（1）求线段AB的长；
（2）请用含X的代数式表示AC+BC的值；
（3）求AC+BC的最小值.
（3）（灵活运用）
如图3,将
（2）题中“在等边AABC内有一点P改为“在等腰直角三角形ABC内
有一点PS且EA=ECfA=6.EP=4,PC=2,求ZBPC的度数.
参考答案
1.A
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的概念：
（1）被开方数不含分母：
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可.
【详解】
A.屁是最简二次根式，本选项正确.
b.故屁不是最简二次根式，本选项错误；
c.卜斗,故£不是最简二次根式，本选项错误；
A.恵=2迈,故丽不是最简二次根式，本选项错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断.
2.D
【解析】
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
【详解】
把x=0代入方程（a-3）x2-2.r+a2-9=0,得：
ar-9=0,解得：
a=±3.
Ta—3H0,.*.«=—3.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0,难度不人.
3.C
【解析】
【分析】
求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可.
【详解】
A.Vl-+22^32,A以1,2,3为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
B.・・・2吟3映42,・•・以2,3,4为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C.・・T'+（JI）鼻（JI）r・•・以1，JT，为边组成的三角形是直角三角形，故本选项正确：
D.I（）2+3?
工5?
・・・以迈,3,5为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项错
误.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解答此题的关键.
4.B
【解析】
【分析】
根据折叠的条件可得：
BE=DE,在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解.
【详解】
将此长方形折叠，使点B与点D重合,・・・BE=ED.
*：
AD=25=AE+DE=AE+BE,:
.BE=25-AE,根据勾股定理可知：
AB2+AE2=BE2.
解得：
AE=12,:
.AABE的面积为5X124-2=30.
故选E.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用.掌握勾股定理是解题的关键.
5.D
【解析】
【分析】
先估算出V20的取值范围，再由不等式的基本性质即可得出结论.
【详解】
V16<20<25,Z.4<720<5,A4-1<720-1<5-1,即3<炉_\<4.
故选D.
【点睛】
本题考查了估算无理数的人小，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键.
6.C
【解析】
【分析】
仔细分析题意得：
梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可.
【详解】
梯脚与墙脚距离：
J3.52_2.82=2.1（米）.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用.善于提取题目的信息是解题以及学好数学的关键.
7.B
【分析】
根据根与系数的关系得到Xi+x2=3,xrx2=-1,再把xrXz+XiXr变形为x^x2（xi+as）,然后利用整体代入的方法计算即可.
【详解】
根据题意得:
X1+X2=3,X1*X2=-1,所以原式=X1*X2（X1+X2）=-1X3=—3.
故选E.
【点睛】
本题考查了一元二次方程e2+bx+c=05HO）的根与系数的关系：
若方程两个为Al,A-2,则
bc
A1+X2=——,Al*X2=—.
aa
&A
【解析】
根据题意得：
用Yx+4|+J2x_）一3=0,所以F-4x+4|=0,J2x_）一3=0,
即（只一2）2=0,2x-v-3=0,所以x=29）*=!
所以x+）=3.故选A・
9.D
【分析】
根据根与系数的关系可得a+b=-3,根据一元二次方程的解的定义可得，=-3°+6,然后代入变形、求值即可.
【详解】
%、b是一元二次方程at+3x-6=0的两个不相等的根，•:
a+b=-3»a2+3a-6=0,即a2=-
3“+6,贝lja2-3b=-3d+6-3b=-3（d+b）+6=・3X（-3）+6=9+6=15.
故选D.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与
代数式变形相结合进行解题.
10.C
【分析】
解：
设CD=x,则DE=a-x,求得AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x,求得CD=^二2,得
2
到BC=DE=«-—=—,根据勾股定理即可得到结论.
22
【详解】
设CD=x,则DE=a-X,
•••HG=b,•••AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x.
a-b
a-bci+b
ABC=DE=a
2
故选：
C.
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正确的识别图形,用含⑦b的式子表示各个线段是解题的关键.
11.4.
【解析】
【分析】
根据完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求出答案.
【详解】
当尸馆+1时，=・•・原式-2x+l+l=（x-1）2+l=3+l=4.
故答案为：
4.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型.
1
12.x>--
2
【分析】
二次根式要有意义，则二次根式内的式子为非负.
