx=1},若N⊆M,则实数m的取值集合为________.
答案 {-2,0,
}.
解析 集合M={3,-
}.若N⊆M,则N={3}或{-
}或∅.于是当N={3}时,m=
;当N={-
}时,m=-2;当N=∅时,m=0.
所以m的取值集合为{-2,0,
}.
10.设A={x|1答案 {a|a≥2}
解析 因为AB,所以a≥2,
即a的取值范围是{a|a≥2}.
三、解答题
11.设集合A={1,a,b},集合B={a,a2,ab},且A=B,求a2016+b2016.
解 方法一 ∵A=B,
∴
或
解方程组,得
或
或a=1,b为任意实数.
由集合元素的互异性得a≠1,
∴a=-1,b=0,故a2016+b2016=1.
方法二 由A=B,可得
即
因为集合中的元素互异,所以a≠0,a≠1.
解方程组,得a=-1,b=0.故a2016+b2016=1.
12.已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.
解 当B=∅时,只需2a>a+3,即a>3.
当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,可得
或
解得a<-4或2<a≤3.
综上,实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}.
13.已知三个集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-bx+2=0},同时满足BA,C⊆A的实数a,b是否存在?
若存在,求出a,b所有的值;若不存在,请说明理由.
解 A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
∵B={x|x2-ax+(a-1)=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0},∴1∈B.
又∵BA,∴a-1=1,即a=2.
∵C={x|x2-bx+2=0},且C⊆A,
∴C=∅或{1}或{2}或{1,2}.
当C={1,2}时,b=3;
当C={1}或{2}时,Δ=b2-8=0,
即b=±2
,此时x=±
(舍去);
当C=∅时,Δ=b2-8<0,
即-2
.
综上可知,存在a=2,b=3或-2
满足要求.