05 二元一次方程.docx
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05二元一次方程
二元一次方程（组）及其应用
一、选择题
1.（2014•黑龙江龙东,第19题3分）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：
胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
考点：
二元一次方程的应用．.
分析：
依题意建立方程组，解方程组从而用k（整数）表示负场数z=
，因为z为整数，即2k+3为35的正约分，据此求得z、k的值．
解答：
解：
设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得
，
把③代入①②得
，
解得z=
（k为整数）．
又∵z为正整数，
∴当k=1时，z=7；
当k=2时，z=5；
当k=16时，z=1．
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．
故选：
B．xkb1.com
点评：
本题考查了二元一次方程组的应用．解答方程组是个难点，用了换元法．
2.（2014•黔南州，第3题4分）二元一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
解二元一次方程组．
专题：
计算题．
分析：
方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：
解：
，
①+②得：
2x=2，即x=1，
①﹣②得：
2y=4，即y=2，
则方程组的解为
．
故选B
点评：
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
2．（2014年贵州安顺，第6题3分）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足
+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7或8B．6或1OC．6或7D．7或10
考点：
等腰三角形的性质；非负数的性质：
偶次方；非负数的性质：
算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．.
分析：
先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．
解答：
解：
∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，
∴
，
解得
，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；
综上所述此等腰三角形的周长为7或8．
故选A．
点评：
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．
3．
二、填空题
1.（2014•黑龙江龙东,第7题3分）小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买 1或2或3（每答对1个给1分，多答或含有错误答案不得分） 支．
考点：
二元一次方程的应用．.
分析：
根据小明所带的总钱数以及中性笔与橡皮的价格，分别得出符合题意的答案．
解答：
解：
∵小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，
∴当买中性笔1只，则可以买橡皮5只，
当买中性笔2只，则可以买橡皮3只，
当买中性笔3只，则可以买橡皮1只，
故答案为：
1或2或3．
点评：
此题主要考查了二次元一次方程的应用，正确分类讨论是解题关键．
2.（2014•宁夏，第12题3分）若2a﹣b=5，a﹣2b=4，则a﹣b的值为 3 ．
考点：
解二元一次方程组
专题：
计算题．
分析：
已知两等式左右两边相加，变形即可得到a﹣b的值．
解答：
解：
将2a﹣b=5，a﹣2b=4，相加得：
2a﹣b+a﹣2b=9，
即3a﹣3b=9，
解得：
a﹣b=3．
故答案为：
3．新*课*标*第*一*网
点评：
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
3．（2014•重庆A,第13题4分）方程组
的解是
．
考点：
解二元一次方程组．
专题：
计算题．
分析：
方程组利用代入消元法求出解即可．新课标第一网
解答：
解：
，
将①代入②得：
y=2，
则方程组的解为
，
故答案为：
．
点评：
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
4．（2014•攀枝花，第13题4分）已知x，y满足方程组
，则x﹣y的值是 ﹣1 ．
考点：
解二元一次方程组．
专题：
计算题．
分析：
将方程组两方程相减即可求出x﹣y的值．
解答：
解：
，
②﹣①得：
x﹣y=﹣1．
故答案为：
﹣1．
点评：
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
三、解答题
1.（2014•海南,第21题8分）海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元．请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？
考点：
二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
专题：
应用题．
分析：
设李叔叔购买“无核荔枝”x千克，购买“鸡蛋芒果”y千克，根据总质量为30千克，总花费为708元，可得出方程组，解出即可．
解答：
解：
设李叔叔购买“无核荔枝”x千克，购买“鸡蛋芒果”y千克，
由题意，得：
，
解得：
．
答：
李叔叔购买“无核荔枝”12千克，购买“鸡蛋芒果”18千克．
点评：
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
2.（2014•湖南衡阳,第25题8分）某班组织班团活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买1件．
（1）若设购买笔记本x本，中性笔y支，写出y与x之间的关系式；
（2）有多少种购买方案？
请列举所有可能的结果；
（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率．
考点：
列表法与树状图法；二元一次方程的应用．
分析：
（1）首先由题意可得：
2x+y=15，继而求得y与x之间的关系式；
（2）根据每种奖品至少买1件，即可求得所有可能的结果；
（3）由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：
（1）根据题意得：
2x+y=15，
∴y=15﹣2x；
（2）购买方案：
x=1，y=13；
x=2，y=11，
x=3，y=9；
x=4，y=7；
x=5，y=5；
x=6，y=3，
x=7，y=1；
∴共有7种购买方案；
（3）∵买到的中性笔与笔记本数量相等的只有1种情况，
∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为：
．
点评：
本题考查了列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
3.（2014•湖南永州,第18题6分）解方程组：
．
考点：
解二元一次方程组．.