【详解】
要使JIETT在实数范闱内有意义
则2x+l>0
解得：
xn-亍
乙
故答案为：
x—
2
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，注意，有意义的条件中，0也是可以的.
13.1
【解析】
【分析】
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于d的方程，根据解方程，可得答案.
【详解】
解:
=2\/2‘
由最简二次根式&ZT与爲能合并成一项，得
4+1=2.
解得«=1.
故答案是：
1.
【点睛】
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式.
14.8或4巧或2^10
【分析】
存在三种情况，一种是AD=AC,ZDAC=90。
，第二种是AC=CD,ZACD=90。
，第三种是AD=DC,ZADC=90°.第一种直接可得出ED长，后两种构造直角三角形，利用勾股定理可求得BD的长.
【详解】
情况一:
AD=AC,ZDAC=90。
，图形如下
VAB=AC=4,AC=AD
・・・BD=4+4=8
情况二：
AC=CD,ZACD=90。
，图形如下，过点D作AB的垂线，交AB反向延长线于点
E,连接ED
:
.CD=4
VZDCA=90°,ZCAB=90%ZDEA=90°
•••CD〃AE,DE〃CA,
・•・四边形ACDE是平行四边形
DE=CA=4,EA=DC=4
在RtADEB中，DE=4,EE=8,
ABD=4>/5
情况三：
AD=DC,ZADC=90。
，图形如卞，过点D作AE的垂线，交AB反向延长线于点E,
过点D作AC的垂线，交AC于点F
VAB=AC=4,AACD是等腰直角三角形，DF丄AC
•••DF=FA=FC=2
同理，四边形DFAE是平行四边形
•••DE=FA=2,AE=DF=2
在DEE中，DE=2,EE=6,
・・・BD=2应
故答案为：
8或4石或2顶
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质和勾股定理的运用，题干未唯一确定等腰直角三角形ADC,故存在多解情况.
15・“=一1+羽,心=一1一前
【解析】
【分析】
把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，然后开方即可.
【详解】
移项得：
x2+2x=2
配方得：
f+"+i=3
即（x+1）2=3
开方得：
A+l=±73
•••¥]=1,疋=1—^3•
【点睛】
本题考查了解一元二次方程--配方法.配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1：
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
2
16.4-
3
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算法则计算即可.
【详解】
原式=（|^/T273-）+（V3）2-1
3
3
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握各运算法则和平方差公式是关键.
17.
（1）./42+2+（-）2=4+1=41；
（2）.br+2+（-）2=/?
+丄=匚乜，证明见V444Vnnn
解析.
【分析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2,第三个等式内数字为3”,即
（2）根据等式的变化，找出变化规律“h+2+（丄尸=口+丄=伫二1”,再利用
Vnnn
n2+2+（丄严=5+-）2开方即可证出结论成立.
nn
【详解】
（1）•・•①Jf+2+（+）2=1+1=2
②卞+2+（护=2+卜2*；③店+2+（学=
琨諾；里面的数字分别为23,
证明：
等式左边=Jf+2”丄+（丄）'=』5+丄）2="+丄=巴二1=右边.
Vnnvnnn
故.In2+2+（—）2=n+—="+'成立•
Vnnn
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：
（1〉猜测出第四个等式中变化的数字为4；
（2）找出变化规律“b+2+（丄严=“+丄=匚乜”.解决
Ynnn
该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键.
18•池水有12尺深，芦苇有13尺高.
【解析】
【分析】
设水池深兀尺.根据勾股定理即可得出结论.
【详解】
设水池深;V尺.根据题意得：
F+（12）2=（X+1）22
解得：
412
a+1=12+1=13.
答：
池水有12尺深，芦苇有13尺高.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
19•见解析.
【解析】
【分析】
结合m-1H0或加-1=0,进而利用根的判别式△=，-4ac直接进行判断即可.
【详解】
分两种情况讨论：
（1）当加时，△=（4）2-4（-/n-3）=4加斗8〃汁4=4（〃汁1）2^0.
即当加时，△$（）,方程有两个实数根.
（2）当加=1时，原方程是一元一次方程，有一个实数根.
综上所述：
无论用取何值，原方程都有实数根.
【点睛】
本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
（1）A〉。
。
方程有两个不相等的实数根；
（2）A=0^方程有两个相等的实数根；
（3）AVOo方程没有实数根.
20.2021年要投入的广告经费为1.8亿元.
