一元二次方程.docx

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一元二次方程

5、已知关于x的方程（m2－1）x2+（m+1）x+1=0

（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？

（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？

6、已知关于x的方程（m2-1）xm2-3m+4+5x=23是一元二次方程，求m的值

7、请检验下列各数哪个为方程的解（）

A、B、C、D、

8、已知3是关于x的方程的一个解，则2a的值是（）

（A）11（B）12（C）13（D）14

二、掌握一元二次方程的四种解法，能选择合适方法解一元二次方程。

9、用因式分解法解方程

（1）

（2）（3）（4）

10、用开平方法解方程

（1）9x2－25=0

（2）（3）（x+3）2=8（3）4（x－2）2－36=0；

11、用配方法解方程

（1）x2－12x－1=0

（2）（3）2x2+3=7x（4）

12、用公式法解方程

（1）

（2）（3）5x2+3x=1（4）（x-2）（2x-5）=3

13、已知、是实数，若，则下列说法正确的是（）

（A）一定是0（B）一定是0（C）或（D）且

14、，则（）

A、B、3C、D、

15、如果是一个完全平方公式，则。

16、把方程化成的形式，则m、n的值是（）

A、4，13B、-4，19C、-4，13D、4，19

17、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（）

（A）（B）

（C）（D）

18、当≥时，一元二次方程的求根公式为。

19、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：

（1）4x2=5，应选用法；

（2）x2-2x=1，用选用法。

（3）4x2=5x，应选用法；（4）2x2-3x-3=0，用选用法。

20、选择适当的方法解一元二次方程

1）2）3）4）

5）6）7）8）

B提高训练

1、若关于x的方程（m－2）x2+x+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、m≠2B、m＞0C、m≥0且m≠2D、m为任何实数

2、若方程的一个根，则=_______，另一个根是______。

3、方程的解是（）

（A）—1，2（B）1，—2（C）、0，—1，2（D）0，1，—2

4、已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）

A、B、C、D、

5、若（）

A、B、C、D、

已知x2+3x+1的值为5，则代数式2x2+6x－2的值为.

6、解方程（x+5）2－3（x+5）=0，较简便的解法是（）

A、直接开平方法B、因式分解法C、配方法D、公式法

7、，则的值是（）

A、－6B、－2C、2D、6

8、若方程中，满足和，则方程的根是（）（A）1，0（B）-1，0（C）1，-1（D）无法确定

9、下面是某同学在一次数学测验中的解答，其中正确的是（）

A、若；B、；

C、；D、的值为零，则。

10、使分式的值等于零的x是.

11、阅读下面的例题：

解方程

解：

（1）当x≥0时，原方程化为x2–x–2=0，

解得：

x1=2,x2=-1（不合题意，舍去）

（2）当x＜0时，原方程化为x2+x–2=0，

解得：

x1=1,（不合题意，舍去）x2=-2

∴原方程的根是x1=2,x2=-2

（3）请参照例题解方程

x2－3+2=0

《一元二次方程2》

A基础训练

一、理解一元二次方程的解的情况与b2-4ac的关系。

不解方程，能判别方程解的情况。

1、方程3x2+2=x中，a=，b=，c=，b2－4ac=；

2、方程ax2+bx+c=0中，当b2－4ac=0时，方程的解的情况是。

3、已知一元二次方程ax2+4x+2=0且b2－4ac=0，则a=，x=。

4、不解方程，判别下列方程解的情况

（1）x2+3x-1=0

（2）4x2+4x+1=0（3）x2+2x+3=0（4）-x2+2x+6=0

5、下列方程中，有两个相等实数根的是（）

6、若关于x的的一元二次方程x2－3x+m=0有实数根，则m的取值范围是。

7、关于x的方程k2x2+2（k－1）x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、k＜B、k≤C、k＜且k≠0D、k≤且k≠0

8、已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求m的值。

9、已知一元二次方程x2－4x+k=O有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x+k=0与x2+mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值。

10、已知方程（a－x）2－4（b－x）（c－x）=0，试说明：

（1）此方程必有实数根；

（2）若a、b、c为△ABC三边，方程有两个相等的实数根。

试确定△ABC的形状。

二、掌握一元二次方程的应用，能列一元二次方程解应用题。

11、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是

12、已知方程x2+kx+3=0的一个根是-1，则k=,另一根为。

13、若两数和为-7，积为12，则这两个数是。

已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为和。

两个连续自然数的平方和比它们的和的平方小112，那么这两个自然数是__________

14、直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是。

15、长方形铁片四角各截去一个边长为5cm的正方形,而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为1.5立方分米,则铁片的长等于________,宽等于________.

16、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

（A）x（x＋1）＝1035（B）x（x－1）＝1035×2

（C）x（x－1）＝1035（D）2x（x＋1）＝1035

17、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）

A、B、C、D、

18、一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000㎡？

列出方程，能否求出x的值（能或不能）。

19、用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，

（1）求这个矩形的长和宽

（2）能否折成面积是32㎝2的矩形呢？

为什么？

20、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另三边用总长40m的木栏围成。

（1）试通过计算说明鸡场的面积能达到180；

（2）鸡场的面积能达到250m2吗？

为什么？

21、将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。

为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？

这时应进货多少个。

22、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。

为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施。

经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。

求

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。

23、如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2?