专题：
计算题．
分析：
方程组利用代入消元法求出解即可．
解答：
解：
将①代入②得：
5x+2x﹣3=11，
解得：
x=2，
将x=2代入①得：
y=1，
则方程组的解为
．
点评：
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
4.（2014衡阳，第25题8分）
某班组织活动，班委会准备用
元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品。
已知笔记本
元/本，中性笔元/支，且每种奖品至少买一件。
⑴若设购买笔记本
本，中性笔
支，写出
与
之间的关系式；
⑵有多少种购买方案？
请列举所有可能的结果；
⑶从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率。
【考点】二元一次方程的应用、列举法或图表法、概率=所求情况数/总情况数
【解析】⑴∵由题意知
，∴
与
之间的关系式为；
∵在
中，
为偶数，
为奇数，∴
必为奇数，
⑵
∵每种奖品至少买一件，∴
，
，
∴奇数
只能取
这七个数
∴共有七种购买方案，如右图所示；
⑶∵买到的中性笔与笔记本数量相等的购买方案只有种（上表所示的方案三），共有
种购买方案
∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为
。
【答案】⑴y=15-2x
⑵∴共有七种购买方案，如图
⑶
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，列举法求不定方程的解，列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2014•江西，第16题6分）小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2和盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元。
求每支中性笔和每盒笔芯的价格。
【答案】中性笔2元/支，笔芯8元/盒。
【考点】二元一次方程组的应用，准确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示．[来源:
学.科.网Z.X.X.K]
【分析】设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，根据单价×数量=总价，建立方程组，求出其解即可．
【解答】
解：
设每支中性笔的价格为x元，每盒笔芯的价格为y元，由题意，得
解得，
答：
每支中性笔的价格为2元，每盒笔芯的价格为8元．
6．（2014•四川广安,第22题8分）广安某水果点计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）
售价（元/千克）新_课_标第_一_网
甲种
5
8
乙种
9
13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果点在销售完这批水果时获利最多？
此时利润为多少元？
考点：
一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
分析：
（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；
（2）利用两种水果每千克的利润，进而表示出总利润，进而利用一次函数增减性得出即可．
解答：
解：
（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意可得：
5x+9（140﹣x）=1000，
解得：
x=65，
∴140﹣x=75（千克），
答：
购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）由图表可得：
甲种水果每千克利润为：
3元，乙种水果每千克利润为：
4元，
设总利润为W，由题意可得出：
W=3x+4（140﹣x）=﹣x+560，
故W随x的增大而减小，则x越小W越大，
因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴140﹣x≤3x，
解得：
x≥35，
∴当x=35时，W最大=﹣35+560=525（元），
故140﹣35=105（kg）．
答：
当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
点评：
主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用等知识，利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．
7．（2014•湖北黄冈,第17题6分）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？
考点：
二元一次方程组的应用．
分析：
设购买1块电子白板需要x元，一台投影机需要y元，根据①买2块电子白板的钱﹣买3台投影机的钱=4000元，②购买4块电子白板的费用+3台投影机的费用=44000元，列出方程组，求解即可．
解答：
解：
设购买1块电子白板需要x元，一台投影机需要y元，由题意得：
，
解得：
．
答：
购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元．
点评：
此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
8.（2014•湖北黄石,第23题8分）某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：
花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）
种植户玫瑰花种植面积（亩）蓑衣草种植面积（亩）卖花总收入（元）
甲5333500
乙3743500
（1）试求玫瑰花，蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少？
（2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积（两种花卉的种植面积均为整数亩），花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用
专题：
应用题．
分析：
（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，根据表格中的等量关系列出方程组求解；
（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，根据玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积，可得m＞15，然后分段讨论求解．
解答：
解：
（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：
玫瑰花每亩的收入为4000元，蓑衣草每亩的平均收入是4500元．x§k§b1
（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，
依题意得：
m＞30﹣m，
解得：
m＞15，
当15＜m≤20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）+15×100+（m﹣15）×200≥127500，
解得：
15＜m≤20，
当m＞20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）﹣15×100+5×200+（m﹣20）×300≥127500，
解得：
m≤20，（不合题意），
综上所述，种植方案如下：
种植类型种植面积（亩）
方案一方案二方案三方案四方案五
玫瑰花1617181920
蓑衣草1413121110
点评：
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系与不等关系．
9．（2014•湖北黄石,第20题8分）解方程：
．
考点：
高次方程
分析：
先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y．
解答：
解：
，
由方程
x﹣2y=2
得：
4y2=15x2﹣60x+60（3），
将（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化简得：
x2﹣6x+8=0，
解此方程得：
x=2或x=4，
代入
x﹣2y=2
得：
y=0或
，
即原方程组的解为
或
．
点评：
本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中．
10．（2014•攀枝花，第22题8分）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：
元/台•时）
挖掘土石方量（单位：
m3/台•时）
甲型挖掘机
100
60
乙型挖掘机
120
80
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
考点：
一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析：
（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．等量关系：
甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m3；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
解答：
解：
（1）设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．
依题意得：
，
解得
．
答：
甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．
依题意得：
60m+80n=540，化简得：
3m+4n=27．
∴m=9﹣
n，
∴方程的解为
，
．
当m=5，n=3时，支付租金：
100×5+120×3=860元＞850元，超出限额；
当m=1，n=6时，支付租金：
100×1+120×6=820元，符合要求．
答：
有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和3辆乙型挖掘机．
点评：
本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进行求解．
11．（2014年广西南宁，第24题10分）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
哪种购车方案总费用最少？
最少总费用是多少？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．.www.xkb1.com
分析：
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，”列出不等式组探讨得出答案即可．
解答：
解：
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得
答：
设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：
6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则10﹣a=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：
100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：
100×7+150×3=1150万元；www.xkb1.com
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：
100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
点评：
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
12．
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