优化课堂高一数学人教A版必修1学案第三章322函数模型的应用实例.docx

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优化课堂高一数学人教A版必修1学案第三章322函数模型的应用实例

3．2.2　函数模型的应用实例

[学习目标]　1.会利用给定的函数模型解决实际问题．（重点）2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题（重点、难点）．

一、几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）

二次函数模型

f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

指数函数模型

f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0）

对数函数模型

f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）

幂函数模型

y＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠1，α≠1）

分段函数模型

f（x）＝

二、应用函数模型解决问题的基本过程

1．判断：

（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝kx＋8（k≠0）在R上是增函数．（　　）

（2）二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为

.（　　）

（3）函数y＝

·2x－10随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快．（　　）

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）√

2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有1个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是（　　）

A．y＝2x　　　　　　　　　B．y＝2x－1

C．y＝2xD．y＝2x＋1

【解析】　分裂一次后由1个变成2个，分裂两次后2×2＝22个，……，分裂x次后y＝2x个．

【答案】　C

3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（　　）

A．300只B．400只

C．600只D．700只

【解析】　将x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得，100＝alog2（1＋1），解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300.

【答案】　A

4．已知大气压p（百帕）与海拔高度h（米）的关系式为p＝1000·

，则海拔6000米处的大气压为________百帕．

【解析】　当h＝6000时，p＝1000·

＝4.9.

【答案】　4.9

预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中

问题1

问题2

问题3

问题4

一次函数、二次函数模型的应用

（1）据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（　　）

A．y＝0.3x＋800（0≤x≤2000）

B．y＝0.3x＋1600（0≤x≤2000）

C．y＝－0.3x＋800（0≤x≤2000）

D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）

（2）渔场中鱼群的最大养殖量为m（m＞0），为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．

①写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；

②求鱼群年增长量的最大值．

【解析】　

（1）由题意知，变速车存车数为（2000－x）辆次，则总收入y＝0.5x＋（2000－x）×0.8＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）．

【答案】　D

（2）①根据题意知，空闲率是

，故y关于x的函数关系式是y＝kx·

，0＜x＜m.

②由①知，y＝kx·

＝－

x2＋kx

＝－

＋

，0＜x＜m.

则当x＝

时，ymax＝

.

所以，鱼群年增长量的最大值为

.

1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0），构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．

2．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数模型后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．

分段函数模型的应用

　某市居民自来水收费标准如下：

每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨．

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．

【思路探究】　由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型．

【解】　

（1）当甲用户的用水量不超过4吨，即5x≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：

y＝（5x＋3x）×1.80＝14.4x；

同理可得

当

时，y＝20.4x－4.8；

当x>

时，y＝24x－9.6.

∴y＝

（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单调递增，

所以当x∈

时，y≤f

<26.40；

当x∈

时，y≤f

<26.40；

当x∈

时，令24x－9.6＝26.40，

得x＝1.5.∴甲用户用水量为5x＝7.5（吨），

付费y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70（元）．

乙用户用水量为3x＝4.5（吨），

付费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70（元）．

1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．

2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．

　已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．

（1）把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数（从A地出发时开始），并画出函数的图象；

（2）把车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图象．

【解】　

（1）①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t（0≤t≤2.5）．

②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150（2.5＜t≤3.5）．

③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50（t－3.5）＝325－50t（3.5＜x≤6.5）．

综上，s＝

它的图象如图

（1）所示．

（1）　　　　　　　　　　　

（2）

（2）速度v（km/h）与时间t（h）的函数关系式是v＝

它的图象如图

（2）所示．

指数函数、对数函数模型的应用

　（2014·邯郸高一检测）声强级Y（单位：

分贝）由公式Y＝10lg

给出，其中I为声强（单位：

W/m2）．

（1）平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．

（2）一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？

（3）比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？

【思路探究】　由公式Y＝10lg

可以由I求Y，也可以由Y求I，计算I＝5×10－7W/m2时的声强级并与50作比较就可以判断两位同学是否会影响其他同学休息．

【解】　

（1）当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lg

＝10lg106＝60，即声强级为60分贝．

（2）当Y＝0时，即为10lg

＝0，

所以

＝1，I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2.

（3）当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg

＝10lg（5×105）＝50＋10lg5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．

1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．

2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N（1＋p）x（其中N为基数，p为增长率，x为时间）的形式．

本题中为了达到比较理想的睡眠环境声强I的取值范围是什么？

【解】　由0≤Y≤50得0≤10lg

≤50，

所以0≤lg

≤5＝lg105，

所以1≤

≤105，10－12≤I≤10－12×105＝10－7，

所以声强I的取值范围是10－12≤I≤10－7.

1．解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题．解决问题时要注意自变量的取值范围．

2．

（1）解应用题的一般思路可表示如下：

（2）解应用题的一般步骤：

①读：

阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；

②建：

将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；

③解：

求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；

④答：

将数学结论还原为实际问题的结论．

拟合函数模型的建立与应用

　（12分）某企业常年生产一种出口产品，自2010年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2010年为第1年，前4年年产量f（x）（万件）如下表所示：

x

1

2

3

4

f（x）

4.00

5.58

7.00

8.44

（1）画出2010～2013年该企业年产量的散点图；

（2）建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；

（3）2014年（即x＝5）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量为多少？

【思路探究】　

→

【满分样板】　

（1）画出散点图，如图所示.2分

（2）由散点图知，可选用一次函数模型．

设f（x）＝ax＋b（a≠0）．由已知得

解得

∴f（x）＝1.5x＋2.5.4分

检验：

f

（2）＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.

f（4）＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.6分

∴一次函数模型f（x）＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化.8分

（3）根据所建的函数模型，预计2014年的年产量为f（5）＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2014年的年产量为7万件.12分

函数拟合与预测的一般步骤是：

（1）根据原始数据、表格，绘出散点图．

（2）通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．

（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．

（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．

——[类题尝试]—————————————————

　（2014·安徽师大附中期中）某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x（1≤x≤4，x∈N*）之间关系的是（　　）

A．y＝100x　　　　B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2xD．y＝100x

【解析】　当x＝4时，A中，y＝400，B中，y＝700，C中，y＝800，D中，y＝1004.故选C.

【答案】　C