鸡兔同笼问题解析.docx

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鸡兔同笼问题解析

鸡兔同笼

一、基本问题　

　　“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

　　例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

　　解：

我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

　　244÷2=122（只）.

　　在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

　　122-88=34，

　　有34只兔子.当然鸡就有54只.

　　答：

有兔子34只，鸡54只.

　　上面的计算，可以归结为下面算式：

　　总脚数÷2-总头数=兔子数.

　　上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！

能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

　　还说例1.

　　如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

　　88×4-244=108（只）.

　　每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

　　（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.

　　说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

　　当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

　　244-176=68（只）.

　　每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

　　68÷2=34（只）.

　　说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

　　上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.

　　假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.

　　现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.

　　例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？

　　解：

以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.

　　现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有

　　蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

　　=24÷8

　　=3（支）.

　　红笔数=16-3=13（支）.

　　答：

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

　　对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是

　　8×（11+19）=240.

　　比280少40.

　　40÷（19-11）=5.

　　就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.

　　30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

　　实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数

　　19×10+11×6=256.

　　比280少24.

　　24÷（19-11）=3，

　　就知道设想6只“鸡”，要少3只.

　　要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

　　下面再举四个稍有难度的例子.

　　例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？

　　解：

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.

　　现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.

　　根据前面的公式

　　“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）

　　=4.5，

　　“鸡”数=7-4.5

　　=2.5，

　　也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.

　　答：

甲打字用了4小时30分.

　　例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

　　解：

4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是

　　（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

　　1998年，兄年龄是

　　14-4=10（岁）.

　　父年龄是

　　（25-14）×4-4=40（岁）.

　　因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

　　（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

　　这是2003年.

　　答：

公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

　　例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

　　解：

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的

　　蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）

　　=5（只）.

　　因此就知道6条腿的小虫共

　　18-5=13（只）.

　　也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式

　　蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

　　因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

　　答：

有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.

　　例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

　　解：

对2道、3道、4道题的人共有

　　52-7-6=39（人）.

　　他们共做对

　　181-1×7-5×6=144（道）.

　　由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样

　　兔脚数=4，鸡脚数=2.5，

　　总脚数=144，总头数=39.

　　对4道题的有

　　（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.

　　答：

做对4道题的有31人.

二、“两数之差”的问题

　　鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？

　　例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

　　解一：

如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

　　（680-8×40）÷（8+4）=30（张），

　　这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.

　　因此8分邮票有

　　40+30=70（张）.

　　答：

买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二：

譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是

　　4×20+8×60=560.

　　比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是

　　（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.

　　因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.

　　例8一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天

　　工程要多少天才能完成？

　　解：

类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有

　　（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.

　　雨天是7+3=10天，总共

　　7+10=17（天）.

　　答：

这项工程17天完成.

　　请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.

　　总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？

　　例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

　　解一：

假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

　　（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

　　鸡是

　　100-38=62（只）.

　　答：

鸡62只，兔38只.

　　当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

　　（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二：

假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

　　4×50-2×50=100，

　　比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是

　　（100-28）÷（4+2）=12（只）.

　　兔只数是

　　50-12=38（只）.

　　另外，还存在下面这样的问题：

总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.

　　例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

　　解一：

如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

　　13×5×4+20=280（字）.

　　每首字数相差

　　7×4-5×4=8（字）.

　　因此，七言绝句有

　　28÷（28-20）=35（首）.

　　五言绝句有

　　35+13=48（首）.

　　答：

五言绝句48首，七言绝句35首.

　　解二：

假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了

　　460-280=180（字）.

　　与题目中“少20字”相差

　　180+20=200（字）.

　　说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

　　200÷8=25（首）.

　　五言绝句有

　　23+25=48（首）.

　　七言绝句有

　　10+25=35（首）.

　　在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

　　例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是

　　（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.

　　例9，假设都是兔，鸡的只数是

　　（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

　　10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是

　　（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.

　　首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？

　　当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

　　例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

　　解：

如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是

　　（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.

　　答：

这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

　　请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？

　　例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

　　解一：

如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是

　　8×6-2×（15-6）=30（分）.

　　两次相差

　　120-30=90（分）.

　　比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少

　　6+10=16（分）.

　　（90-10）÷（6+10）=5（题）.

　　因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.

　　第一次得分

　　5×19-1×（24-9）=90.

　　第二次得分

　　8×11-2×（15-11）=80.

　　答：

第一次得90分，第二次得80分.

　　解二：

答对30题，也就是两次共答错

　　24+15-30=9（题）.

　　第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.

　　如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是

　　（6×9+10）÷（6+10）=4（题）·

　　第一次答错9-4=5（题）.

　　第一次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.

　　第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.

三、从“三”到“二”　

　　“鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.

　　例13学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？

　　解：

从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

　　（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.

　　现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是

　　（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.

　　铅笔和圆珠笔共

　　232－12＝220（支）.

　　其中圆珠笔

　　220÷（4+1）=44（支）.

　　铅笔

　　220-44=176（支）.

　　答：

其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支.

　　例14商店出售大、中、小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元.张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？

　　解：

因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是

　　（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.

　　从公式可算出，大球个数是

　　（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）.

　　买中、小球钱数各是

　　（120-30×3）÷2=15（元）.

　　可买10个中球，15个小球.

　　答：

买大球30个、中球10个、小球15个.

　　例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了.

　　例15是为例16作准备.

　　例15某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少？

　　解：

去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.

　　平均速度=所行距离÷所用时间

　　去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟.来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.

　　千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：

每小时走（6+3）÷2=4.5千米.

　　例16从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？

　　解：

把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例15，平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡、兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

　　（90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.

　　单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.

　　从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是

　　45-5×3=30（千米）.

　　又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是

　　（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.

　　行走路程是3×4=12（千米）.

　　下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.

　　答：

从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米.

　　做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例16是非常典型的例题.

　　例17某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题.那么，其中考25题的有多少次？

　　解：

如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.

　　每次考25道题，就要多25-16=9（道）.

　　每次考20道题，就要多20-16=4（道）.

　　就有

　　9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.

　　请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0，2，4这三个数.由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.

　　答：

其中考25题有2次.

　　例18有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位？

　　解：

由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

　　如果有30人乘电车，

　　110-1.2×30=74（元）.

　　还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

　　如果有40人乘电车

　　110-1.2×40=62（元）.

　　还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多（62＞6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间，只有35是5的整数倍.

　　现在又可以转化成“鸡兔同笼”了：

　　总头数50-35=15，

　　总脚数110-1.2×35=68.

　　因此，乘小巴前往的人数是

　　（6×15-68）÷（6-4）=11.

　　答：

乘小巴前往的同学有11位.

　　在“三”转化为“二”时，例13、例14、例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种.例17、例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值.对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成“二”的问题了.在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解.