八年级上学期数学《等腰三角形》单元检测卷.docx

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八年级上学期数学《等腰三角形》单元检测卷

八年级上学期数学《等腰三角形》单元检测卷

时间：

120分钟　　　　　满分：

150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

2．点P（－2，1）关于x轴对称的点的坐标为（　　）

A．（2，－1）B．（－2，1）C．（2，1）D．（－2，－1）

3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（　　）

A．6B．5C．4D．3

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A点作AD∥BC.若∠BAD＝110°，则∠BAC的度数为（　　）

A．30°B．40°C．50°D．70°

5．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数为（　　）

A．50°B．45°C．40°D．35°

6．如图，已知△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C与点A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD.若AE＝4cm，则△ABD的周长是（　　）

A．20cmB．18cmC．15cmD．22cm

7．如图，已知△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论中正确的是（　　）

①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.

A．①②③④B．①②C．②③D．①③

8．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（　　）

A．75°B．15°C．75°或15°D．30°

9．如图，在等边△ABC中，中线AD、BE交于点F，则图中等腰三角形的个数有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，此时∠AMN＋∠ANM的度数为（　　）

A．130°B．120°C．110°D．100°

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．如图，小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200米，则山的高度为________米．

12．△ABC的三边AB、BC、CA长分别为12、10、6，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__________．

13．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝________°.

14．如图，在线段AB上取一点C（非中点），分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE于点G，AE和BD交于点H，则下列结论正确的是__________（填序号）．

①AE＝DB；②不另外添加辅助线，图中的全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．如图是一个8×10的方格纸，在△ABC中，A点的坐标为（－2，1）．

（1）△ABC和△A′B′C′满足什么几何变换（直接写出答案）?

（2）作△A′B′C′关于x轴的对称图形△A″B″C″；

（3）求A″、B″、C″三点的坐标（直接写出答案）．

16．已知点A（a＋b，2）与点B（－b，a－b）关于y轴对称，求ba的值．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：

∠C＝2∠D.

18．如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”C应修建在什么位置？

请在图上标出它的位置（尺规作图，保留痕迹）．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在的直线对折，使点A落在平面上的点F处，DF交BC于点E.

（1）求证：

△DCE≌△BFE；

（2）若EF＝2，∠ADB＝30°，求DF的长．

20．如图，在△ABC中，BA＝BD，CA＝CE，∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．

六、（本题满分12分）

21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC.若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm.

（1）求线段BC的长；

（2）连接OA，求线段OA的长；

（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．

七、（本题满分12分）

22．如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形．

（1）试证明△AEF≌△CDE；

（2）△ABC是等边三角形吗？

请说明你的理由．

八、（本题满分14分）

23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动（与点A、C不重合），点Q是CB延长线上一点，点Q同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合）．过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段DE的长度是否发生变化？

如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．

参考答案与解析

1．A　2.D　3.A　4.B　5.B　6.D　7.A　8.C

9．D　解析：

△CDE，△DEF，△ADE，△BDE，△ABF，△ABC都是等腰三角形，共6个．故选D.

10．B　解析：

如图，作点A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″的长即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝120°，∴∠A′＋∠A″＝180°－∠BAD＝60°.由对称可得∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″.又∵∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝2（∠A′＋∠A″）＝2×60°＝120°.故选B.

11．100　12.6∶5∶3

13．60　解析：

∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE＝40°.∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCE＝80°，∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°.

14．①③④　解析：

∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB.在△ACE和△DCB中，∵

∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，∠CAE＝∠CDB，故①正确；∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠DCE.在△ACF与△DCG中，∵

∴△ACF≌△DCG.同理可得△BCG≌△ECF，故②错误；∵△ACF≌△DCG，∴CF＝CG.∵∠FCG＝60°，∴△CFG是等边三角形，故③正确；如图，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，∴∠AMC＝∠DNC＝90°.在△ACM与△DCN中，∵

∴△ACM≌△DCN，∴CM＝CN，∴CH平分∠FHG，故④正确．故答案为①③④.

15．解：

（1）轴对称．（2分）

（2）△A″B″C″如图所示．（5分）

（3）A″（2，－1），B″（1，－2），C″（3，－3）．（8分）

16．解：

∵点A（a＋b，2）与点B（－b，a－b）关于y轴对称，∴

解得

∴ba＝（－2）0＝1.（8分）

17．证明：

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠D.∵AD∥BC，∴∠D＝∠CBD，∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝2∠D，∴∠C＝2∠D.（8分）

18．解：

如图，作∠NOM的平分线和线段AB的垂直平分线，它们的交点为C，则C点就是英语角的位置．（8分）

19．

（1）证明：

∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°.由折叠的性质可得AB＝FB，∠F＝∠A＝90°，∴DC＝BF，∠C＝∠F.在△DCE和△BFE中，∵

∴△DCE≌△BFE（AAS）．（5分）

（2）解：

由折叠的性质可得∠BDF＝∠ADB＝30°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADB－∠BDF＝30°.由

（1）可知△DCE≌△BFE，∴EC＝EF＝2.在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴DE＝2CE＝4，∴DF＝DE＋EF＝4＋2＝6.（10分）

20．解：

∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝

（180°－∠B）＝90°－

∠B.∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA＝

（180°－∠C）＝90°－

∠C，（4分）∴∠DAE＝180°－∠CEA－∠BDA＝180°－（∠BDA＋∠CEA）＝180°－

＝

（∠B＋∠C）＝

（180°－∠BAC）＝

（180°－100°）＝40°.（10分）

21．解：

（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB.∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC.∵△ADE的周长为6cm，∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝6cm.（4分）

（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB.∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB＝OC.∵OB＋OC＋BC＝16cm，BC＝6cm，∴OB＝OC＝

（16－6）＝5（cm），∴OA＝5cm.（8分）

（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠ACB＝60°.由

（1）可知DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝∠BAC－∠ABC－∠ACB＝120°－60°＝60°.（12分）

22．解：

（1）∵BF＝AC，AB＝AE，∴AF＝CE.∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE.又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE（SSS）．（5分）

（2）△ABC是等边三角形．（7分）理由如下：

由

（1）可知△AEF≌△CDE，∴∠FEA＝∠EDC，∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF.又∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°.同理可得∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．（12分）

23．解：

（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.（2分）设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，∴QC＝QB＋BC＝6＋x.（4分）∵在Rt△QCP中，∠CQD＝30°，∴PC＝

QC，即6－x＝

（6＋x），解得x＝2，∴AP＝2.（6分）

（2）在运动过程中线段DE的长度不会改变．（8分）如图，过P作PF∥BC交AB于点F，则∠1＝∠2.∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°.∵PF∥BC，∴∠AFP＝∠ABC＝60°，∠APF＝∠C＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝FP.∵PE⊥AB，∴AE＝FE＝

AF，即AF＝2EF.（10分）又∵P、Q两点的运动速度相同，∴AP＝BQ，∴FP＝BQ.在△BDQ和△FDP中，

∴△BDQ≌△FDP（AAS），∴DB＝DF，∴BF＝2DF.（12分）∵AF＋BF＝AB＝6，∴2EF＋2DF＝6，∴EF＋DF＝3，即DE＝3.（14分）