高等工程数学——中山大学.ppt

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（研究生课程）高等工程数学,教师:

李晓东,课程主要内容：

矩阵论：

矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分解方法等。

泛函分析：

距离空间；赋范空间与Banach空间；内积空间与Hilbert空间等。

主要参考书目：

1徐仲等著，矩阵论简明教程，科学出版社，2007。

2姚泽清等著，应用泛函分析，科学出版社，2008。

第一章：

矩阵的相似变换1.1特征值与特征向量,有关定义回顾:

特征值;特征向量;特征矩阵;特征多项式.矩阵的特征值与特征向量的性质.定理1.1:

设是的重特征值,对应有个线性无关的特征向量,则:

简言之:

矩阵特征值的几何重数小于或等于其代数重数.,定理1.2:

设的个特征值为对应的特征向量为又设为一多项式,则的特征值为,对应的特征向量仍为推论:

定理1.3:

矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关.,定理1.4:

设的特征值为则:

（1）

（2）的特征值为而的特征值为,1.2相似对角化,矩阵（方阵）相似的定义.矩阵相似的性质（6条）.矩阵可对角化的条件.定理1.8:

设,则可对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量.推论1:

若的特征值两两相异,则可对角化.,推论2:

设是阶方阵的所有互不相同的特征值,其重数分别为.若每个都有个线性无关的特征向量,则可对角化.,1.3Jordan标准形介绍,定义:

形如的矩阵称为阶Jordan块.由若干个Jordan块构成的分块对角阵称为Jordan矩阵.,定理1.9（Jordan）:

设,则一定与一个Jordan矩阵相似.且这个Jordan矩阵除Jordan块的排列顺序外由唯一决定.将方阵相似变换为Jordan标准形的方法:

特征向量法设如果是的单特征值,则对应一阶Jordan块;如果是的重特征,值,则对应有几个线性无关的特征向量,就有几个以为对角元素的Jordan块,这些Jordan块的阶数之和等于.由的所有特征值对应的Jordan块构成的Jordan矩阵即为的Jordan标准形.初等变换法3）行列式因子法,1.4Caylay-Hamilton定理,定理1.13（Cayley-Hamilton）:

设则定理1.13说明:

设则的任意次幂都可转化为的次多项式计算.定义:

设是多项式.如果有则称为的零化多项式.在的所有零化多项式,中,次数最低的首一多项式称为的最小多项式.记为.定理1.14:

设则的最小多项式整除的任一零化多项式,且最小多项式是唯一的.定理1.16:

相似矩阵具有相同的特征值,相同的特征多项式和相同的最小多项式.,定理1.17:

设是的所有互不相同的特征值,则其中是的Jordan标准形中含的Jordan块的最高阶数.,1.5向量的内积,课程中对维向量的内积是在实数域中定义的,对维向量的内积将在复数域中定义.定义:

设令称为向量与的内积.,内积的性质定理1.18:

设则

（1）

（2）（3）（4）且仅当时才有（5）（Cauchy-Schwarz不等式）,利用内积可以定义向量的长度和正交:

定义:

设令称为向量的长度或2范数.定理1.19:

设则

（1）当时,;当时,

（2）,（3）单位向量;向量的单位化;正交向量;向量组的Schmidt正交化方法;正交基;标准正交基.定理1.20:

两两正交的非零向量组一定线性无关.定义:

设,若满足或则称为酉矩阵.,定理1.21:

设

（1）若是酉矩阵,则也是酉矩阵.

（2）若是酉矩阵,则也是酉矩阵.（3）若是酉矩阵,则是酉矩阵的充要条件是:

它的个列向量是两两正交的单位向量.,1.6酉相似下的标准形,定理1.22（Schur）:

设则可酉相似于上三角矩阵,即存在阶酉矩阵,使得问题:

什么样的矩阵才能酉相似于对角阵?

答案:

正规矩阵定义:

设若满足,则称为正规矩阵.酉矩阵,正交阵;Hermite阵,实对称阵;反Hermite阵,实反对称阵;对角阵等都是正规矩阵.定理1.23:

设则酉相似于对角阵的充要条件是为正规矩阵.有关正规阵的4个性质:

推论1:

Hermite矩阵的特征值均为实数,反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数.,推论2:

实对称矩阵的特征值均为实数,实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.推论3:

设是正规矩阵,是的特征值,是对应的特征向量,则是的特征值,的对应的特征向量仍为.推论4:

正规矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.,正定矩阵的推广-Hermite正定矩阵定义:

设是Hermite矩阵,如果对于任意都有则称是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）.定理1.24:

设是Hermite矩阵,则下列条件等价:

（1）是Hermite正定矩阵;,的特征值全为正实数;存在矩阵,使得推论:

Hermite正定矩阵的行列式大于零.定理1.25:

