鸡兔同笼问题讲解及习题(含答案).doc

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鸡兔同笼问题讲解及习题

鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。

许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

问：

小梅家的鸡与兔各有多少只?

分析：

假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44—32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

‘

解：

有兔（44—2×16）÷（4—2）＝6（只），

有鸡16—6＝10（只）。

答：

有6只兔，10只鸡。

当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64—44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。

我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4—2＝2（只）。

因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

有鸡（4×16—44）÷（4—2）＝10（只），有兔16—10＝6（只）。

由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。

因此这类问题也叫置换问题。

例2100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

问：

大、小和尚各有多少人?

分析与解：

本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100—80＝20（人）。

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

例3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。

问：

两种文化用品各买了多少套?

分析与解：

我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。

这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304－280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19—11＝8（元），所以买普通文化用品24÷8＝3（套），买彩色文化用品16－3＝13（套）。

例4鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：

鸡、兔各多少只?

分析：

假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200－20＝180（只）。

现在以免换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100－30＝70（只）。

解：

有兔（2×100—20）÷（2＋4）＝30（只），

　　　有鸡100－30＝70（只）。

　　　　　　　　　　　　答：

有鸡70只，兔30只。

例5现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。

问：

大、小瓶各有多少个?

分析：

本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。

解：

小瓶有（4×50—20）÷（4+2）＝30（个），

大瓶有50—30＝20（个）。

答：

有大瓶20个，小瓶30个。

例6一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。

已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨?

分析：

要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36＝144（吨）。

根据条件，要装完这144吨钢材还需要45—36＝9（辆）小卡车。

这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。

由此可求出这批钢材有多少吨。

解：

4×36÷（45—36）×45＝720（吨）。

答：

这批钢材有720吨。

例7乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0．24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1．26元，结果搬运站共得运费115．5元。

问：

搬运过程中共打破了几只花瓶?

分析：

假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0．24×500＝120（元）。

实际上只得到115．5元，少得120—115．5二4．5（元）。

搬运站每打破一只花瓶要损失0．24＋1．26＝1．5（元）。

因此共打破花瓶4．5÷1．5＝3（只）。

解：

（0．24×500－115．5）÷（0．24＋1．26）＝3（只）。

　　　　　　　　答：

共打破3只花瓶。

例8小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。

已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下?

分析与解：

利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12×（2+3）＝60（下）。

可求出小乐每分钟跳

（780－60）÷（2+3+3）＝90（下），

小乐一共跳了90×3＝270（下），因此小喜比小乐共多跳

780—270×2＝240（下）。

练习题

1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只?

2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。

问：

象棋与跳棋各有多少副?

3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。

活页簿每本L9元，日记本每本3．1元。

问：

买活页簿、日记本各几本?

4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。

问：

龟、鹤各几只?

5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。

贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。

问：

贺年卡、明信片各买了几张?

6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。

问：

这几天中共有几个雨天?

7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。

做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。

小建得了60分，那么他做对了几道题?

8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。

已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克?

9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。

问：

每种小虫各有几只?

10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。

问：

鸡、兔各几只?