24、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。

我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。

（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：

2003年底的绿地面积为公顷，比2002年底增加了公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿地面积最多的是年；

（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试04，05两绿地面积的年平均增长率。

B提高训练

1、若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（）

A、1B、-1C、1或-1D、0.5

2、已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,则a=,b=.

3、关于的方程是一元二次方程，则；

4、

（1）如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值为_____．

（2）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为；

5、已知：

，则关于的二次方程的解是；

6、

（1）已知，则等于（）

A.B.C.D.

（2）已知，求的值。

7、解方程：

x2+3x+2=0x2+2x-8=02x2+5x+2=0

8、求证下列多项式的值恒大于零：

（1）2x2－4x+7；

（2）x2+2mx+2m2+1。

9、解下列各题

（1）方程；

（2）方程；

（3）方程；

由

（1）

（2）（3）你能得出什么猜想？

你能说明你的猜想吗？

10、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：

x2－1=0

（1）

x2+x－2=0

（2）

x2+2x－3=0（3）

……

x2+（n－1）x－n=0（n）

①请求出上述一元二次方程

（1）、

（2）、（3）……（n）的解；

②请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。

例1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．

（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

例2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2（a＋b）x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程（m＋5）x2－（2m－5）x＋m－8＝0的两个实数根．

（1）求m的值；

（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．

例3．已知关于x的方程x2－（m＋n＋1）x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．

（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；

（2）求证：

α≤1≤β；

（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第一题：

解析：

（1）∵AB、AC方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根

∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k2＋3k＋2

∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5

∴AB2＋AC2＝BC2，（AB＋AC）－2AB·AC＝25

即（2k＋3）2－2（k2＋3k＋2）＝25

∴k2＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2

当k＝－5时，方程为x2＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍去）

当k＝2时，方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4

∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形

（2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况

∵△＝（2k＋3）2－4（k2＋3k＋2）＝1＞0

∴AB≠AC，故第①种情况不成立

∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的根

∴52－5（2k＋3）＋k2＋3k＋2＝0

即k2－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4

当k＝3时，方程为x2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5

此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14

当k＝4时，方程为x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6

此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为16

第二题：

解析：

（1）∵关于x的方程x2－2（a＋b）x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根

∴△＝4（a＋b）2－4（c2＋2ab）＝0，即a2＋b2＝c2

∴△ABC是直角三角形

∵sinA、sinB是关于x的方程（m＋5）x2－（2m－5）x＋m－8＝0的两个实数根

∴sinA＋sinB＝，sinA·sinB＝

∵在Rt△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2A＋cos2A＝1

∴（sinA＋sinB）2－2sinA·sinB＝1

即（）2－2×＝1

∴m2－24m＋80＝0，解得m1＝4，m2＝20

当m＝4时，方程为9x2－3x－4＝0，解得x1＝，x2＝＜0

∵在Rt△ABC中，sinA＞0，sinB＞0

∴m＝4不合题意，舍去

当m＝20时，方程为25x2－35x＋12＝0，解得x1＝，x2＝，符合题意

∴m＝20

（2）∵△ABC的外接圆面积为25π

∴外接圆半径为5，∴c＝10

由

（1）知，sinA＝或sinA＝

∴△ABC的两条直角边长分别为6，8

设△ABC的内接正方形的边长为t

①若正方形的两边在△ABC的两直角边上，则＝

解得t＝

②若正方形的一条边在△ABC的斜边上，易得斜边上的高为，则＝

解得t＝

第三题：

解析：

（1）解：

∵α、β为方程x2－（m＋n＋1）x＋m＝0（n≥0）的两个实数根

∴△＝（m＋n＋1）2－4m＝（m＋n－1）2＋4n≥0，且α＋β＝m＋n＋1，αβ＝m

∴m＝αβ，n＝α＋β－m－1＝α＋β－αβ－1··········································2分

（2）证明：

∵（1－α）（1－β）＝1－（α＋β）＋αβ＝－n≤0（n≥0），又α≤β

∴α≤1≤β·············································································4分

（3）解：

要使m＋n＝成立，只需α＋β＝m＋n＋1＝

①当点P（α，β）在BC边上运动时

由B（，1），C（1，1），得≤α≤1，β＝1

而α＝－β＝－1＝＞1

∴在BC边上不存在满足条件的点················································6分

②当点P（α，β）在AC边上运动时

由A（1，2），C（1，1），得α＝1，1≤β≤2

此时β＝－α＝－1＝，又∵1＜＜2

∴在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，）···························8分

③当点P（α，β）在AB边上运动时

由A（1，2），B（，1），得≤α≤1，1≤β≤2

由对应线段成比例得＝，∴β＝2α

由解得α＝，β＝

又∵＜＜1，1＜＜2

∴在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（，）

综上所述，当点点P（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，）和点（，），使m＋n＝成立10分