设是Hermite矩阵,则下列条件等价:

是Hermite半正定矩阵;

（2）的特征值全为非负实数;,（3）存在矩阵,使得定理1.26:

设则

（1）和的特征值全为非负实数;

（2）和的非零特征值相同;（3）定理1.27:

设是Hermite矩阵,则是Her-mite正定矩阵的充要条件是的各阶顺序主子式均为正.,第二章：

范数理论2.1向量范数,定义:

若对任意都有一个实数与之对应,且满足

（1）当时,当时,

（2）对任何（3）对任意都有则称为上向量的范数.,向量范数的基本性质定理2.1:

对任意有

（1）

（2）几种常见的向量范数设规定

（1）向量的2范数:

（2）向量的1范数:

（3）向量的范数:

（4）向量的范数:

（5）向量的加权范数或椭圆范数:

（其中为Hermite正定阵.）,可以证明:

以上定义的5种算式都符合向量范数的定义.以向量的范数为例,用下面的引理进行证明.引理:

对任意有Holder不等式其中且,定理2.3:

设则从已知的某种向量范数导出另一种向量范数的方法.定理2.4:

设是上的一种向量范数.对任意规定则是上的向量范数.,向量范数的等价性定义:

设和是上的两种向量范数.如果存在正数和,使对任意都有则称向量范数和等价.定理2.5:

上的所有向量范数都等价.关于向量范数的等价性,定义:

给定中的向量序列，其中如果则称向量序列收敛于记作定理2.6：

中向量序列收敛于的充要条件是：

对于上的任一种向量范数都有,2.2矩阵范数,方阵的范数定义：

若对任意都有一个实数与之对应，且满足

（1）当时，当时，

（2）对任何（3）对任意都有（4）对任意都有,则称为上矩阵的范数.注:

上任意两个矩阵范数都等价.几种常见的方阵范数:

设规定方阵的范数:

（2）方阵的范数:

（3）方阵的范数:

方阵范数的酉不变性:

定理2.7:

设则对任意阶酉矩阵和,恒有方阵范数与向量范数的相容性定义:

设是上的矩阵范数,是上的向量范数.如果对任意和都有,则称矩阵范数与向量范数是相容的.事实:

上矩阵的范数和范数分别与上向量的1范数和2范数相容;上矩阵的范数分别与上向量的1范数,2范数和范数相容.定理2.8:

设是上的一种矩阵范数,则在,上必存在与它相容的向量范数.从属范数定理2.9:

已知上的向量范数对任意规定则是上与向量范数相容的矩阵范数,且称之为由向量范数导出的矩阵范数或从属,于向量范数的矩阵范数.定理2.10:

设记由向量1,2,范数导出的矩阵范数分别为则有

（1）（矩阵的1范数或列和范数）

（2）（为的最大特征值）（矩阵的2范数或谱范数）（3）（矩阵的范数或行和范数）,矩阵2范数的性质:

定理2.11:

设和为阶酉矩阵,则

（1）

（2）（矩阵2范数的酉不变性）（3）若是正规矩阵,且是的个特征值,则,其它矩阵范数的性质:

长方阵的范数对方阵范数的定义做关于矩阵（向量）阶的适当调整后,可定义出长方阵的范数.,2.3范数应用举例,矩阵的谱半径定义：

设为的个特征值,称为的谱半径.谱半径的性质:

定理2.12:

设则:

（1）

（2）的最大特征值.（3）当是正规矩阵时，定理2.13:

设则对上的任一矩阵范数都有定理2.14:

设对任意给定的正数存在某一矩阵范数使得,矩阵的条件数引理：

设若对上的某一矩阵范数有则可逆.定理2.15：

设若对上的某一矩阵范数有则

（1）可逆;

（2）,（3）推论：

设若对上的某一矩阵范数有则定理2.16：

设若对上的某一矩阵范数有则非齐次线性方,程组与的解满足其中是上与矩阵范数相容的向量范数.由前面的推论和定理2.16可知:

数据的误差对逆,矩阵和线性方程组解的影响与数的大小有关.定义:

设是上的矩阵范数,称为矩阵（关于求逆或求解线性方程组）的条件数.,第三章：

矩阵分析3.1矩阵序列,定义:

设有中的矩阵序列其中若则称矩阵序列收敛于记为或不收敛的矩阵序列称为发散.定理3.1：

设则的充要条件是其中是上的任一,矩阵范数。

推论：

设则其中是上任一矩阵范数.注:

该推论的逆不成立.定理3.2：

设其中为适当阶的矩阵,则,

（1）

（2）（3）当与均可逆时,定义:

设若则称为收敛矩阵.定理3.3:

设则为收敛矩阵的充要条件是推论:

设若对上的某一矩阵范数有则为收敛矩阵.,3.2矩阵级数,定义：

由中的矩阵序列构成的无穷和称为矩阵级数.对任一正整数称为矩阵级数的部分和.如果由部分和构成的矩阵序列收敛,即则称矩阵级数收敛,而且有和记为不收敛的矩阵序列称为发散的.,定义:

设如果个数项级数都绝对收敛,即都收敛,则称矩阵级数绝对收敛.定理3.4:

设则矩阵级数绝对收敛的充要条件是正项级数收敛，其中是上任一矩阵范数.定理3.5:

设其中是适,当阶的矩阵,则

（1）

（2）对任意有绝对收敛（的矩阵级数）必收敛,并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛,且其和不变;（4）若矩阵级数收敛（或绝对收敛）,则矩阵级数也收敛（或绝对收敛）,并且有,（5）若与均绝对收敛,则它们按项相乘所得的矩阵级数也绝对收敛,且其和为,关于幂级数定义:

设称矩阵级数为矩阵的幂级数.定理3.6:

设幂级数的收敛半径为则：

（1）当时,矩阵幂级数绝对收敛.,

（2）当时,矩阵幂级数发散.推论:

设幂级数的收敛半径是若存在上的某一矩阵范数使得则矩阵幂级数绝对收敛.定理3.7:

设矩阵幂级数收敛的充要条件是并且在收敛时,其和为,3.3矩阵函数,矩阵函数的定义矩阵函数是仿照一般函数的幂级数展开式来定义的.定义:

设幂级数的收敛半径为且当时,幂级数收敛于函数即如果满足则称收敛的矩阵幂级数的和为矩阵函数,记为即,例:

“,矩阵函数值的计算方法1:

利用Calay-Hamilton定理方法2:

利用相似对角化方法3:

利用Jordan标准形定理3.8：

设是的个特征值,则矩阵函数的特征值为方法4:

待定系数法,常用矩阵函数的性质定理3.9:

对任意总有

（1）

（2）定理3.10:

设且则:

（1）,

（2）（3）推论:

对任意有定理3.11:

设则有

（1）

（2）,3.4函数矩阵的微分和积分,函数矩阵的微分和积分定义:

以变量的函数为元素的矩阵称为函数矩阵，其中都是变量的函数.若则称是定义在上的;又若每个在上连续,可微,可积,则称在上是连续,可微,可积的.当可微时,规定其导数,或而当在上可积时,规定在上的积分为根据函数矩阵的微分和积分定义,可得到相关的函数矩阵微分和积分的求导法则及性质（略）.数量函数对矩阵变量的导数定义:

设是以矩阵为自变量的元函,数,且都存在,规定对矩阵变量的导数为特别地,以为自变量的函数的导数,称为数量函数对向量变量的导数.矩阵值函数对矩阵变量的导数定义:

设矩阵的元素都是矩阵变量的函数,则称为矩阵值函数,规定其对的导数,其中即其结果为矩阵.,第四章：

矩阵分解4.1矩阵的三角分解,三角分解及其存在唯一性问题定义:

设如果存在下三角矩阵和上三角矩阵使得则称可以作三角分解.,定理4.1:

设则可以作三角分解的充要条件是其中为的顺序主子式,而为的阶顺序主子阵.定理4.2:

设且的前个顺序主子式不为零,即则可以作三角分解.注:

方阵的三角分解具有不唯一性.,定义:

设可分解为如果其中是单位下三角矩阵,是上三角矩阵,则称其为的Doo-little分解.如果其中是下三角矩阵,是单位上三角矩阵,则称其为的Crout分解.定义:

设如果可分解为其中是单位下三角矩阵,是对角矩阵,是单位上三角矩阵,则称其为的LDR分解.,定理4.3:

设则有唯一LDR分解的充要条件是此时对角矩阵的元素满足推论:

设则有唯一Doolittle分解或Crout分解的充要条件是,三角分解的紧凑计算格式给出满秩方阵的Doolittle分解或Crout分解的具体计算分解公式.定理4.4:

设是正定矩阵,则存在下三角矩阵使得称之为的Cholesky分解.定理4.4的证明过程同时给出正定矩阵Cholesky分解的具体计算分解公式.,4.2矩阵的QR分解,Householder矩阵与Givens矩阵定义:

设是单位向量,即称为Householder矩阵或初等反射矩阵.由Househo-lder矩阵确定的上的线性变换称为Householder变换或初等反射变换.,定理4.5:

设是Householder矩阵,则

（1）（Hermite矩阵）；

（2）（酉矩阵）；（3）（对和矩阵）；（4）（自逆矩阵）；（5）和都是阶Householder矩阵；（6）,定理4.6:

设是单位向量,则对任意存在Householder矩阵使得其中且为实数.推论1:

对任意存在Householder矩阵使得其中且为实数.推论2:

对任意存在Householder矩阵,（且）使得其中定义:

设且满足称阶方阵,为Givens矩阵或初等旋转矩阵.由Givens矩阵确定的上的线性变换称为Givens变换或初等旋转变换.注:

Givens矩阵是酉矩阵,且定理4.7:

对任意存在Givens矩阵使得的第个分量为零,第个分量为非负实数,其余分量不变.,推论:

设则存在Givens矩阵使得称之为用Givens变换化向量与同方向.矩阵的QR分解定义:

设如果存在阶酉矩阵和阶上三角矩阵使得,则称之为的QR分解或酉-三角分解,当时,称上式为的正交-三角分解.定理4.8:

任意都可以作QR分解.定理4.9:

设则可唯一地分解为其中是阶酉矩阵,是具有正对角元的上三角矩阵.定理4.10:

设则可唯一分解为,其中且满足是具有正对角元的上三角矩阵.矩阵酉相似于Hessenberg矩阵定义:

如果的元素满足即:

则称为上Hessenberg矩阵.如果的元素满足则称为下Hessenberg矩阵.如果的元素满足则称为三对角矩阵.定理4.11:

设则可酉相似于上Hessen-berg矩阵.注:

定理4.11是Schur定理的特例.推论1:

设则可正交相似于实的Hessen-berg矩阵.,推论2:

设是Hermite矩阵,则可酉相似于三对角矩阵.推论3:

设是对称矩阵,则可正交相似于实的三对角矩阵.,4.3矩阵的满秩分解,Hermite标准形定义:

设如果经过有限次初等变换变成矩阵则称矩阵与等价.定理4.12:

设则

（1）与等价的充要条件是

（2）与等价的充要条件是,存在和,使得定理4.13:

设则可通过行初等变换化为简化的阶梯型矩阵（行最简形或Hermite标准形）.即存在使得定义:

以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶方阵,称为阶置换矩阵,这里是的一个全排列.定理4.14:

设是置换矩阵,则是正交矩阵;

（2）对任意是将的列按的次序重新排列所得到的矩阵.定理4.15:

设则存在和阶置,换阵使得定理4.16:

设则存在和使得,矩阵的满秩分解定义:

设如果存在和使得则称之为的满秩分解.定理4.17:

设则的满秩分解总是存在的.定理4.18:

设且的Hermite标准形,为取的第列构成矩阵又取的前行构成矩阵则即为的一个满秩分解.,4.4矩阵的奇异值分解,定义:

设若存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得则称与酉等价.定义:

设的特征值为则称为的奇异值.定理4.19:

酉等价矩阵有相同的奇异值.,定理4.20:

设则存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得（*）其中而为的非零奇异值.另外,由（*）式可得称之为的奇异值分解.,推论:

设则存在阶酉矩阵和使得其中为的奇异值.定理4.21:

设则可分解为其中是阶酉矩阵,和是Hermite半正定矩阵,称上式为矩阵的极分解.,定理4.22:

设且的奇异值分解为则是矛盾方程组的最小二乘解;如果的最小二乘解不唯一,则是其中具有最小2范数的向量,称为的极小范数最小二乘解.,第五章：

距离空间5.1距离空间的概念,定义:

设是非空集合,若存在一个映射使得下列距离公理成立:

非负性:

对称性:

三角不等式:

则称为与的距离,为以为距离的距离空间,记作,5.2距离空间中的点集，极限与连续,1.有关点的几个概念:

2.有关集的几个概念:

3.有关距离的几个概念:

4.点列的收敛性:

5.映射的连续性:

第六章：

赋范空间与Banach空间6.1线性空间,引理:

设满足则定理5.1:

设则的任一特征值满足推论:

Hermite矩阵的特征值都是实数,反Hermite矩,6.2赋范空间,定义:

设若存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得则称与酉等价.定义:

设的特征值为则称为的奇异值.定理4.19:

酉等价矩阵有相同的奇异值.,6.3Banach空间,定义:

设若存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得则称与酉等价.定义:

设的特征值为则称为的奇异值.定理4.19:

酉等价矩阵有相同的奇异值.,第七章：

内积空间与Hilbert空间7.1内积空间,引理:

设满足则定理5.1:

设则的任一特征值满足推论:

Hermite矩阵的特征值都是实数,反Hermite矩,7.2Hilbert空间中的Fourier分析,定义:

设若存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得则称与酉等价.定义:

设的特征值为则称为的奇异值.定理4.19:

酉等价矩阵有相同的奇异值.,7.3正交分解定理,定义:

设若存在阶酉矩阵和阶酉矩阵使得则称与酉等价.定义:

设的特征值为则称为的奇异值.定理4.19:

酉等价矩阵有相同的奇异值.,（完）谢谢同学们!