随机事件的概率.docx
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随机事件的概率
随机事件的概率
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2.了解两个互斥事件的概率加法公式．
◆教材通关◆
1.事件的分类
确定事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能
事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
2.频率与概率
（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝
为事件A出现的频率．
（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）
B⊇A
（或A⊆B）
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B
（或A＋B）
交事件
（积事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B（或AB）
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅；
P（A∪B）＝
P（A）＋P（B）＝1
4.概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率P（E）＝1.
（3）不可能事件的概率P（F）＝0.
（4）互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．
[小题诊断]
1．设事件A，B，已知P（A）＝
，P（B）＝
，P（A∪B）＝
，则A，B之间的关系一定为（ ）
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件D．对立事件
解析：
因为P（A）＋P（B）＝
＋
＝
＝P（A∪B），所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
答案：
B
2．（优质试题·安阳模拟）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65
C．0.35D．0.3
解析：
事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P（A）＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P（A）＝1－0.65＝0.35.
答案：
C
3．（优质试题·云南统一检测）在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
分析题意可知，共有（0,1,2），（0,2,5），（1,2,5），（0,1,5）4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝
.
答案：
C
4．（优质试题·铜川模拟）做抛掷两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子正面朝上的点数，y表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x＋y＞10的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
（x，y）的所有基本事件共有6×6＝36（个），事件“x＋y＞10”包含（5,6），（6,5），（6,6），共3个基本事件．根据古典概型的概率计算公式可知，x＋y＞10的概率是
，故选D.
答案：
D
5．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P（A）＝
，P（B）＝
，则“出现奇数点或2点”的概率为________．
解析：
因为事件A与事件B是互斥事件，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
＋
＝
.
答案：
◆易错通关◆
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
[小题纠偏]
（优质试题·湖北十市联考）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析：
A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．
答案：
D
考点一 随机事件的频率与概率 互动探究 重点保分考点——师生共研
（优质试题·高考全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30,35）
[35,40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解析：
（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25），则Y＝6×300＋2（450－300）－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2（450－200）－4×450＝－100.
所以，Y的所有可能值为900,300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
[即时应用]
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：
万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：
毫米）有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
（1）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
解析：
（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（2）由已知可得Y＝
＋425，
故P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）
＝P（Y<490或Y>530）
＝P（X<130或X>210）
＝P（X＝70）＋P（X＝110）＋P（X＝220）
＝
＋
＋
＝
.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为
.
考点二 互斥事件与对立事件 互动探究 重点保分考点——师生共研
[典例1] 从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④
C．③D．①③
解析：
③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．
答案：
C
[典例2] 设条件甲：
“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：
“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1，充分性成立．设掷一枚硬币3次，事件A：
“至少出现一次正面”，事件B：
“3次出现正面”，则P（A）＝
，P（B）＝
，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要条件．
答案：
A
[典例3] 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
（1）至多2人排队等候的概率；
（2）至少3人排队等候的概率．
解析：
记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）法一：
记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：
记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
求互斥事件概率的方法
方法
解读
适合题型
直接法
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算
根据互斥事件定义分析，正面分类较少的
间接法
利用古典概型、互斥事件或相互独立事件的概率计算公式计算此事件的对立事件的概率，运用公式P（A）＝1－P（
）求解
题设条件含有“至多”“至少”的题目
[即时应用]
1．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ）
A．0.45 B．0.67 C．0.64 D．0.32
解析：
由题可知，摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.
答案：
D
2．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）1张奖券的中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解析：
（1）P（A）＝
，P（B）＝
＝
，P（C）＝
＝
.故事件A，B，C的概率分别为
，
，
.
（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝
＝
.故1张奖券的中奖概率为
.
（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P（N）＝1－P（A∪B）＝1－
＝
.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
.
课时作业
A组——基础对点练
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20）
[20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70）
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40）的频率为（ ）
A．0.35 B．0.45
C．0.55D．0.65
解析：
数据落在[10,40）的频率为
＝
＝0.45，故选B.
答案：
B
2．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（ ）
A．0.20B．0.60
C．0.80D．0.12
解析：
“能乘上所需要的车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P（A）＝0.20＋0.60＝0.80.
答案：
C
3．若A，B为互斥事件，P（A）＝0.4，P（A∪B）＝0.7，则P（B）＝________.
解析：
∵A，B为互斥事件，∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B），∴P（B）＝P（A∪B）－P（A）＝0.7－0.4＝0.3.
答案：
0.3
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
解析：
记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P（B）＝0.03，P（C）＝0.01，所以P（A）＝1－P（B＋C）＝1－P（B）－P（C）＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案：
0.96
5．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：
成绩（分）
80分以下
[80,100）
[100,120）
[120,140）
[140,160]
人数
8
8
12
10
2
在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分及以上的概率为________．
解析：
由成绩分布表知120分及以上的人数为12，所以所求概率为
＝0.3.
答案：
0.3
6．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
（1）若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
（2）若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．
解析：
记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak（k∈N，k≤5），则事件Ak彼此互斥．
（1）∵获奖人数不超过2人的概率为0.56.∴P（A0）＋P（A1）＋P（A2）＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.
（2）由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P（A5）＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得
P（A3）＋P（A4）＋P（A5）＝0.44，
即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.
B组——能力提升练
1．（优质试题·济宁模拟）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5） 2 [15.5,19.5） 4 [19.5,23.5） 9
[23.5,27.5） 18 [27.5,31.5） 11 [31.5,35.5） 12
[35.5,39.5） 7 [39.5,43.5） 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5）的概率约是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
[27.5,43.5）的频数为11＋12＋7＋3＝33，概率
＝
.
答案：
C
2．（优质试题·福州市质检）在检测一批相同规格共500kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为（ ）
A．2.8kgB．8.9kg
C．10kgD．28kg
解析：
由题意，可知抽到非优质品的概率为
，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×
＝
≈8.9kg，故选B.
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