数学新学案同步必修二北师大版赣豫陕讲义第一章 立体几何初步61 Word版含答案.docx

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数学新学案同步必修二北师大版赣豫陕讲义第一章立体几何初步61Word版含答案

§6　垂直关系

6．1　垂直关系的判定

学习目标

　1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．

知识点一　直线与平面垂直的定义

思考　在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？

答案　不变，90°.

梳理　线面垂直的概念

定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直

记法

l⊥α

有关概念

直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫作垂足

图示

画法

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直

知识点二　直线和平面垂直的判定定理

将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．观察折痕AD与桌面的位置关系．

思考1　折痕AD与桌面一定垂直吗？

答案　不一定．

思考2　当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？

答案　当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．

梳理　判定定理

文字语言

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直

符号语言

l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A⇒l⊥α

图形语言

知识点三　二面角

思考1　观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？

答案　二面角．

思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？

答案　二面角的平面角．

梳理　

（1）定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

（2）相关概念：

①这条直线叫作二面角的棱．②两个半平面叫作二面角的面．

（3）二面角的记法

以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角面α－AB－β.

（4）二面角的平面角：

若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

知识点四　平面与平面垂直

思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？

此时铅锤线与地面什么关系？

答案　都是垂直．

梳理　

（1）平面与平面垂直的概念

①定义：

如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

②画法：

③记法：

α⊥β.

（2）判定定理

文字语言

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，lβ⇒α⊥β

1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．（　×　）

2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.（　×　）

3．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．（　√　）

4．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（　√　）

类型一　线面垂直的定义及判定定理的理解

例1　下列命题中，正确的序号是________．

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　④⑤

解析　当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．

反思与感悟　

（1）对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．

（2）判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．

跟踪训练1　

（1）若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）

A．平面OABB．平面OAC

C．平面OBCD．平面ABC

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．（填序号）

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　

（1）C　

（2）①③④

解析　

（1）∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

（2）根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．

类型二　线面垂直的判定

例2　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：

BC⊥平面PAC.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC.

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.

而PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

引申探究　若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：

AE⊥平面PBC.

证明　由例2知BC⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.

∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC平面PBC，

∴AE⊥平面PBC.

反思与感悟　

（1）使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义．

②线面垂直的判定定理．

③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．

跟踪训练2　如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：

PB⊥平面AEF.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　由引申探究知AE⊥平面PBC.

∵PB平面PBC，

∴AE⊥PB，又AF⊥PB，

且AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF，

∴PB⊥平面AEF.

类型三　面面垂直的判定

例3　如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：

平面EBD⊥平面ABCD.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　连接AC，与BD交于O点，连接OE.

∵O为AC的中点，E为SA的中点，

∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.

反思与感悟　

（1）由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．

（2）证明面面垂直的常用方法：

①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．

跟踪训练3　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝

AA1，D是棱AA1的中点．证明：

平面BDC1⊥平面BDC.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　由题设知BC⊥CC1，

BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，

即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，DC，BC平面BDC，

所以DC1⊥平面BDC.

又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

类型四　与二面角有关的计算

例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．

考点　二面角

题点　看图索角

解　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.

由题意知B1O⊥A1C1，

又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，

所以BO⊥A1C1，

所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，

所以BB1⊥OB1.

设正方体的棱长为a，则OB1＝

a，

在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝

＝

＝

，

所以二面角B－A1C1－B1的正切值为

.

反思与感悟　

（1）求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．

（2）为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．

跟踪训练4　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

考点　二面角

题点　看图索角

解　由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，

∴AC⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

又PC平面PAC，

∴PC⊥BC.

又∵BC是二面角P－BC－A的棱，

∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．

由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面（　　）

A．有且只有一个B．至多一个

C．有一个或无数个D．不存在

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　B

解析　若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．

2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　）

A．α∥β，且mαB．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且nβD．m⊥n，且n∥β

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　B

解析　A中，由α∥β，且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C，D中，mβ或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.

3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是（　　）

A．异面B．平行

C．垂直D．不确定

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　C

解析　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.

∵AC平面ABC，∴l⊥AC.

4．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝

，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为________．

考点　二面角

题点　看图索角

答案　60°

解析　由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点．取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.

由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.

又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，

∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角．

∵PA＝

，AQ＝

AC＝3，∴PQ＝8.

又∵OQ＝

BC＝4，∴cos∠PQO＝

＝

，

∴∠PQO＝60°，即二面角P－AC－B的大小为60°.

5.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．

求证：

平面EFC⊥平面BCD.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　∵E，F分别是AB，BD的中点，

∴EF∥AD，

又∵AD⊥BD，∴EF⊥BD.

