方法归纳利用勾股定理解决折叠问题.docx
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方法归纳利用勾股定理解决折叠问题
方法归纳--利用勾股定理解决折叠问题
方法归纳利用勾股定理解决折叠问题
一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
【例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm,BC=10cm将厶ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE则CD的长为（）
A.25cmB.15cmC.2cm
224
D.15cm
4
【分析】图中CD在Rt△ACD中，由于AC已知，要求CD只需求AD,由折叠的对称性，得AD=BD注意到CD+BD=BC利用勾股定理即可解之•
【方法归纳】折叠问题是近几年来中考中的常见题型•解折叠问题关键是抓住对称性•勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解•
变式练习
1.如图所示，有一块直角三角形纸片，/C=90°，AC=4cm
BC=3cm,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD则CE的长为（）
A.1cmB.1.5cmC.2cm
D.3cm
2.（2014•青岛）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C
恰好落在AB边的中点C'上，若AB=6,BC=9,则BF的长为（）
A.4B.32C.4.5
D.5
3.如图，长方形纸片ABC［中,已知AD=8折叠纸片使AB边
与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE且EF=3
则AB的长为（）
4.如图，长方形ABCD勺边AD沿折痕AE折叠，使点D落在
BC上的F处，已知AB=6^ABF的面积是24,则FC等于（）
5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN
折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为
A',且B‘C=3则AM的长为（）
A.1.5B.2C.2.25
D.2.5
6.如图所示，在△ABC中，/B=90°,AB=3AC=5将厶ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE则厶ABE的周长为
7.如图，在Rt△ABC中，/C=90°,BC=6cmAC=8cm,按
图中所示方法将厶BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点,那么△ADC的面积是
8.如图，已知Rt△ABC中，/C=90°,AC=6BC=8将它的
锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边
于点E，交AB边于点F，贝VDE的值为.
二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题
【例2】如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm,底面周长为
18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.
蚂蚁月
、
\\
\\
~~
C蜂蜜
【分析】将圆柱形平面展开，将A、C两点放在同一平面内然后利用勾股定理进行计算•
【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点
之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是9cm而不
是18cm.
变式练习
9.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（）
A.6cmB.12cmC.13cm
D.16cm
10.如图，在一个长为2m,宽为1m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD,木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达c处需要走的最短路程是m精确到o.oim.
11.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6cm，底面是边长为4cm的正方形，从顶点A到顶点C'如何贴彩带用的彩带最短？
最短长度是多少？
12.如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处.
LEL7
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
（2）当AB=4BC=4CG=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长
参考答案
例1要使A,B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线.设CD=x则AD=BD=10-x.
在Rt△ACD中,由勾股定理，得x2+52=（10-x）2.解得x=15.
故应选D.
变式练习
1.A2.A3.D4.B5.B6.77.6cm28.13
3
例2如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后，侧面是一个长18cm,宽12cm的长方形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+P（为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP.
由已知和长方形的性质，得DC=9,BD=12.
在Rt△BCD中，由勾股定理得BC=dc2bd=歹云=15.
•••AP+PC=BP+PC=BC=15.
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.
变式练习
9.C10.2.60
11.把长方体的面DCCD'沿棱CD'展开至面ABCDh，如图.构成矩形ABCD',贝UA到C'的最短距离为AC的长度，连接AC交DC于O,
4DE
BCCr
易证△AOD2ACOC.「.OD=OC.
即O为DC的中点，
由勾股定理得AC2=AD2+DC'2=82+62=100,
•AC=10cm.
即从顶点A沿直线到DC中点O,再沿直线到顶点C'，贴的彩带最短，最短长度为10cm.
12.
（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC'D和ACCV蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AG'和AC两种.
邑（
J
9C
（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段AiBi到爬过的路径的长
l1=•42452=.97.
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB到C,爬过的路径的长
l2=44252=89.
•「I>2,
・••最短路径的长是89.
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