【解析】
【分析】
设2021年至2021年的广告经费的年平均降低的百分率为x,根根2018年投入广告经费2亿元，计划2020年要投入广告经费比2018年降低19%,列方程，再求解即可得到平均降低率，从而得出结论.
【详解】
设2021年至2021年的广告经费的年平均降低的百分率为X,根据题意得：
2（1-x）—2（1-19%）
解得:
Xi=0.1=10%,a-2=190%（舍去）.
故2021年要投入的广告经费为2（1-10%）=1.8（亿元）.
答：
2021年要投入的广告经费为1.8亿元.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.
21.
（1）每千克茶叶应降价30元或80元；
（2）该店应按原售价的8折出售.
【分析】
（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量X每件利润=41600元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应卞降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折.
【详解】
（1）设每千克茶叶应降价x元.根据题意，得：
X
（400-X-240）（200+—x40）=41600.
10
化简，得:
x2-10x+240=0.
解得：
M=30,“2=80.
答：
每T•克茶叶应降价30元或80元.
（2）由
（1）可知每T•克茶叶可降价30元或80元.因为要尽可能让利于顾客，所以每T•克茶叶某应降价80元・
320
此时，售价为：
400-80=320（元），——x100%=80%.
400
答：
该店应按原售价的8折出售.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.
22.（l）AB=10：
（2）J49+F+J（8—xF+l；（3）AC+BC最小值为8血.
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长；
（2）根据两点间的距离公式可求线段AC,BC的值，再相加即可求解；
（3）作B点关于x轴对称点F点，连接AF,与x轴相交于点C.此时AC+BC最短.根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】
⑴AB=V<8-0）2+（7-l）2=10:
（2）AC+BC=V（x-0）2+（7-0）2+=J（8—x『+（I—。
）?
=jF+49+J（8—+l;
（3）如图，作B点关于x轴对称点F点，连接AF,与x轴相交于点C.此时AC+BC最短.•••3（8,1）,・・・F（8,—1）,:
.AC+BC=AC+CF=AF=^（8-0）2+（-1-7）2=>/82+82=8>/2.即AC+BC最小值为8©.
【点睛】本题考查了最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键.
23.
（1）如图1所示，见解析；45°；
（2）ZBPC=150°,PP'=；（3）ZBPC=135°.
【解析】
【分析】
（1）根据旋转角，旋转方向画岀图形即可，只要证明是等腰直角三角形即可；
（2）根据旋转的性质，可得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求出PP的长；
而APPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以ZAP'B=150°，从而得出结论：
（3）将ABPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB,与
（1）类似：
可得：
ZEBP=ZEBA+ZABP=ZABCT0’,求出"EP=45。
根据勾股定理的逆定理求出
ZAEP=9Q<,,即可得出结论.
【详解】
如图1所示，连接33,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90“，
:
.AB=AB',ZB'AB=90<,,・*.ZAB'B=45°.
故答案为45°:
（2）•••△ABC是等边三角形，
・•・ZABC=6Q°,
将'BPC绕点B顺时针旋转60。
得出△ABP,如图2,
••・AP=C7M,BP=BP=*,ZPBC=ZP'BA,ZAP'B=ZBPC.
TZPBC+ZABP=ZABC=60°,
・•.ZABP'+ZABP=ZABC=6Q°,
•••△BPP是等边三角形，
:
・PP'=羽,ZBP'P=60°.
•:
AP=l,AP=2t
:
.APQ+PPt2=l2+（y/3）2=4,AP—2—4,
:
.AP'2+PP'2=AP-t
・•・ZAPP=90。
，贝iJaPP'A是直角三角形，
•••ZBPC=ZAP,B=90°+60°=150°：
（3）如图3,将\BPC绕点B逆时针旋转90。
得到'AEB,
与
（1）类似：
可得：
AE=PC=2,BE=BP=4,ZBPC=ZAEB,ZABE="BC,
:
.ZEBP=ZEBA+ZABP=ZABC=90。
:
.ZBEP=-（180°-90°）=45。
，
2
由勾股定理得：
EP=4近.
VAE=2,AP=69EP=4迈,
/.AE2+PE2=22+（4V2）2=362=62=36,
：
.AE2+PE2=AP2,
:
.ZAEP=90°.
:
.ZBPC=ZAEB=90°+45°=135°.
【点睛】
本题考查了勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，旋转的性质
等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解答此题的关键.
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