∵CB＝CD，F是BD的中点，

∴CF⊥BD.

又EF∩CF＝F，EF，CF平面EFC，

∴BD⊥平面EFC.

又∵BD平面BCD，

∴平面EFC⊥平面BCD.

1.直线和平面垂直的判定方法：

（1）利用线面垂直的定义；

（2）利用线面垂直的判定定理；

（3）利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；

②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

2．证明两个平面垂直的主要途径：

（1）利用面面垂直的定义；

（2）面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．

一、选择题

1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（　　）

A．有1个B．有2个

C．有无数个D．不存在

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　C

解析　过直线l的平面都与α垂直．

2．过两点与一个已知平面垂直的平面（　　）

A．有且只有一个B．有无数个

C．有且只有一个或无数个D．可能不存在

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　C

解析　若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．

3．下列说法中，正确的有（　　）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．

A．2个B．3个

C．4个D．5个

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　B

解析　①④不正确，其他三项均正确．

4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是（　　）

A．60°B．120°

C．60°或120°D．不确定

考点　二面角

题点　求二面角的大小

答案　C

解析　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.

5．三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则（　　）

A．S△ABC＝S△PBC＋S△OBC

B．S

＝S△OBC·S△ABC

C．2S△PBC＝S△OBC＋S△ABC

D．2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC

答案　B

解析　如图，由题设，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD2＝OD·AD，即S

＝S△OBC·S△ABC.

6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　D

解析　由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面BB1D1D，

∴A1C1⊥B1O.

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为（　　）

A.

B.

C.

D.

考点　二面角

题点　求二面角的大小

答案　C

解析　如图，连接AC，交BD于点O，连接A1O，则O为BD中点．

因为A1D＝A1B，所以A1O⊥BD.

又因为在正方形ABCD中，

AC⊥BD，

所以∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．

设AA1＝1，则AO＝

.

所以tan∠A1OA＝

＝

.

二、填空题

8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

答案　13

解析　如图，在Rt△ABC中，

CD＝

AB.

因为AC＝6，BC＝8，

所以AB＝

＝10，

所以CD＝5.

因为EC⊥平面ABC，CD平面ABC，

所以EC⊥CD.

所以ED＝

＝

＝13.

9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．

考点　线、面平行、垂直的综合应用

题点　平行与垂直的计算与探索性问题

答案　4

解析　如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.

∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC.

又PD∩PA＝P，

∴CB⊥平面PAD，

∴AD⊥BC.

在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝

＝4

.

10．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

________.（用序号表示）

考点　

题点　

答案　①③④⇒②（或②③④⇒①）

解析　当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或nα.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或mβ，∴当n⊥β时，m⊥n，即②③④⇒①.

11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝

，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________．

考点　二面角

题点　求二面角的大小

答案　90°

解析　如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝

，BC＝AD＝2.

取BC的中点E，连接DE，AE，

则AE⊥BC，DE⊥BC，

所以∠DEA为所求二面角的平面角．

易得AE＝DE＝

，

又AD＝2，

所以∠DEA＝90°.

三、解答题

12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2

，E，F分别是AD，PC的中点．证明：

PC⊥平面BEF.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　如图，连接PE，EC，

在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，

∴PE＝CE，

即△PEC是等腰三角形．

又F是PC的中点，

∴EF⊥PC.

又BP＝

＝2

＝BC，F是PC的中点，

∴BF⊥PC.

又BF∩EF＝F，BF，EF平面BEF，

∴PC⊥平面BEF.

13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：

截面A1CE⊥侧面ACC1A1.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝

AA1.

因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，

所以A1E＝CE.

因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.

又FG∥AA1∥BE，GF＝

AA1＝BE，且BE⊥BG，

所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.

因为A1C∩FG＝F，A1C，FG平面ACC1A1，

所以EF⊥侧面ACC1A1.

又因为EF平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.

四、探究与拓展

14．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　C

解析　如图所示，∵BC∥DF，

∴BC∥平面PDF，∴A正确．

由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，

∴DF⊥平面PAE，∴B正确．

∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE），

∴D正确．

15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：

D1E⊥A1D；

（2）求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？

考点　二面角

题点　看图索角

（1）证明　连接D1A，D1B.

∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，

∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，

∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E平面ABD1，∴A1D⊥D1E.

（2）解　过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.

∵D1D⊥平面DB，EC平面DB，∴D1D⊥EC.

又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.

∵D1F平面D1DF，∴EC⊥D1F，

∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，

∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1.

在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°.

在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝

，AE＝2－

.